2023屆四川省蓉城聯(lián)盟高三三模數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆四川省蓉城聯(lián)盟高三三模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)集合A，B，再利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解：由題意得，，故選：D.2．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦和角公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)樗裕?，所以?故選:C.3．校園環(huán)境對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)是重要的，好的校園環(huán)境離不開(kāi)學(xué)校的后勤部門(mén).學(xué)校為了評(píng)估后勤部門(mén)的工作，采用隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查100名學(xué)生對(duì)校園環(huán)境的認(rèn)可程度（100分制），評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下：中位數(shù)評(píng)價(jià)優(yōu)秀良好合格不合格2023年的一次調(diào)查所得的分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示，則這次調(diào)查后勤部門(mén)的評(píng)價(jià)是（

）A．優(yōu)秀 B．良好 C．合格 D．不合格【答案】B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求解中位數(shù)即可得答案.【詳解】解：由頻率分布直方圖可知，前3組的頻率分別為，第4組的頻率為所以，中位數(shù)，即滿足，對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)是良好.故選：B.4．雙曲線的離心率為，其漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，結(jié)合雙曲線的結(jié)合性質(zhì)求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意知，雙曲線的離心率為，可得，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.5．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由題意，平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，可得，則且，所以.故選：A.6．一個(gè)四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為上底長(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為2，腰長(zhǎng)為的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C．28 D．【答案】A【分析】根據(jù)三視圖得到該四棱臺(tái)腰長(zhǎng)為，上底長(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為2的正四棱臺(tái)求解.【詳解】解：由三視圖可知該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，且腰長(zhǎng)為，因?yàn)樯系组L(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高為，棱臺(tái)的體積，故選：.7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先求得時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，求得函數(shù)的值域，進(jìn)而求得其最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)橐驗(yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以的值域?yàn)?，所以的最小值?故選：A.?JohnWheeler曾說(shuō)過(guò)：今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被稱為科學(xué)上的文化人.koch雪花曲線是一種典型的分形曲線，它的制作步驟如下：第一步：任意畫(huà)一個(gè)正三角形，記為，并把的每一條邊三等分；第二步：以三等分后的每一條邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，記所得圖形為；第三步：把的每一條邊三等分，重復(fù)第二步的制作，記所得圖形為；同樣的制作步驟重復(fù)下去，可以得到，直到無(wú)窮，所畫(huà)出的曲線叫做koch雪花曲線.若下圖中的邊長(zhǎng)為1，則圖形的周長(zhǎng)為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，建立圖形中的邊數(shù)為，每條邊的長(zhǎng)度為的遞推關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列求通項(xiàng)公式即可得答案.【詳解】解：設(shè)圖形中的邊數(shù)為，每條邊的長(zhǎng)度為，所以，由題可知，數(shù)列的遞推關(guān)系為，；數(shù)列的遞推關(guān)系為，，所以，由等比數(shù)列定義與通項(xiàng)公式得圖形的邊數(shù)為，邊長(zhǎng)為，所以，圖形的周長(zhǎng)為，所以，當(dāng)時(shí)，圖形的周長(zhǎng)為.故選：D.9．將2個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰且2個(gè)1也不相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列舉法求解即可.【詳解】解：基本事件有：，滿足要求的有：.故選：C.10．已知直線是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題知，進(jìn)而得，再求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】解：直線是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，，即，令，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.11．如圖，在梯形中，，將沿對(duì)角線折起，使得點(diǎn)翻折到點(diǎn)，若面面，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的外心，為三棱錐的外接球球心，利用球的截面性質(zhì)得到四邊形為矩形，然后設(shè)外接球半徑為，由求解.【詳解】解：如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的外心，為三棱錐的外接球球心，則面面.由題意得為的外心，在中，，所以，又四邊形為矩形，，設(shè)外接球半徑為，則外接球表面積，故選：B.12．設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1【答案】B【分析】令，求得且，分別當(dāng)和時(shí)，可判定A、C錯(cuò)誤；當(dāng)，得到；當(dāng)時(shí)，求得，令，求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，可判定B正確；當(dāng)，得到；當(dāng)，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，得到，進(jìn)而可判定D不正確.【詳解】令，則，且，當(dāng)時(shí)，，所以存在一個(gè)較小的數(shù)使得都有，當(dāng)時(shí)，，所以存在一個(gè)較小的數(shù)使得都有所以A、C都不正確；對(duì)于B中，當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，可得，令，可得，所以在單增，則，即，所以在單增，則，即，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，所以B正確；對(duì)于D中，當(dāng)，則；當(dāng)，令，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，所以，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，所以D不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．二、填空題13．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，然后由模長(zhǎng)公式可得.【詳解】解：模長(zhǎng)為.故答案為：.14．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.【答案】1【分析】在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，由圖即可得出答案.【詳解】解：注意到，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，易知零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故答案為：1.15．如圖，在中，.延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的面積為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理和面積公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谥?，，，所以，由正弦定理得，即，所以，，在中，由正弦定理可得，因?yàn)樗裕?故答案為：.16．拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則________.【答案】6【分析】要求，需要求出，設(shè)直線的斜率為，根據(jù)條件表示出線段的垂直平分線方程，令，可得，又由點(diǎn)差法可得，從而可求出，即也可知道，從而可求出【詳解】由題意得，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，設(shè)直線的斜率為，則線段的垂直平分線方程為，令，得，即，又，作差得整理得，所以，∴．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的弦的垂直平分線問(wèn)題，關(guān)鍵在于點(diǎn)差法以及弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題三、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算得，再求通項(xiàng)公式即可；（2）由題知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而結(jié)合求和公式求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)的公差為，由得，，解得，∵，即，∴，∴，∴；（2）解：由得，∴，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，.18．隨著容城生態(tài)公園綠道全環(huán)貫通，環(huán)城綠道騎行成為最熱門(mén)的戶外休閑方式之一.環(huán)城綠道全程約100公里，不僅可以繞蓉城一圈，更能360度無(wú)死角欣賞蓉城這座城市的發(fā)展與魅力.某位同學(xué)近半年來(lái)騎行了5次，各次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評(píng)分與對(duì)應(yīng)用時(shí)（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評(píng)分12345用時(shí)小時(shí)7(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立關(guān)于的回歸方程.參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關(guān)系數(shù).【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)求出相關(guān)系數(shù)，由相關(guān)系數(shù)的可判斷相關(guān)程度；（2）利用公式直接計(jì)算可得.【詳解】（1），相關(guān)系數(shù)近似為，說(shuō)明與負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；（2）由（1）中數(shù)據(jù)，，，關(guān)于的回歸方程為.19．如圖，正三棱柱的體積為是的中線上的點(diǎn).(1)求證：；(2)經(jīng)過(guò)且與垂直的平面交于點(diǎn)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，再由正棱錐的性質(zhì)可得，從而由線面垂直的判定定理可得面，再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，若三棱錐的體積最大，則點(diǎn)到面的距離最大，可得點(diǎn)在以為直徑的圓上，從而可求出點(diǎn)到面的最大距離，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】（1）在正三棱柱中，是的中線，，又面面，而，面，面，又，即面，而；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由得，若三棱錐的體積最大，則點(diǎn)到面的距離最大，面點(diǎn)在以為直徑的圓上，作出截面，如圖，易知點(diǎn)到面的最大距離為，此時(shí)，.20．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意，都有求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)【分析】（1）求導(dǎo)，因式分解后可知其單調(diào)區(qū)間；（2）分和討論其單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)最大值小于等于1解不等式可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），當(dāng)；當(dāng)，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，且，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，于是，實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，交于交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn).試探究是否為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是，1【分析】（1）由題設(shè)可得關(guān)于的方程組，求出其解后可得橢圓的方程.(2)【詳解】（1）由題意，，解得，代入點(diǎn)得，解得，的方程為：；（2）由題意，，當(dāng)斜率都不為0時(shí)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性得，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，得恒成立，，同理可得：，直線方程：，令，得，同理：，，，當(dāng)斜率之一為0時(shí)，不妨設(shè)斜率為0，則，直線方程：，直線方程：，令，得，，綜上：.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由曲線的參數(shù)方程通過(guò)將兩個(gè)式子兩邊分別平方再相減可消去參數(shù)，得到曲線的普通方程；對(duì)于曲線先化為，再利用公式直接化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）根據(jù)曲線是以為圓心，的圓，則，設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式建立，令，從而利用二次函數(shù)即可求得最小值.【詳解】（1）由變