統(tǒng)考版2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章7.2一元二次不等式及其解法學(xué)案理含解析

高考復(fù)習(xí)資料PAGE1-/NUMPAGES1第二節(jié)一元二次不等式及其解法【回顧知識(shí)點(diǎn)】一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次項(xiàng)(最高次項(xiàng))系數(shù)不等于0.2．一元二次不等式的解法判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩不等實(shí)根x1，x2，(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①____________②____________③____________ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集④____________⑤____________⑥____________二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形，以便確定解集的形式．2．當(dāng)Δ<0時(shí)，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集為R還是?.【小題熱身鍛煉】一、判斷正誤1．判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開(kāi)口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．()二、教材改編2．[必修5·P80習(xí)題T2改編]設(shè)集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B為函數(shù)y＝eq\f(1,\r(x－1))的定義域，則A∩B等于()A．(1,2)B．[1,2]C．[1,2)D．(1,2]3．[必修5·P104習(xí)題T3改編]不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，則a＋b的值是________．三、易錯(cuò)易混4．不等式eq\f(x－3,x－1)≤0的解集為()A．{x|x<1或x≥3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|1<x≤3}D．{x|1<x<3}5．函數(shù)y＝eq\f(1,\r(7－6x－x2))的定義域?yàn)?)A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)四、走進(jìn)高考6．[2019·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝()A．(－∞，1)B．(－2,1)C．(－3，－1)D．(3，＋∞)eq\x(考點(diǎn)一)一元二次不等式的解法[自主練透型]1．[2021·河北唐山摸底]已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|0≤x≤8}，則A∩B＝()A．[0,6)B．[0,1)C．(0,6)D．(－1,8]2．函數(shù)y＝eq\f(lg1－x,\r(－2x2＋12x＋32))的定義域?yàn)開(kāi)_______．3．不等式eq\f(2x＋1,x－5)≥－1的解集為_(kāi)_______．悟·技法解一元二次不等式的4個(gè)步驟考點(diǎn)二含參數(shù)的一元二次不等式的解法[互動(dòng)講練型][例1]解關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.悟·技法含參數(shù)一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向．(2)討論判別式的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)當(dāng)Δ>0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大?。?4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．解關(guān)于x的不等式(ax－1)(x＋1)>0.考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問(wèn)題[分層深化型]考向一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍[例2]若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．悟·技法一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0考向二：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])確定參數(shù)的范圍[例3]若不等式x2≥m＋4x在[0,1]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m≤－3或m≥0B．m≥－3C．－3≤m≤0D．m≤－3悟·技法形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立問(wèn)題的求解思路(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，讓最值大于等于或小于等于0，從而求出參數(shù)的范圍；(2)數(shù)形結(jié)合，利用二次函數(shù)在端點(diǎn)a，b處的取值特點(diǎn)確定不等式求參數(shù)的取值范圍.考向三：給定參數(shù)范圍內(nèi)的恒成立問(wèn)題[例4]已知a∈[－1,1]時(shí)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，則x的取值范圍為()A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1,3)悟·技法已知參數(shù)范圍求函數(shù)自變量的范圍的一般思路是更換主元法．把參數(shù)當(dāng)作函數(shù)的自變量，得到一個(gè)新的函數(shù)，然后利用新函數(shù)求解.[同類練]——(著眼于觸類旁通)2．關(guān)于x的一元二次不等式2x2－8x＋6－m>0對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[變式練]——(著眼于舉一反三)3．[2021·山西大同月考]若關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在區(qū)間[0，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[拓展練]——(著眼于遷移應(yīng)用)4．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范圍．第二節(jié)一元二次不等式及其解法【回顧知識(shí)點(diǎn)】①{x|x＜x1或x＞x2}②{x|x≠x1}③R④{x|x1＜x＜x2}⑤?⑥?【小題熱身鍛煉】1．參考答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．題目解析：A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．故選D.參考答案：D3．題目解析：由題意知－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)是ax2＋bx＋2＝0的兩根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3)＝\f(2,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))所以a＋b＝－14.參考答案：－144．題目解析：由eq\f(x－3,x－1)≤0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3x－1≤0，,x－1≠0，))解得1<x≤3.故選C.參考答案：C5．題目解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故選B.參考答案：B6．題目解析：A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<1}．故選A.參考答案：A課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1．題目解析：由A＝{x|x2－5x－6<0}，得A＝{x|－1<x<6}，∵B＝{x|0≤x≤8}，∴A∩B＝{x|0≤x<6}．故選A.參考答案：A2．題目解析：由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x2＋12x＋32>0，,1－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－6x－16<0，,1－x>0，))解得－2<x<1，即原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|－2<x<1}．參考答案：(－2,1)3．題目解析：移項(xiàng)通分得eq\f(3x－4,x－5)≥0，等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4x－5≥0，,x－5≠0，))于是原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(4,3)或x>5)))).參考答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(4,3)或x>5))))考點(diǎn)二例1題目解析：原不等式可變形為(x－a)·(x－a2)>0，則方程(x－a)(x－a2)＝0的兩個(gè)根為x1＝a，x2＝a2，(1)當(dāng)a<0時(shí)，有a<a2，∴x<a或x>a2，此時(shí)原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，有a>a2，即x<a2或x>a，此時(shí)原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；(3)當(dāng)a>1時(shí)，有a2>a，即x<a或x>a2，此時(shí)原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；(4)當(dāng)a＝0時(shí)，有x≠0；∴原不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；(5)當(dāng)a＝1時(shí)，有x≠1，此時(shí)原不等式的解集為{x|x∈R且x≠1}；綜上可知：當(dāng)a<0或a>1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠1}．變式練1．題目解析：若a＝0，則原不等式為一元一次不等式，解集為(－∞，－1)．當(dāng)a≠0時(shí)，方程(ax－1)(x＋1)＝0的兩根為x1＝eq\f(1,a)，x2＝－1.當(dāng)a>0時(shí)，解集為(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))；當(dāng)－1<a<0，即eq\f(1,a)<－1時(shí)，解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))；當(dāng)a<－1，即0>eq\f(1,a)>－1時(shí)，解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))；當(dāng)a＝－1時(shí)，解集為?.考點(diǎn)三例2題目解析：當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，不等式為－4<0，對(duì)一切x∈R恒成立．當(dāng)a≠2時(shí)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝4a－22＋16a－2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<2,－2<a<2，))解得－2<a<2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2,2]．參考答案：(－2,2]例3題目解析：因?yàn)椴坏仁絰2≥m＋4x在[0,1]上恒成立，所以只需m≤(x2－4x)min，x∈[0,1]，令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0,1]，所以f(x)min＝f(1)＝－3，所以m≤－3.故選D.參考答案：D例4題目解析：把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，則由f(a)>0對(duì)于任意的a∈[－1,1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6>0，,x2－3x＋2>0，))得x<1或x>3.故選C.參考答案：C同類練2．題目解析：解法一要使2x2－8x＋6－m>0恒成立，∵a＝2>0，∴只需Δ＝64－8(6－m)<0，∴m<－2.故m的取值范圍是(－∞，－2)．解法二不等式2x2－8x＋6－m>0對(duì)任意的x∈R恒成立，則只需m<2x2－8x＋6對(duì)任意的x∈R恒成立．∵g(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2.∴g(x)＝2x2－8x＋6在x∈R上最小值為－2.∴m<－2.故m的取值范圍是(－∞，－2)．變式練3．題目解析：通解當(dāng)x＝0時(shí)，1≥0對(duì)任意的a∈R恒成立，當(dāng)x≠0時(shí)，因?yàn)椴坏仁絰2＋2ax＋1≥0在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立，所以x2＋2ax＋1＝0在R上無(wú)解或有兩個(gè)相等的實(shí)根或x2＋2ax＋1＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根且兩根均小于0，所以Δ＝4a2－4≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4>0，,－2a<0，))解得a≥－1.優(yōu)解因?yàn)閤＝0時(shí)，1≥0對(duì)任意的a∈R恒成立，當(dāng)x≠0時(shí)，不等式可化為－2a≤x＋eq\f(1,x)(x∈(0，＋∞))，由基本不等式得x＋eq\f(1,x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)時(shí)取等號(hào)，所以易知－2a≤2，解得a≥－1.參