高考數(shù)學離散型隨機變量的分布列

高考數(shù)學離散型隨機變量的分布列第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四更多資源

第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四例：（1）某人射擊一次，可能出現(xiàn)哪些結果？其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出現(xiàn)的結果(次品數(shù))可以由0，1，2，3，4這5個數(shù)表示可能出現(xiàn)命中0環(huán)，命中1環(huán)，…，命中10環(huán)等結果，即可能出現(xiàn)的結果（環(huán)數(shù)）可以由0，1，……10這11個數(shù)表示；（2）某次產(chǎn)品檢驗，在可能含有次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是多少件？1.離散型隨機變量10987第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四1.如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量．隨機變量常用希臘字母、等表示．

2.對于隨機變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．

按一定次序一一列出例如：上面射擊的命中環(huán)數(shù)是一個隨機變量：＝０表示命中０環(huán)，＝10表示命中10環(huán)＝１表示命中１環(huán)，……,例如：上面產(chǎn)品檢驗所取4件產(chǎn)品中含有的次品數(shù)也是一個隨機變量:=0,表示含有0個次品;=4,表示含有4個次品;……第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四（1）從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張，被取出的卡片的號數(shù)ξ；分析：ξ可取1，2，…，10.ξ＝1，表示取出第1號卡片；ξ＝2，表示取出第2號卡；

……ξ＝10，表示取出第10號卡片；練習一解：ξ可取1，2，…，10.

ξ＝i，表示取出第i號卡片；

1。寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值所表示的隨機試驗的結果；第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四（2）一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)ξ；解：

ξ可取0，1，2,3.ξ＝０，表示取出０個白球；ξ＝１，表示取出１個白球；ξ＝２，表示取出２個白球；ξ＝３，表示取出３個白球；練習一第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四（3）拋擲兩個骰子，所得點數(shù)之和是ξ；練習一解:ξ可取2，3，4，…，12。ξ＝2，表示兩個骰子點數(shù)之和是2；ξ＝3，表示兩個骰子點數(shù)之和是3；ξ＝4，表示兩個骰子點數(shù)之和是4；……ξ＝12，表示兩個骰子點數(shù)之和是12；若以(i,j)表示拋擲甲、乙骰子甲得i點且骰子乙得j點，則ξ＝2,表示(1,1);ξ＝3,表示(1,2),(2,1)；ξ＝4,表示(1,3),(2,2),(3,1)；……；ξ＝12表示(6,6)第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四（4）連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標需要的射擊次數(shù)η練習一

解：可取1，2，…，n，…．

，表示第i次首次命中目標。第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四思考：某林場樹木最高達30米，則此林場樹木的高度是一個隨機變量。它可以?。?，30]內(nèi)的一切值，不可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫連續(xù)型隨機變量注1.

隨機變量分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四在姚明的一次罰籃中，可能出現(xiàn)罰中、罰不中這兩種情況。例如：用變量ξ來表示這個隨機試驗的結果：ξ=0，表示沒罰中；ξ=1，表示罰中。注2.某些隨機試驗的結果不具備數(shù)量性質(zhì)，但仍可以用數(shù)量來表示它。又如：任擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上。ξ＝0，表示正面向上；ξ＝1，表示反面向上．用變量ξ來表示這個隨機試驗的結果：第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四拋擲一枚骰子，設得到的點數(shù)為ξ，則ξ可能取的值有：ξ123456p此表從概率的角度指出了隨機變量在隨機試驗中取值的分布情況，稱為隨機變量ξ的概率分布.2.離散型隨機變量的分布列1，2，3，4，5，6雖然在拋擲骰子之前，我們不能確定隨機變量會取哪一個值，但是卻知道取各值的概率都等于ξξ第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四ξ取每一個ｘｉ（ｉ＝1，2，……）的概率P（ξ＝ｘｉ）＝Ｐｉ，則稱表：ξＸ1Ｘ2…Ｘｉ…ＰＰ1Ｐ2…Ｐｉ…為隨機變量ξ的概率分布，簡稱為ξ的分布列.離散型隨機變量的分布列一般地，設離散型隨機變量ξ可能取的值為：ｘ1，ｘ2，……，ｘｉ，……．第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：

（1）pi≥0，i=1,2,3,……；（2）p1+p2+…=1第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四例題１某一射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ45678910Ｐ0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≧7”的概率。解：根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，有P（ξ＝7）＝P（ξ＝8）＝P（ξ＝9）＝P（ξ＝10）＝0.090.280.290.22所求得概率為P（ξ≧7）＝0.09+0.28+0.29+0.22第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為.(Ⅰ)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率；(Ⅱ)求分布列.X0-678910Ｐ00.20.30.30.2例題２第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四袋中共有50個大小相同的球，其中記上0號的5個，記上n號的有n個（n=1，2，3，…9）?，F(xiàn)從袋中任取一球，求所取球的號數(shù)的分布列以及取出球的號數(shù)是偶數(shù)的概率解：設所取球的號數(shù)為，則是隨機變量，其分布列為0123456789

P取出球的號數(shù)是偶數(shù)的概率為例題3第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四ξ01…k…np……如果在一次試驗中，某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是多少？在這個試驗中，隨機變量是什么？其中k=0,1,…,n.p=1-q.于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：(2)二項分布第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四由于恰好是二項展開式中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記＝b(k；n，p)．二項分布第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四例如：拋擲一個骰子，得到任一確定點數(shù)（比如2點）的概率是。重復拋擲n次，得到此確定點數(shù)的次數(shù)服從二項分布，ξ又如，重復拋擲一枚硬幣n次，得到向上的次數(shù)服從二項分布，ξ第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四（3）幾何分布于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：（k=0,1,2…,q=1-p.）ξ1

2

3…k

…Pppqpq2…pqk-1

…

稱ξ服從幾何分布，并記g(k,p)=p·qk-1檢驗p1+p2+…=1在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作試驗的次數(shù)ξ也是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量?！唉?k”表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生。如果把第k次實驗時事件A發(fā)生記為Ak，事件A不發(fā)生記為，

p（Ak）=p，，那么第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四某人每次射擊擊中目標的概率是0.2，射擊中每次射擊的結果是相互獨立的，求他在10次射擊中擊中目標的次數(shù)不超過5次的概率（精確到0.01）.解：設在這10次射擊中擊中目標的次數(shù)是，則ξ~B(10,0.2)ξP(ξ≤5)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+…+P(ξ=5)答：他在10次射擊中擊中目標的次數(shù)不超過5次的概率為0.99例題４第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四

設他首次投籃投中時投籃次數(shù)為,則123…k…P……他在5次內(nèi)投中的概率是答：他在5次內(nèi)投中的概率是0.41.服從幾何分布,其中p=0.1，的分布列為0.10.090.081解：

某人每次投籃投中的概率為0.1，各次投籃的結果是相互獨立的，求他首次投籃投中時投籃次數(shù)的分布列，以及他在5次內(nèi)投中的概率（精確到0.01）例題５第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四一個口袋里有5只球,編號為1,2,3,4,5,在袋中同時取出3只,以ξ表示取出的3個球中的最小號碼,試寫出ξ的分布列.解:隨機變量ξ的可取值為1,2,3.當ξ=1時,即取出的三只球中的最小號碼為1,則其它兩只球只能在編號為2,3,4,5的四只球中任取兩只,故有P(ξ=1)==3/5;同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10.因此,ξ的分布列如下表所示

ξ123p3/53/101/10練習二：第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四

1名學生每天騎自行車上學,從家到學校的途中有5個交通崗,假設他在交通崗遇到紅燈的事件是獨立的,并且概率都是1/3.(1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列.(2)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.解:(1)ξ∽B(5,1/3),ξ的分布列為P(ξ=k)=,k=0,1,2,3,4,5.練習三：P543210ξ(2)所求的概率:P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243=211/243.第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四拋擲兩個骰子，取其中一個的點數(shù)為點P的橫坐標，另一個的點數(shù)為P的縱坐標，求連續(xù)拋擲這兩個骰子三次，點P在圓內(nèi)次數(shù)的概率分布0123P解：由題意可知~B（3，），所以而符合題意的點只有8個，那么在拋擲骰子時，點P在圓內(nèi)的概率為可得的分布列為由題意可知：P點的坐標可能有種情況，練習四：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四小結：本節(jié)學習的主要內(nèi)容及學習目標要求：1、理解離散型隨機變量的分布列的意義，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列；2、掌握離散型隨機變量的分布列的兩個基本性質(zhì)，并會用它來解決一些簡單問題；3、理解二項分布和幾何分布的概念。第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四求離散型隨機變量的概率分布的方法步驟：1、找出隨機變量ξ的所有可能的取值2、求出各取值的概率3、列成表格。第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量．1.隨機變量課堂小結2.離散型隨機變量對于隨機變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．隨機變量ξ的線性組合η=aξ+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機變量．3.離散型隨機變量的分布列ξＸ1Ｘ2…Ｘｉ…ＰＰ1Ｐ2…Ｐｉ…第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四1.1離散型隨機變量的分布列作業(yè)１.從編號為1,2,3,…，20的20個大小完全相同的球中任取一個球，求所取球的號數(shù)的分布列。2.某射手射擊擊中目標的概率為0.9，求從開始射擊到擊中目標所需要的射擊次數(shù)ξ

的概率分布。3.連續(xù)拋擲兩個骰子，求所得的兩個骰子的點數(shù)之和的概率分布。4.已知隨機變量ξ

所有可能取的值是1,2,3,…，n,且取這些值的概率依次是k,2k,…，nk，求常數(shù)k的值。5.某批數(shù)量較大的商品的次品率為10%，從中任意地連續(xù)取出5件，求其中次品數(shù)ξ

的分布列。第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四練習：（2000年高考題）某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%．現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)ξ的概率分布．解：依題意，隨機變量ξ～B(2，5%)．所以，因此，次品數(shù)ξ的概率分布是ξ012P0.90250.0950.0025第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四問題2中有3個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈上學途中恰好遇到2次紅燈的概率及遇到紅燈某學生騎自行車上學，從他家到學校途的事件是獨立的，并且概率都是0.2，求他解：P==0.096P0123次數(shù)的分布列。第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四4、在一袋中裝有一只紅球和九只白球。每次從袋中任取一球取后放回，直到取得紅球為止，求取球次數(shù)ξ的分布列。分析：袋中雖然只有10個球，由于每次任取一球，取后又放回，因此應注意以下幾點：(1)一次取球兩個結果：取紅球A或取白球ā，且P(A)=0.1；(2)取球次數(shù)ξ可能取1，2，…；(3)由于取后放回。因此，各次取球相互獨立。第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四從一批有10個合格品與3個次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設各個產(chǎn)品被抽到的可能性相同，在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止時所需抽取的次數(shù)的分布列．解：表示只取一次就取到合格品表示第一次取到次品，第二次取到合格品表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品∴隨機變量的分布列為：的所有取值為：1、2、3、4．每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中；4321第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四返回某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中的概率為0.9⑴如果命中了就停止射擊，否則一直射擊到子彈用完，求耗用子彈數(shù)的分布⑵如果命中2次就停止射擊，否則一直射擊到子彈用完，求耗用子彈數(shù)