高等數(shù)學(xué)第九章三重積分

高等數(shù)學(xué)第九章三重積分第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四三重積分一、三重積分的概念

1．定義:

2．物理意義:

的空間物體的質(zhì)量。表示體密度為

第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四二、三重積分的性質(zhì)

1.線性性質(zhì)：

2.可加性：

4.單調(diào)性：若在上，，則

3.的體積：

第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四5．估值性質(zhì)：的體積，則在上至少存在一點(diǎn)，使得

6.中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，是

,則7.奇偶對稱性：關(guān)于xoy面對稱，為z的奇函數(shù)關(guān)于xoy面對稱，為z的偶函數(shù)第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四三、三重積分的計(jì)算方法

1．利用直角坐標(biāo)計(jì)算

（1）“先一后二”法

則

（2）“先二后一”法

其中是豎坐標(biāo)為的平面截閉區(qū)域所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域，則

若為在面上的投影區(qū)域若第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四2．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算若

3．利用球面坐標(biāo)計(jì)算若

則

則

第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四四、三重積分的解題方法計(jì)算三重積分主要應(yīng)用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)

三種坐標(biāo)計(jì)算。通常要判別被積函數(shù)和積分區(qū)域

所具有的特點(diǎn)。如果被積函數(shù)

積分區(qū)域的投影是圓域，則利用球面坐標(biāo)計(jì)算；如果

被積函數(shù)，則可采用先二后一法計(jì)算；如果

被積函數(shù)，積分區(qū)域?yàn)橹虻耐队?/p>

是圓域，則利用柱面坐標(biāo)計(jì)算；若以上三種特征都不具備，

則采用直角坐標(biāo)計(jì)算。三重積分計(jì)算的解題方法流程圖如下：第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四利用球面坐標(biāo)計(jì)算先一后二的方法YesNoNoYes轉(zhuǎn)化為三次積分先二后一的方法求D1及截面面積求確定上頂曲面下頂曲面為柱或投影為圓域投影為圓域利用柱面坐標(biāo)計(jì)算

確定上頂曲面下頂曲面利用直角坐標(biāo)計(jì)算YesNo1231112解題方法流程圖第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四五、重積分的應(yīng)用

1．幾何應(yīng)用2．物理應(yīng)用（1）質(zhì)量

（2）質(zhì)心，，

（3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

空間立體的體積:曲面的面積:第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四六、典型例題【例1】設(shè)有一物體，占有空間閉區(qū)域在點(diǎn)處

的密度為，計(jì)算該物體的質(zhì)量。分析由三重積分的物理意義，可得所求物體的質(zhì)量為

。故只需計(jì)算三重積分即可。而積分區(qū)域?yàn)榱Ⅲw，故可考慮利用直角坐標(biāo)計(jì)算。

解:由三重積分的物理意義，可得所求物體的質(zhì)量為第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四分析由于積分區(qū)域是由四個(gè)平面所圍成的四面體，故本題應(yīng)考慮利用直角坐標(biāo)計(jì)算；即按照框圖中線路111的方法計(jì)算。

解:（如圖）在平面上的投影域.

的上頂曲面為，即：。

【例2】計(jì)算三重積分。其中為平面，

，，，所圍成的四面體。

下頂曲面為。

于是，得第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四【例3】計(jì)算三重積分。其中是由曲面

與平面，及所圍成的閉區(qū)域。

分析由于積分區(qū)域和被積函數(shù)不具有利用“先二后一”、柱面

坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算的特點(diǎn)，所以，本題考慮利用直角坐標(biāo)來計(jì)算，即按照框圖中線路111的方法計(jì)算。

第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四解:(1)求（如圖）在平面上的投影區(qū)域?yàn)?2)確定上頂曲面及下頂曲面。(3)轉(zhuǎn)化為先對后對的三次積分計(jì)算：因?yàn)楫?dāng)時(shí)滿足，,。因此第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四【例4】計(jì)算三重積分。其中是由曲面

及平面所圍成的閉區(qū)域。

分析由于積分區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域

且被積函數(shù)中含有，所以可采用柱面

坐標(biāo)計(jì)算，即按照框圖中線路112的方法計(jì)算比較簡單。

解：積分區(qū)域的如圖所示。在柱面坐標(biāo)下故有

第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四【例5】計(jì)算三重積分.其中是由錐面

與平面所圍成的閉區(qū)域。

被豎坐標(biāo)為的平面所截的平面閉區(qū)域?yàn)閳A域

故本題利用直角坐標(biāo)系中“先二后一”的方法，即按照框圖中面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域，所以本題也可采用柱面坐標(biāo)計(jì)算，即按框圖中線路112的方法計(jì)算。

解法1：利用“先二后一”方法計(jì)算。由于，

線路3的方法來計(jì)算比較簡便；考慮到積分區(qū)域在坐標(biāo)

分析由于被積函數(shù)只與變量有關(guān)，且積分區(qū)域

第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四其中，故

解法2：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。在柱面坐標(biāo)下

故有

注：從上面兩種解法的過程來看，雖然本題可用兩種方法來計(jì)算，但“先二后一”法相對簡便。第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四【例6】計(jì)算三重積分，其中是由圓錐面

與上半球面所圍成的閉區(qū)域。

分析同上題的分析，本題可考慮用直角坐標(biāo)系中的“先二后一”法和柱面坐標(biāo)方法進(jìn)行計(jì)算。

解法1：利用“先二后一”方法計(jì)算。因

由于當(dāng)時(shí)，；

而當(dāng)時(shí)，。

第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四故需用平面將積分區(qū)域劃分為兩部分：其中于是，得第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四解法2：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。在柱面坐標(biāo)下故有注：從上面兩種解法的過程來看，雖然本題可用兩種方法來計(jì)算，但利用柱面坐標(biāo)計(jì)算相對簡便。第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四【例7】求，其中是由球面

所限定的球域。分析由于積分區(qū)域是由球面所圍成的球域，且被積函數(shù)線路2的方法計(jì)算比較簡單。

在球面坐標(biāo)系下，中含有

，故本題利用球面坐標(biāo)計(jì)算，即框圖中解：積分區(qū)域的圖形如圖。第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四故有

分析由于積分區(qū)域是由兩個(gè)球面及平面所圍成的球殼體，故

【例8】計(jì)算三重積分。其中是由球面

和平面所確定的閉區(qū)域。

本題利用球面坐標(biāo)計(jì)算，即框圖中線路2的方法計(jì)算比較簡單。第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四解：積分區(qū)域的圖形如圖。在球面坐標(biāo)系下

故有

【例9】計(jì)算三重積分。其中是兩個(gè)球體

及的公共部分。

第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四計(jì)算，即框圖中線路2和線路1→12的計(jì)算方法。但由于被積

又滿足框圖中線路3的條件，故亦可用“先二后一”法來求解。解法1：利用球面坐標(biāo)計(jì)算。用圓錐面將分成兩部分分析由于在平面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域（如圖），且

的邊界曲面是球面，故很容易聯(lián)想到用球面坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)函數(shù)而的截面面積又非常容易求,因此，

其中第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四于是，得解法2：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。由于在平面的投影區(qū)域

；故在柱面坐標(biāo)下，第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四于是有第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四解法3：用“先二后一”法計(jì)算。用平面將積分區(qū)域劃分為兩部分：，其中

于是，得注：從上面三種解法的計(jì)算過程中不難發(fā)現(xiàn)，雖然此題可用三種方法來求解，但其中的“先二后一”法最為簡便。第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四【例10】設(shè)，計(jì)算，

分析由于積分區(qū)域關(guān)于面對稱，而函數(shù)關(guān)于變量為奇函數(shù)，所以，又，故本題可利用對稱性及積分的性質(zhì)計(jì)算。

解：

第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四【例11】*計(jì)算三重積分。其中為：

分析由于被積函數(shù)中含有絕對值，所以應(yīng)首先考慮如何去掉絕對值注意到積分區(qū)域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面均對稱，同時(shí)被積

可將所求的三重積分簡化為如下積分

其中為在第一卦限內(nèi)的區(qū)域。而積分可在直角

解：設(shè)

函數(shù)關(guān)于都為偶函數(shù)，故由三重積分的對稱性結(jié)論，坐標(biāo)系下采用先對后對的

“先二后一”的方法計(jì)算。在投影區(qū)域?yàn)椋旱?8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四由于積分區(qū)域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面均對稱，同時(shí)被積函數(shù)注：若本題用球面坐標(biāo)法計(jì)算，盡管積分限很簡單，但被積函數(shù)的積分卻不易求得。

關(guān)于都為偶函數(shù)，故由三重積分的對稱性結(jié)論，得【例12】*設(shè)連續(xù)，