高等數(shù)學D3-3泰勒公式課件

高等數(shù)學D3-3泰勒(tàilè)公式課件第一頁，共32頁。特點(tèdiǎn):一、泰勒公式(gōngshì)的建立以直代曲在微分應(yīng)用中近似(jìnsì)公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?x的一次多項式第二頁，共32頁。1.求n次近似(jìnsì)多項式要求(yāoqiú):故令那么(nàme)第三頁，共32頁。2.余項估計(gūjì)令(稱為(chēnɡwéi)余項),那么(nàme)有第四頁，共32頁。第五頁，共32頁。公式①稱為的n

階泰勒公式.公式(gōngshì)②稱為n階泰勒公式(gōngshì)的拉格朗日余項.泰勒(tàilè)(Taylor)中值定理:階的導數(shù)(dǎoshù),時,有①其中②那么當泰勒第六頁，共32頁。公式③稱為(chēnɡwéi)n階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項.在不需要余項的精確(jīngquè)表達式時,泰勒公式可寫為注意(zhùyì)到③④*可以證明:④式成立第七頁，共32頁。特例(tèlì):(1)當n=0時,泰勒(tàilè)公式變?yōu)?2)當n=1時,泰勒(tàilè)公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差第八頁，共32頁。稱為(chēnɡwéi)麥克勞林(Maclaurin)公式.那么(nàme)有在泰勒公式(gōngshì)中假設(shè)取那么有誤差估計式假設(shè)在公式成立的區(qū)間上麥克勞林由此得近似公式第九頁，共32頁。二、幾個初等函數(shù)(hánshù)的麥克勞林公式其中(qízhōng)麥克勞林公式(gōngshì)第十頁，共32頁。其中(qízhōng)麥克勞林公式(gōngshì)第十一頁，共32頁。麥克勞林公式(gōngshì)類似(lèisì)可得其中(qízhōng)第十二頁，共32頁。其中(qízhōng)麥克勞林公式(gōngshì)第十三頁，共32頁。其中(qízhōng)因此(yīncǐ)可得麥克勞林公式(gōngshì)第十四頁，共32頁。三、泰勒公式(gōngshì)的應(yīng)用1.在近似計算中的應(yīng)用(yìngyòng)誤差(wùchā)M為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)x和誤差限,要求確定項數(shù)n;2)項數(shù)n和x,計算近似值并估計誤差;3)項數(shù)n和誤差限,確定公式中x的適用范圍.第十五頁，共32頁。例1.計算無理數(shù)e的近似值,使誤差(wùchā)不超過解:令x=1,得由于(yóuyú)欲使由計算(jìsuàn)可知當n=9時上式成立,因此的麥克勞林公式為第十六頁，共32頁。說明:注意舍入誤差(wùchā)對計算結(jié)果的影響.本例假設(shè)(jiǎshè)每項四舍五入到小數(shù)點后6位,那么各項舍入誤差(wùchā)之和不超過總誤差限為這時得到的近似值不能保證誤差不超過因此計算時中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.第十七頁，共32頁。例2.用近似(jìnsì)公式計算(jìsuàn)cosx的近似值,使其精確(jīngquè)到,試確定x的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當時,由給定的近似公式計算的結(jié)果能準確到.第十八頁，共32頁。2.利用泰勒公式(gōngshì)求極限例3.求解:由于(yóuyú)用洛必達法那么(nàme)不方便!用泰勒公式將分子展到項,第十九頁，共32頁。3.利用(lìyòng)泰勒公式證明不等式例4.證明(zhèngmíng)證:+第二十頁，共32頁。內(nèi)容(nèiróng)小結(jié)1.泰勒(tàilè)公式其中(qízhōng)余項當時為麥克勞林公式.第二十一頁，共32頁。2.常用函數(shù)(hánshù)的麥克勞林公式(P142~P144)3.泰勒(tàilè)公式的應(yīng)用(1)近似計算(3)其他(qítā)應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項式逼近函數(shù)例如第二十二頁，共32頁。泰勒(tàilè)多項式逼近6422464224O第二十三頁，共32頁。泰勒(tàilè)多項式逼近642246O4224第二十四頁，共32頁。思考(sīkǎo)與練習計算(jìsuàn)解:原式第四節(jié)作業(yè)(zuòyè)P1451;4;5;7;8;*10(1),(2)第二十五頁，共32頁。泰勒(tàilè)(1685–1731)英國(yīnɡɡuó)數(shù)學家,他早期是牛頓(niúdùn)學派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:?正的和反的增量方法?(1715)?線性透視論?(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.第二十六頁，共32頁。麥克勞林(1698–1746)英國(yīnɡɡuó)數(shù)學家,著作(zhùzuò)有:?流數(shù)論(shùlùn)?(1742)?有機幾何學?(1720)?代數(shù)論?(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù).第二十七頁，共32頁。證:由題設(shè)對備用(bèiyòng)題1.有且點第二十八頁，共32頁。下式減上式,得令第二十九頁，共32頁。兩邊(liǎngbiān)同乘n!=整數(shù)(zhěngshù)+假設(shè)(jiǎshè)e為有理數(shù)(p,q為