2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題39雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)（解析版）

專(zhuān)題39雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線(xiàn)的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)0E的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于田外|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)

（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)）.用集合表示為｛必帆用_|“磯=2a（0<勿<忻圖）｝

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線(xiàn)僅為雙曲線(xiàn)中的一支.

（2）當(dāng)2a=|耳目時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以耳和心為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；當(dāng)為=0時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段耳尼的

垂直平分線(xiàn).

（3）2“>閨用時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①條件"忸居|>2a”是否成立；②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定/的值），注意

a2+Z>2=<?的應(yīng)用.

知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線(xiàn)的方程、圖形及性質(zhì)

雙曲線(xiàn)的方程、圖形及性質(zhì)

22

標(biāo)準(zhǔn)方程…＞。）與-與=1（。＞0,6＞0）

a~b~

W'

圖形

*a

焦點(diǎn)坐標(biāo)片（一c,0）,鳥(niǎo)（c,0）G（o,-c）,B（0,c）

對(duì)稱(chēng)性關(guān)于X,），軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)

頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4,0），A（a,o）A（0,a）,A2（0,-a）

范圍IM”

實(shí)軸、虛軸實(shí)軸1會(huì)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b

c1b2

離心率宣呼+"|）

人d歹br

人23年八a

令F——=0=y=±—x,令y-7y=0ny=±M，

漸近線(xiàn)方程ab-aab-b

焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為人焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，

>1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線(xiàn)內(nèi)

>1,點(diǎn)（七,%）在雙曲線(xiàn)內(nèi)

29（含焦點(diǎn)部分）

點(diǎn)和雙曲線(xiàn)—（含焦點(diǎn)部分）

2

片b=1,點(diǎn)*0，%）在雙曲線(xiàn)上22

的位置關(guān)系?b'=1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線(xiàn)上

<1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線(xiàn)外

<1,點(diǎn)（不，%）在雙曲線(xiàn)外

共焦點(diǎn)的雙22

---=1(_/<k<b2)；,,,,=1(a-<k<b2)

曲線(xiàn)方程(r+kh2-ka"+kb~-k

共漸近線(xiàn)的x2y2

__2L=^U^o)%一3="兄工°）

雙曲線(xiàn)方程crb~

切線(xiàn)方程-^^=L(%%)為切點(diǎn)?^=1,(%0，%)為切點(diǎn)

a~b~a~b~

對(duì)于雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)所在的切線(xiàn)方程，只需將雙曲線(xiàn)方程中/換為X0X,爐換成為），

切線(xiàn)方程

便得.

警-筆■=1,（%為雙曲線(xiàn)

渾-警=1,（毛,%）為雙曲線(xiàn)外一點(diǎn)

切點(diǎn)弦所在ab

a~b~

直線(xiàn)方程外一點(diǎn)

點(diǎn)（天,％）為雙曲線(xiàn)與兩漸近線(xiàn)之間的點(diǎn)

設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)兩交點(diǎn)為，3（工2，%），鼬=%.

則弦長(zhǎng)|AB|=J1+公?._引=J伏片0），

弦長(zhǎng)公式

忱-即=Ja+xJ-4中2=米，其中是消“y”后關(guān)于“X”的一元二次方程的

\a\

“V”系數(shù).

2b2

通徑通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于耳居的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為2

a

雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)尸(七,%)與兩焦點(diǎn)環(huán),用構(gòu)成的\PF{FZ成為焦點(diǎn)三角形，

設(shè)/耳?居=6,歸￡=「|尸乙|=0，則cos6=l-竺，

FpCl

焦點(diǎn)三角形

01.Csin(9,2b1(C%|,焦點(diǎn)祗軸上

S，=2但sm*l-cos/=1a/焦點(diǎn)在'軸上'

2

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

［歸用-|P/y=2a(2a>2c)

［閨用2=|叫2+歸用2_2附歸用COS4%

等軸雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足如下充要條件：雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)oa=6o離心率e=0。

等軸雙曲線(xiàn)

兩漸近線(xiàn)互相垂直o漸近線(xiàn)方程為y=±x=方程可設(shè)為x2-y2=A(AK0).

【方法技巧與總結(jié)】

(1)雙曲線(xiàn)的通徑

2b2

過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)實(shí)軸垂直的直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段，稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的通徑.通徑長(zhǎng)為

(2)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系

2222

對(duì)于雙曲線(xiàn)?！?=1(a>6>0),點(diǎn),%)在雙曲線(xiàn)內(nèi)部，等價(jià)于"-4>1.

abab

點(diǎn)P(x0,%)在雙曲線(xiàn)外部，等價(jià)于營(yíng)-苗<1結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析.

(3)雙曲線(xiàn)常考性質(zhì)

性質(zhì)1：雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)的距離為常數(shù)匕；頂點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)的距離為常數(shù)或；

C

性質(zhì)2：雙曲線(xiàn)上的任意點(diǎn)尸到雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)名；

C

(4)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形面積為鼻(可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大)

tan—

2

(5)雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)

22

點(diǎn)在雙曲線(xiàn)0-《=1(”>02>0)上，過(guò)點(diǎn)"作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為警-―=1.若點(diǎn)

abab~

在雙曲線(xiàn)二一1=1(a>02>0)外，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為警一誓=1

ab"a"b"

【題型歸納目錄】

題型一：雙曲線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

題型二：雙曲線(xiàn)方程的充要條件

題型三：雙曲線(xiàn)中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題

題型四：雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題

題型五：雙曲線(xiàn)上兩線(xiàn)段的和差最值問(wèn)題

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1：利用雙曲線(xiàn)定義去轉(zhuǎn)換

方向2：建立關(guān)于“和c的一次或二次方程與不等式

方向3：利用e=1^,其中2c為焦距長(zhǎng)，2a=^PFt\-\PF^

方向4：坐標(biāo)法

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理

方向7：利用基本不等式

方向8：利用漸近線(xiàn)的斜率求離心率

方向9：利用雙曲線(xiàn)第三定義

方向10：利用對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)焦半徑的取值范圍匕-4，+8)

題型七：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題

題型八：利用第一定義求解軌跡

題型九：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)

【典例例題】

題型一：雙曲線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

例1.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))"x2+(y—3>—Jf+(y+3)2=4表示的曲線(xiàn)方程為()

A.［一］=1(爛一2)B.［一］=1(於2)

C.=1(}<-2)D.—=1CV>2)

4545

【答案】c

【解析1根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義，舊而二3）2_次+（丫+3）2=4表示動(dòng)點(diǎn)（X,y）至|J（O,3）與（0,-3）的距離之

差等于4（且兩個(gè)定點(diǎn)的距離大于4）的集合.

根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可知，。=2,c=3

所以從=32-22=5

由焦點(diǎn)在y軸上，所以

三=1,且到點(diǎn)（3,0）的距離比較大

所以yV-2

即曲線(xiàn)方程為1一3=1（”-2）

故選：C.

【方法技巧與總結(jié)】

求雙曲線(xiàn)的方程問(wèn)題，一般有如下兩種解決途徑：

（1）在已知方程類(lèi)型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)a,b,c,即利用待定系數(shù)法

求方程.

（2）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿(mǎn)足的條件，來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法

求方程.

例2.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：￡=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸2.雙曲線(xiàn)C上有一

97

點(diǎn)尸，若歸耳|=7,貝”尸用=.

【答案】1或13

2

【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)C：三一上=1,

97

所以。=3,

所以仍用-伊媚|=2〃=6,

又因?yàn)殁疃鷟=7,

所以仍用=13或儼用=1,

故答案為：1或13.

例3.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y=2x,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,46），則該雙曲線(xiàn)

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】--^=1

416

【解析】根據(jù)題意知，2x4〉4g,所以點(diǎn)（4,4石）在漸近線(xiàn)方程y=2x的右下方，

22

所以該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為與-與=1,且a>0,b>0；

又2=2,所以6=2a；

a

01648,16484

又即nn二才=

解得/=4,從=16,

*2

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是工y

416

故答案為：-——=1

416

22

例4.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）與雙曲線(xiàn)土一21=1有公共焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)（3&,2）的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

164

【答案】--^=1

128

【解析】由雙曲線(xiàn)（-：=1可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2近⑼,

22

設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為0-2=1,（?>/>>0）,

ab

a2=12

由題意可得：示一手=,解得

從=8

a2+b2=20

22

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—-^=1,

128

故答案為：—-^=1.

128

20

例5.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知耳（-3,0）,6（3,0）分別是雙曲線(xiàn)十方=1（〃>0/>0）的左、右焦點(diǎn),

點(diǎn)尸是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，若歸用+歸國(guó)=6%且工的最小內(nèi)角為,則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A//22

=1B.工-匕=1D.——y2=1

63368.

【答案】B

【解析】設(shè)點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，則|「用>|尸閭,

因?yàn)橐炼鷟-歸閭=2〃，且閘+|P聞=6°,

所以|「用=而，|P閭=2”,

2c>2a冗

由題,因?yàn)閮?nèi)用=2c=6,則所以〃和為最小角,故

4〃>2/2~6

所以在△PKK中，由余弦定理可得，(甸一+(2。--(2。)：=@,解得〃=石，

2,4G2C2

所以8=#,

22

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-E=i.

36

故選：B

例6.(2022?河北石家莊?高三階段練習(xí))已知點(diǎn)A(-2,0)、8(2,0),將函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)［得

到曲線(xiàn)C,在C上任取一點(diǎn)P,則||PA|-|PB||=()

A.25/2B.2C.72D.不確定

【答案】A

【解析】直線(xiàn)y=x與y=T聯(lián)立得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)、(T，T),這兩點(diǎn)間的距離為J(l+1)2+(1+1)2=2交,

所以函數(shù)y=1的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)￡得到雙曲線(xiàn)方程為=1,由雙曲線(xiàn)定義得

X422

||PA|-|PB||=2&.

故選：A.

例7.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知雙曲線(xiàn)，一/-叱叱。)的離心率為石，左'右焦點(diǎn)分別為"，初

以為直徑的圓與雙曲線(xiàn)右支的一個(gè)交點(diǎn)為尸.若?尸鳥(niǎo)1=2,則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

【答案】A

【解析】因?yàn)殡x心率為6,所以6=￡=產(chǎn)工=3+4=石，所以6=2。，因?yàn)?尸61=2,|陽(yáng)-|呷=2”,

所以|P￡|=2+2a,又IKEI=2c,且△2/而為以/名助為直角的直角.：角形，所以4+(2+24=(2靖，

即8+8〃+4/=4H，又,2=/+從=5〃，所以羽―a-1=0,解得。=1或。==(舍去)

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2-^=l

故選：A

例8.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)(理))已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為耳(-3,0),F?(3,0),P為雙

曲線(xiàn)上一點(diǎn)且||「用一|「用|=4,則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

【答案】A

【解析】由雙曲線(xiàn)的定義可得c=3,2a=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,且焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲

線(xiàn)的方程為：—-^=1.

45

故選：A.

例9.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（文））雙曲線(xiàn)C的兩焦點(diǎn)分別為（一6,0）,（6,0）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5,2）,則

雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】B

［解析］2a=17（-5+6）2+22-7（-5-6）2+221=4^5

所以〃=2石，又。=6,

所以〃=/一/=36—20=16.

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為^-d=1

2016

故選：B

例10.（2022?江蘇?高三階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)=-1=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，K，過(guò)尸2且斜

a~a~

率為m的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為A,若優(yōu)用+04）.叱=0,則此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）

【答案】D

【解析】由題可知，

F,A=-F2FX+F2A,

若（M+KA）.f；A=0,

即為（名片+KA）-（-gf；+gA）=0,

22

可得伍=五￡,

即有I和R鳥(niǎo)耳|=2c,

由雙曲線(xiàn)的定義可知|前|-|伍卜加，

可得|AF]\=2a+2c,

由于過(guò)22的直線(xiàn)斜率為了，

24

所以在等腰三角形人百鳥(niǎo)中，tan/A6耳=-亍,

7

則cosNAK￡=——,

74c2+4C2-（2〃+2C）2

由余弦定理得:COSZAFF=

2]25-2.2c.2c

化簡(jiǎn)得：3c=5a,

34

Hnj=—b;=-c

a5Cf59

可得a:0=3:4,A*%?

22

所以此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：--^=1.

916

故選：D.

例H.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳（0,-5）,鳥(niǎo)（0,5）,雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)尸與￡,

8的距離差的絕對(duì)值等于6,則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A*2y'-IB犬＞'2_irX"1nJ產(chǎn)1

916169916169

【答案】C

【解析】由題意，c=5,2a=6na=3,則匕=護(hù)二7=4,結(jié)合條件可知，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為匯-二=1.

916

故選：C.

例12.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的上、下焦點(diǎn)分別為耳（0,3）,6（0,-3）,P是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)

且歸用尸曰=4,則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】C

2、

【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為與-二=1（。＞0,。＞0）,半焦距為c,

CTb~

則由題意可知C=3,2。=4,即。=2,故〃=仃2_/=9—4=5,

22

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕-'=1.

45

故選：c.

例13.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：W-g=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為小鳥(niǎo)，一條漸近

a~b~

線(xiàn)方程為y=0x,過(guò)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)&作傾斜角為？的直線(xiàn)/交雙曲線(xiàn)的右支于A,B兩點(diǎn)，若

的周長(zhǎng)為36,則雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2292*>->

AA.-廠----?-=11B口.-廠-----y-=11C八.x2---）廠-=11D門(mén).廠----y2=11

244222

【答案】C

【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)C：1-1=l（a>0/>0）的一條漸近線(xiàn)方程為y=0x,

ab“

22_

所以b=J5a，則雙曲線(xiàn)方程為一；—工=1(“>0),耳(一^tz,0),7^(>/3tz,O),

a2a

所以直線(xiàn)/為y=tan((x-J5a)=G(x-Ga),

設(shè)人(士,3),8(々,女)，

Z_JL=1

由百2a2,得/-63x+ll〃=o,

y=x/3(x-x/3a)

則X]+毛=6ga,%%=11萬(wàn),

所以|=4i+3-"區(qū)+馬y一以m=27108a2-44a2=16a,

因?yàn)閨A用=|Ag|+2a,忸制=怛閭+%，

所以|A￡|+|B耳|=|/闿+忸可+4a=|AB|+4a=20a,

因?yàn)?B的周長(zhǎng)為36,

所以|A耳|+|明|+|明=36,

所以204+16a=36,得a=l,

2

所以雙曲線(xiàn)方程為/一2v_=1,

2

故選：C

例14.（2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)（理））與橢圓C:，+（=l共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)（1,6）的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.x2--=\B.）3-2f=l

3?

22。

C.=1D.--x2=\

223

【答案】C

【解析】橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±2）,設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，■-/=1（4>0力>0）,

由雙曲線(xiàn)的定義可得2。=/+（6+2丫_業(yè)+（后-2y=（#+亞）-（"-亞）=20,

ci=y/2,c=2,：.b=\lc2—a1=V2?

因此，雙曲線(xiàn)的方程為￡-==1.

22

故選：C.

22

例15.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）的、尸?是雙曲線(xiàn)。-方=1（“>0/>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)y2=46x的

TT

準(zhǔn)線(xiàn)/過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)與漸近線(xiàn)交于點(diǎn)A,ZFtF2A=^,則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.-=1B.爐-匯=1

1616

C.x2-^-=lD.--/=1

44'

【答案】C

【解析】拋物線(xiàn)V=46x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-不，

則°=逐，則耳卜石,0）、6（石,0）,

h

不妨設(shè)點(diǎn)A為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立J，a,

x=-c

X=-CZ,X

可得be,即點(diǎn)A-c，t,

y=—kaJ

Ia

TT

因?yàn)锳f；_L6K旦/月64=^,則△EKA為等腰直角三角形，

且|A用=忻閭，BP—=2c,可得>=2,又由c=7^/=笛+從，

aa

2

解得”=l,b=2,因此，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為寸-二=1.

4

故選：C.

例16.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:七-2=l（a>0,b>0）滿(mǎn)足2=且與橢圓上+《=1有

?-b-a2123

公共焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的方程為（）

C.--亡=1D7-4='

54

【答案】A

【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+工=1,可得合=12-3=9,即c=3,

123

因?yàn)殡p曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)與橢唁+：=1的焦點(diǎn)相同，所以雙曲線(xiàn)C中，半焦距

又因?yàn)殡p曲線(xiàn)C：4-4=l(a>(U>0)滿(mǎn)足2=或，即萬(wàn)=正”,

a"b-a22

2

又由即/+a=9,解得/=*可得02=5,

所以雙曲線(xiàn)C的方程為三-J.

45

故選：A.

例17.(2022,全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))求適合下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程:

⑴頂點(diǎn)在X軸上,焦距為1。，離心率是:

(2)一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,一石卜

(3)焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線(xiàn)方程為y=；3x,實(shí)軸長(zhǎng)為12；

(4)漸近線(xiàn)方程為丫=??》，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-5>/2,0)和(50,0).

【答案】(1)^-^=1:

⑵二-/

4

⑶

3664

,2

【分析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)或焦點(diǎn)位置、漸近線(xiàn)方程及焦距、實(shí)軸長(zhǎng)，結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求雙曲線(xiàn)方程.

e—c—5

(1)由題設(shè)，”5且a4,則a=4,^2=c2-a2=9,

乂頂點(diǎn)在X軸上，故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為=

169

(2)由題設(shè)，〃=2"=逐，則匕2=。2_/

=1,

又一個(gè)焦點(diǎn)為（0,-石），故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為=

--—?1-]

（3）由題設(shè)，。=6,又焦點(diǎn)在y軸上，令雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為36b2,

3369

又一條漸近線(xiàn)方程為y=即^=而，則從=64,

22

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為匯-t=1.

3664

,2

^__￡=1

（4）由題設(shè)，。=5夜且焦點(diǎn)在x軸上，令/從

又漸近線(xiàn)方程為y=?二X,則2而/+/=02=50，

所以〃2=32,加=18,故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為二一上=1

3218

例18.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（理））根據(jù)下列條件，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（1）。=4,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,一生膽；

29

Q）與雙曲線(xiàn)會(huì)上1有相同的焦點(diǎn)’且經(jīng)過(guò)點(diǎn)6"物

=\(h>0)

【解析】（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為16b2

把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，可得從=-考x勞<0,不符合題意;

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為=l(fe>0),

16b2

把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得^=9,故所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-土=1.

169

22

綜上，所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為士-土=1.

169

22

------=1（-4<A<16）

（2）設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為16-24+2,

1Q4

因?yàn)殡p曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（3立,2）,所以77、一57=1，解得a=4或-14（舍）.

16-24+A

所以雙曲線(xiàn)的方程為二-二=1

128

題型二：雙曲線(xiàn)方程的充要條件

例19.（2022?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測(cè)（理））“〃加<0”是“如2+江=]為雙曲線(xiàn)，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】因?yàn)榉匠?1表示雙曲線(xiàn)，所以〃?〃<（）,

又當(dāng)以〃<0時(shí)，方程的2+〃y2=]表示雙曲線(xiàn)，

因此“譏<0”是“方程皿二+江=1表示雙曲線(xiàn)”的充要條件.

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】

土+上-=1表示橢圓的充要條件為：m>O,n>O,m^n；

mn

22

三+二=1表示雙曲線(xiàn)方程的充要條件為：刖<0；

mn

22

土+匯=1表示圓方程的充要條件為：m=n>0.

mn

22

例20.（2022?廣東?高三階段練習(xí)）“M2”是“方程」一+工=1表示雙曲線(xiàn)”的（〉

25-kk-9

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

22

【解析】???方程―一+工=1為雙曲線(xiàn)，???（25-幻（左一9）<0,

25-kk-9

尤2v2

，A<9或左>25,?,.“<2”是“方程‘一+」=1為雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件，

25-kk-9

故選：A.

例21.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若曲線(xiàn)C的方程為二+—J=1（機(jī)>0）,則（）

m2-m

A.當(dāng)機(jī)=立時(shí)，曲線(xiàn)C表示橢圓，離心率為5

22

B.當(dāng)機(jī)=6時(shí)，曲線(xiàn)C表示雙曲線(xiàn)，漸近線(xiàn)方程為y=土且x

C.當(dāng)"?=1時(shí)，曲線(xiàn)C表示圓，半徑為1

D.當(dāng)曲線(xiàn)C表示橢圓時(shí)，焦距的最大值為4

【答案】BC

Bx2,y2a1

【解析】選項(xiàng)A,機(jī)='時(shí)，曲線(xiàn)方程為了十丁T,表示橢圓，其中從=：,則02=/一從=],

2--22

_c_1_V6

離心率為a^33>A錯(cuò)；

選項(xiàng)B,,”=G時(shí)曲線(xiàn)方程為《-y2=i表示雙曲線(xiàn)，漸近線(xiàn)方程為E-V=o,即y=±YIx,B正確；

333

選項(xiàng)C,加=1時(shí)，曲線(xiàn)方程為f+y2=i,表示圓，半徑為1,c正確；

2-m2>0

選項(xiàng)D,曲線(xiàn)C表示橢圓時(shí)，0</<1或1<加2<2，

m202一機(jī)2

時(shí)，a2=2-/n2?b2=nrc2=a2-b2=2-2m2e（0,2）,

1<加2<2時(shí)，a2=m2,b2=2-m2,c2=a2-b2=2m2-2e（0,2）,

所以/￡（0,2）,即CE（0,&）,無(wú)最大值.D錯(cuò).

故選：BC.

例22.（多選題）（2022?重慶八中模擬預(yù)測(cè)）曲線(xiàn)C的方程為二二+上=1,則下列說(shuō)法正確的是（）

16+29+4

A.存在實(shí)數(shù)力使得曲線(xiàn)C的軌跡為圓

B.存在實(shí)數(shù)2使得曲線(xiàn)C的軌跡為橢圓

C.存在實(shí)數(shù)4使得曲線(xiàn)C的軌跡為雙曲線(xiàn)

D.無(wú)論；I（2>-16且2H-9）取何值，曲線(xiàn)C的焦距為定值

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)?6+2>9+/1,所以不存在實(shí)數(shù)2使得曲線(xiàn)C的軌跡為圓，故A不正確；

對(duì)于B,當(dāng)16+/IX）口.9+4>0時(shí)，即;l>-9時(shí)，上=1表示橢圓，所以存在實(shí)數(shù)2使得曲線(xiàn)C的

16+49+4

軌跡為橢圓，故B正確；

/、/、2V2

對(duì)于C,當(dāng)（16+X）（9+4）vO,即一16<4<-9時(shí)，■^Y—+^^=1表示雙曲線(xiàn)，故C正確;

16+29+4

?>2

對(duì)于D,當(dāng)我―9時(shí)，一三+"7=1表示橢圓，此時(shí)橢圓的d=16+2-（9+2）=7,所以曲線(xiàn)C的焦距為

16+29+2

定值；

當(dāng)_16<2<-9時(shí)，+上=i表示雙曲線(xiàn)，此時(shí)雙曲線(xiàn)的。2=16+4+[-（9+#]=7,所以曲線(xiàn)C的焦

距為定值；故D正確，

故選：BCD.

例23.（多選題）（2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）己知曲線(xiàn)C：nve+ny^m-X,則（）

A.當(dāng)機(jī)=”=2時(shí)，C為圓B.當(dāng)根="=1時(shí)，C為拋物線(xiàn)

C.C不可能為橢圓D.C可能為雙曲線(xiàn)

【答案】ABD

【解析】當(dāng)機(jī)=〃=2時(shí)，C為圓/+爐=；,A正確；

當(dāng)帆=〃=1時(shí)，C為拋物線(xiàn)丁=->,B正確；

當(dāng)“1=2,〃>0口.〃*2時(shí)，C為橢圓2x?+”y2=1,C錯(cuò)誤；

當(dāng)機(jī)=2,〃<0時(shí)，C為雙曲線(xiàn)2X2+〃）2=I,D正確.

故選：ABD.

22

例24.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線(xiàn)C：工+工=1,則下列說(shuō)法正確的是（）

k-\5-k

A.若曲線(xiàn)C表示雙曲線(xiàn)，則%>5

B.若曲線(xiàn)C表示橢圓，貝！|lv攵<5且Zw3

C.若曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線(xiàn)且離心率為2叵，則％=7

3

D.若曲線(xiàn)C與橢圓二+f=1有公共焦點(diǎn)，則k=4

42

【答案】BCD

22

【解析】對(duì)于A：若曲線(xiàn)C：」+上=1表示雙曲線(xiàn)，則（"1）（5—2）<0,解得左>5或故A錯(cuò)

k-\5-k

誤；

對(duì)于B：若曲線(xiàn)C：上+上=1表示橢圓，則5-/>0,解得l<k<5旦人W3,故B正確;

k—15—kIe-t

k-\*5-k

對(duì)于c：若曲線(xiàn)c表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)且離心率為2叵a2=k-\

則

3h2=k-5

所以c2=a2+"=2k-6,則e2=<=竺二=解得k=7,故C正確;

a2k-l3

對(duì)于D：橢網(wǎng)二一+2—=1的焦點(diǎn)為（土應(yīng)，0,

42

a2-k-l>

若曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn),則&>5,則02=2%-6=2，解得k=4（舍去）;

b2=k-5>0

a2=k-l>0

若曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則<從=5-后>0,則3cz<5,則C、2=2&-6=2,解得后=4,符合題

k-\>5-k

意，故女=4,故D正確;

故選：BCD

題型三：雙曲線(xiàn)中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題

例25.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)21=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為有，F(xiàn)2,P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn).若

24

4一

\PFt\=-\PF2\9則△BP乃的面積為（）

A.23B.24

C.25D.26

【答案】B

【解析】由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF/|TPg|=；|PF2|=2a=2,

解得|尸產(chǎn)2|=6,故|PBI=8,

又尸/尸2|=10,故△PEK為直角三角形，

因此S叱=3『下川尸尸2|=24.

故選：B.

【方法技巧與總結(jié)】

對(duì)于題中涉及雙曲線(xiàn)上點(diǎn)到雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)距離問(wèn)題常用定義，即|P^|=2a,在焦點(diǎn)三角形面

積問(wèn)題中若已知角，則用5許4=g|尸用」尸用sin。，歸用一歸曰=2a及余弦定理等知識(shí)；若未知角，

則用SAP和=^c-\y0\.

例26.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知尸是雙曲線(xiàn)上-y2=l的右焦點(diǎn)，若直線(xiàn)y=依,>0）與雙曲線(xiàn)相交

于A,B兩點(diǎn)，且NAEBN120。，則A的范圍是.

【答案】悍書(shū)

【解析】--/=1

3

/.a2=3,b2=1焦點(diǎn)在x上

=3+1=4

?1■焦點(diǎn)坐標(biāo)為E（—Z0）,F（20）

由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得=設(shè)B（x2,y2）,

---y2=1

又3,k>Q,

、y=H

又,|AF|_|A同=|A尸卜忸目=2g,

AF|2+|SF|2-2\AF\\BF\=12,

又,M=j+=[~r2收

+女2,1—3公

而+|BF|2-2\AF\\BF\COSZAFB,

SAFti=^\AF\\BF\sinZAFB,

當(dāng)NAFB=120時(shí)，=|AF|2+\BF(-2\AF\\BF\cosZAFB=\AFf+\BF(+|AF||