2021年上海高考數學沖刺直通車05平面向量（專練）教師版

考點05平面向量

一、單選題

1.(2019?上海市青浦高級中學高三月考)已知,、方均為單位向量，且萬4=0,若付一司+但一2屆|=3,

則信+2大的取值范圍是()

A.[2>/2,3|B.[2\/2,2V3]C.[23]D.已2何

【答案】B

【分析】先由已知設各向量所對應的坐標，再結合向量模的幾何意義，求出向量枳寸應點C的運動軌跡，再

結合點到直線及兩點的距離求解即可.

【詳解】解：因為示石均為單位向量，且五.萬=0,所以設初=五=(1,0)，05=b=(0,l).

OD=2V2&=(0,2x/2)，0?=^=(x,y網|初戶小十：=3,

由但一司的幾何意義為點C到點4的距離，但一2磔|的幾何意義為點C到點。的距離,

因為但一可+但一2儂|=3，即|CA|+|C￡>|=3，又|而|=3，即點C在線段AD上運動,

設爐=-2a=(-Z0)則但+2可的幾何意義為點E到點C的距離，

又4D所在的直線方程為y+2&x-20=0,則皿幻=J苜:;,=2衣,

點E到點C的最大距離為點(一2,0)到點(0,2企)的距離，即為J(-2)2+(2V2)2=2百，

即2e工仔+2目42通,故選：B.

【點睛】本題考查r向量模的幾何意義及動點的軌跡問題，重點考查了點到直線及兩點的距離，屬中檔題.

2.(2020?上海高三其他模擬)對于平面向量x和給定的向量a,記/(x)=x-2(x-a)a,若

/(4)?/(5)=鼠5對任意向量x，y恒成立，則〃的坐標可能是()

【答案】D

[解析]/(X)?f(y)=[x-2(x-a)a][y-2(y-a)a]=x-y-4(y?a)(a-x)+4(x-a)(y-a)a2.因為

.f(x)-f(y)=x-y,所以“2=只有選項D的向量的模等于1.所以選D.

【點睛】根據〃x)=x-2(x-a)a寫出

f(x)-f(y)=[x-2(x-a)a][y-2(y-a)a]=x-y-4(y-a)(a?x)+4(x?a)(y-a)a2,因為

/(%>，(>)=心曠對任意向量恒成立，所以兩式右邊相等，可得Y=i.|0=1,驗證四個選項即可.

3.(2020?上海高三專題練習)己知菱形ABC。的邊長為2,N8AD=120°，點瓦/分別在邊8C,Z)C上,

2

BE=2BC,DF=〃DC芾AEAF=1,CECF=-5,則4+〃等于()

Ic2

A.—B.-

23

57

C.—D.—

612

【答案】C

試題分析：益=120。,,■，而,而=|荏|,|萬|，cos120。=-2.?.?礪=人數,

二荏=荏+入而，酢=乩樂+萬二?通，屈=1,：(刀+人殉5運+殉=1，即

32A

27+24-24=2①，同理可得—;1-//=一二②，①+②得/+"=二，故選C.

236

考點：1.平面向量共線充要條件；2.向量的數量積運算.

4.(2020.上海高三專題練習)設A，B,C是平面內任意三點，則A8.AC=()

A.AB"+AC~-BC2B.^AB'+AC-BC^

1/1/

C.2+AC2\)-BC2D.2+AC2\j-BC2

【答案】B

【分析】由題意結合平面向量線性運算法則、數量積的運算律得BC2=A/+AC2_2AB-AC，即可得

解.

2

【詳解】由題意8c2={^AC-AB^=AB1+AC1-2AB-AC,

1/222\

所以A8-AC=/（A8+AC-BC”故選：B.

【點睛】本題考查了平面向量線性運算法則、數量積的運算律的應用，關鍵是對條件合理變形，屬于基礎

題.

5.（2019?上海浦東新區(qū)?華師大二附中高三期中）已知所半徑為20的圓C上的一條動弦，目所=4,

。為圓C內接正三角形邊上一動點，則￡0.0尸的最大值為（）

A.3B.2#>C.4D.2A/2

【答案】C

【分析】根據題意，設M是動弦EF的中點，判斷/點的軌跡是以。為圓心、半徑為2的圓，根據向量

的線性運算法則，表達EDDF，即可求解.

【詳解】由題意，M是半徑為2拉的圓。上的一條動弦，設M是動弦EF的中點,

r2-(^EF

則CMI=2.故M點的軌跡是以C為圓心、半徑為2的圓,

2

則EQ?OF=(MD—ME)(MF—MD)=MD(MF+ME)—ME.MF—MD

由M是族的中點，則ME+M/7：。，.?.兒忘=一胸

則石0?0尸=32_加02,由目=2,則E￡).OP=4_Mo2

因為。足圓C內接正三.角形邊上一動點，M是動弦所的中點,

所以當。取M點的軌跡與正三角形交點時，=0是最小值,

此時(ED-DFI=4故選：C

max

【點睛】本題考查向量的線性運算及數量積運算求最值問題，考查轉化與化歸思想，屬于中等題型.

6.（2019?上海徐匯區(qū)?高三月考）設，是A5c的垂心，且3"A+4H8+5HC=0，貝iJcosZBHC的值

為()

V30V5

A.LRJ.-一c

IF5-4

【答案】D

3

【分析】由三角形垂心性質及已知條件可求得>/五，|“q=,由向量的夾角公式即可求解.

【詳解】由三角形垂心性質可得，HA-HB=HB-HC=HC-HA，不妨設

HA-HB=HB-HC=HC-HA=x,：3乜4+4”6+5=0，

3HAHB+4HB2+5HCHB=0'A\HB\='同理可求得|罔=}]

HBHC屈

.?.cosZBHC

WK故選：D.

【點睛】本題考查平面向量的運用及向量的夾角公式，解題的關鍵是由三角形的垂心性質，進而用同一變

量表示出要求學生有較充實的知識儲備，屬于中檔題.

二、填空題

7.(2018?上海市行知中學高三期中)已知兩個不相等的平面向量a,用(aw0)滿足網=2,且a與￡-a的

夾角為120。,則的最大值是

【答案】更

3

【分析】如下圖所示：先過同一起點做出兩個不相等的平面向量a,運用平面向量的減法幾何意義

做出〃-a,運用正弦定理、三角函數的性質可以求出忖的最大值.

【詳解】如下圖所示：設a=OA,￡=O5WJAB=￡—a,NBAO=60°,NBAC=120°,

且。8=2,0°<NB<120".

在A。中屈正弦定理可得：.="，即二=」￡1_,解得

sinAOABsinZBsin60sinZB

|a|=生8sinNB,因為0°<ZB<120°,所以當NB=90°時，時有最大值，最大值為逋.

故答案為：巫

3

4

120*

O

【點睛】本題考查了平面向量模的最大值問題，考查了正弦定理的應用、正弦函數的最值，考查了平面向量減

法的幾何意義.

8.（2019?上海市大同中學）已知向量滿足同=1,忖=2,則,+耳+,一可的取值范圍是

【答案】［4,26］

【分析】根據平面向量三角不等式可確定,+4+卜＞2同與卜+4+卜一司＞羽同時成立，由此可

得最小值；利用基本不等式可確定最大值，進而得到取值范圍.

［詳解］k+可+,—Z?3（a+Z?）+（a=2同=2

且,+司+卜_司寸4+/＞）_（4_/?）|=2|同=4

.?.卜+可+卜一可24（當且僅當a+6與a—/,反向時取等號）

1Q+b|+|a-a+b+a—b-/---------廣

J一——2——=后而=布

二.卜+4+卜-4W2行（當且僅當卜+,=卜一同時取等號,此時“力=0）

綜上所述：,+。|=,一人的取值范圍為卜,2向，故答案為［4,2司

【點睛】本題考查平面向量三角不等式和基本不等式在求解最值上的應用，關鍵是能夠通過不等式的知識

將問題轉化為已知模長的運算問題；易錯點是利用三角不等式時，忽略兩個條件需同時成立，造成最小值

求解錯誤.

9.（2019.上海青浦區(qū).高三一模）已知平面向量a、b、c滿足|。|=1，時=|。=2,且6c=0,則當0W2W1

時，,一初—（1一4）d的取值范圍是

【答案】［四-1,3］

【分析】設OB=b=(2,0).OC=c=(0,2).。4=a,00=d=4b+(1-2)c”根據向量減法的幾何意義,

轉化為求線段6c上的動點。與單位圓上的動點A之間的距離|D41的取值范圍.結合圖象觀察可得.

5

【詳解】因為|ZH=|c|=2,且b.c=O,所以可設OB=b=(2,0),OC=c=(0,2)，OA=q,

設00=1=力,+(1一㈤c,因為0W/LW1,所以點。在線段BC上，

因為|a|=1,所以點A在單位圓V+y2=1上,如圖”

所以|a一九。一（1一4）c|=|04—。。|=|DA|,

則問題轉化為求線段BC上的動點D與單位圓上的動點A之間的距離|DA\的取值范圍.

由圖可知:當8人BC,且A為線段OD與單位圓的交點時，|DA|取得最小值J5—1.當。與5(或C)重

合,A為單位圓與8(或>)軸的負半軸的交點時，|0Al取得最大值2+1=3.

所以|a—勸—(1—/l)c|的取值范圍是[夜―1,3].故答案為：[啦—1,3].

【點睛】本題考查了平面向量減法的幾何意義,解題關鍵是將|a--(1-?c|轉化為兩個動點之間的距離.

屬于難題.

10.(2020?上海高三專題練習)一條河的兩岸平行，河的寬度d=4h〃，一艘船從岸邊A處出發(fā)到河的正對岸，

已知船的速度同=10h皿,水流速度同=2m〃7,.那么行駛航程最短時，所用時間是(/?).(附：76-2.449,

精確到0.01?

【答案】0.41

6

【分析】要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度V必須垂直于對岸，利用勾股定理求出合速度,

從而可求出航行時間.

【詳解】要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度V必須垂直于對岸，

如圖指：|v|=^|vj--|v2|-=V%（km/!i）>

所以，=&=-^=一=0.41（力）.故答案為：0.41

|v|V%6v7

【點睛】本題考查了向量加法的三角形法則以及幾何意義，屬于基礎題.

11.（2020?上海高三專題練習）在ABC中，設。是BC邊上一點，且滿足CZ）=2DB，

CD=AAB+^iAC,則丸+〃的值是.

【答案】0

【分析】由題意結合平面向量的性質可得CD=2CB,根據平面向量線性運算法則可得

3

22

CD=-AB一一AC,再由平面向量基本定理即可得解.

33

【詳解】由題意畫出圖形，如圖：

CD=2DB'CD=-2CB=-2/\^AB-AC\）=-2AB--2AC=AAB+pAC,

22

由AB、AC小共線可得夭〃=+〃=0.故答案為：0.

【點睛】本題考查了平面向量線性運算的應用及平面向量基本定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基

礎題.

12.（2020?上海市南洋模范中學高三期中）己知點G是ABC的重心，角A,B,C所對的邊長分別為

7

cihc

b,c,且一G4+—G8+2GC=0,則角3=.

578

【答案】一

3

【分析】點G是ABC的重心，可得GA+GB+GC=O,由題設可知a=5,b=7,c=8,再結合余弦定理

可求得角3的大小.

【詳解】由點G是ABC的重心，可得GA+GB+GC=O,

又@GA+^GB+gGCuO,所以a=5/=7,c=8

578

25+64-49

由余弦定理可得cosB=

2ac802

77TT

又0<3（乃，則5=—,故答案為：一

33

【點睛】關鍵點睛：本題是向量與解三角形的綜合題，解題的關鍵是要清楚：若點G是ABC的重心，則

G4+GB+GC=0,從而得到邊長。，b,c,,再結合余弦定理求解，考杳學生的推理能力與計算能力，屬

于基礎題.

13.（2020.上海徐匯區(qū)?位育中學高三期中）已知點M、N在以AB為直徑的圓上，若AB=5,AM=3,

BN=2,則啟疝V=--------

【答案】12

【分析】連接AN、BM、MN,根據圓的圓周角性質，可得NAMB=N/TVB=90°，從而得出

AN=752-22=后，利用平面向量的線性運算求得AB-MN=AB（AN-AMj=AB-AN-AB-AM，

最后結合平面向量的數量積公式，即可求出結果.

【詳解】解：連接AN、BM、MN、如圖所示，由于A3為圓的直徑，AB=5,40=3，BN=2,

則NAM8=Z/UVB=90。，AN=4"方=后,

->—>—>（—>—>、—>—>—>—>

由于MN=ABAN-AM\=AB-AN-AB-AM

-COSZBAN-ABAM-cosZBAM

8

.ANAM

>>>>I\

=AB-A/V?—-\AB■AM\\~[

AB

?AB

22

=AN-AM=(V21)2-32=12,

即：xk加=12,故答案為：12.

【點睛】本題考查平面向量的線性運算和向量數量積公式，考查轉化思想和計算能力.

三、解答題

14.(2017?上海閔行區(qū)?高三一模)已知加=(26,1),n=Icos2psin1,A、B、C是ABC的內

角.

(1)當A=1時，求］〃|的值；

⑵若C='，|43|=3,當初?〃取最大值時，求A的大小及邊的長.

【答案】(1)由(2)A=2,BC=W)

26

TT

【分析】(1)將人=一代入計算即可.

2

(2)先求出機.〃的解析式，由其取最大值得到A=J,再根據正弦定理求得5C=百.

JI(1

【詳解】解：(1)當A=—fi寸，n=-,1

2(2

廠Ar

(2)m-n=2\J3cos2—+sinA=V3(1+cosA)+sinA

9

+>/3.

ABBC3BC

加?〃取到最大值時,A=—，由正弦定理sinCsinA-2."，解得5C二6.

6sin—萬sin一

36

【點睛】本題主要考查倍角公式與半角公式、正余弦定理的應用、平面向量的線性運算.是中檔題.

步向右向量的分解與向量的坐標運算

一、單選題

I1￥￥]

1.(2020?上海高三專題練習)已知向量a=(2,3),b=(-\,2),若mQ+4與2b共線，則，■等于

()

2

-2D.2

【答案】A

【分析】先求出+=(2”一〃,3機+2〃)，。-2。二(4,一1),再根據向量共線求解即可.

【詳解】由題得根〃+〃。=(2m,3m)+(-n+2n)=(2m-n,3m+2n)，a-2b=(2,3)—(-2,4)=(4,-1)

iiffi

因為〃2Q+汕與4—2b共線，廠.-26+〃=12/77+8",14/%=一二—"^■.故選：A.

n2

【點睛】

本題主要考查平面向量的坐標運算和向量共線的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬

于基礎題.

2.(2019?上海市建平中學高三月考)如果將04=繞原點O逆時針方向旋轉120。得到。8,則。8

的坐標是

73」_更_1

~二~,一二5

22-

【答案】D

【分析】先求出直線OA的傾斜角，再求直線OB的傾斜角，即得點B的坐標和OB的坐標.

10

1

2A/37i

【詳解】設直線0A的傾斜角為a,tana=.=一丁,a="，

V33o

T

因為5+2:=以%,|OA|=|OB|,所以點B的坐標為(cos9￡,sin旦)即(-走,乙).故答案為D

6366622

【點睛】本題主要考查向量的坐標，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.

3.(2019?上海市西南位育中學高三期中)將一圓的六個等分點分成兩組相同的三點，它們所構成的兩個正

三角形扣除內部六條線段后可以形成一正六角星，如圖所示的正六角星的中心為點0,其中x、y分別為

點。到兩個頂點的向量，若將點。到正六角星12個頂點的向量，都寫出◎+力的形式，則a+力的最大值

為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據題意，作出圖形，分別用X、y表示出相鄰的6個頂點的向量，即可求出結果.

【詳解】要求G+辦的最大值，只需考慮圖中6個頂點的向量即可，討論如下：

(1)因為蘇=；，所以(a,6)=(1,0)；

UUUUUU1UUU1

(2)因為08=0尸+EB=y+3x,所以(a,b)=(3,l)；

UUUUUU1UUUU1

(3)因為OC=OF+bC=y+2x,貝ij(a,。)=(2,1)；

UUIUUU1UUU1L1UU1U1UUU1u

(4)因為00=0尸+FE+E3=y+x+OC=3x+2y,則(。力)=(3,2)；

UUU1UUIUUU1U1

(5)因為OE=O尸+尸￡=y+x,貝ij(a,。)=(1,1)；

UUIUu

(6)因為0b=丁，則(。乃)=(0』)；因此，Q+b的最大值為3+2=5.故選：C

11

【點睛】本題主要考查由用基底表示向量，熟記平面向量基本定理即可，屬于常考題型.

4.（2020?上海高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知向量回=忖=1,入。=0，點Q

滿足OQ=，曲線C={P|0P=acos6+Z?sin6,0=2萬},區(qū)域

Q={p[0<rWPQWH,r<H}.若CQ為兩段分離的曲線，則（）

A.l<r<R<3B.1<r<3</?C.r<l</?<3D.l<r<3<7?

【答案】A

【分析】由已知設。=（1,0）,匕=（0,1）,則。（Ji,也），所以OP=acos8+力sin8=（cose,sine），由

此得P點軌跡為一個以。為圓心，1為半徑的單位圓，從而得r>2—1=1，r<R<2+l，得解.

【詳解】解：設。=（1,0）,匕=（0,1），則0Q=6（a+b）=（6,也）,所以Q（加,亞）；

OP=acose+〃sinO=（cosasine），則P點軌跡為-一個以。為圓心，1為半徑的單位圓，

。={口0<r〈|「。區(qū)七廠<7?}表示區(qū)域為：以。為圓心，內徑為r,外徑為R的圓環(huán)，

旦CQ為兩段分離的曲線，則單位圓與圓環(huán)的內，外兩圓均相交.

又因為|0。|=2,所以|OQ|T<r<R<|OQI+L所以l<r<R<3.故選：A.

【點睛】本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，其中根據已知條件利用向量的幾何特征建立適當的坐

標系，分析出點P的軌跡及。表示的區(qū)域是解決本題的關鍵，屬于中檔題.

5.（2020.上海高三專題練習）把點（3,4）按向量1平移到點（-2,1）,則函數y=2'的圖像按向量;平移后

的圖象的函數表達式為（）.

A.y=2X~5+3B.y=2x~5-3

C.y=2V+5+3D.y=2x+5-3

【答案】D

【分析】根據坐標平移的性質和平面向量坐標加減法運算，解得之的坐標，再根據函數圖象平移的方法，

12

可得y=2,的圖像按向量;平移后的圖象的函數表達式.

【詳解】解：由題可知，把點(3,4)按向量：平移到點(-2,1),則(3,4)+1(-2,1)，；二=(-5,-3)，

則y=2*的圖象按向量;平移后的圖象的函數表達式為y=2J+5-3.故選：D.

【點睛】本題考查平面向量坐標的加減法運算，以及函數圖象的平移方法，屬于基礎題.

6.(2020.上海高三專題練習)已知正方形P0RS兩對角線交于點”，坐標原點。不在正方形內部，

OP=(0,3),OS=(4,0),則向量皮0等于()

abc

--H-4)-g:D.[414)

【答案】D

【分析】根據題意作出圖形，根據HTOSP與RTNRS全等,得出點R的坐標，從而可得出答案.

【詳解】由OP=(0,3),OS=(4,0),則尸=(0,3),5=(4,0)

由坐標原點。不在正方形內部，作出如圖的正方形，過R作RN_Lx軸，垂足為N.

則HTOSP與RT版S全等，所以|SN|=|OH=3,|/W|=|OS|=4W|ON|=7.

所以R=(7,4),所以RA/=：RP=；(-7,-1)=(一1,一;)故選：D

【點睛】本題考查求向量的坐標，考查平面幾何的性質，考查數形結合，屬于中檔題.

7.(2018?上海市七寶中學高三期末)如圖，點C是半徑為1的扇形圓弧AB上一點，0/1-05=0)

|0A|=|0B|=1,若OC=xOA+)，O8,則2x+y的最小值是()

13

BC

A.-V5B.1C.2D.y/5

【答案】B

【分析】對OC=xOA+yOB兩邊同時平方可得出乂丁的關系，通過三角換元即可求解.

【詳解】由題：QC=xQA+yO5,點C是半徑為1的扇形圓弧AB上一點，則x>0,y>0.

貝=(xOA+yOB^,

即|0C『=(x0A『+()，0B『+2xy0A-0B,04.08=0，|04=|。@=1

jr

化簡得：x2+y2=E令x=cos9,y=sin。,?！闧0,萬],

21r八4i

2x+y=sin6+2cos0=非sin(。+夕),sin(p=—f=，COS(p——r=,(pG[0,—]

V5V52

因為^[o,-](p<0-\-(p<—+(p,sin（e+。）先增大后減小,

2e2

所以sin（8+。）的最小值為sine，sin（工+9）較小值，sin（g+。）=cose=

22

即sin（e+e）的最小值為A所以2x+y=J^sin（6+e）的最小值為1.故選：B

【點睛】此題考查通過向量線性關系求參數取值范圍，此題常見處理辦法可以平方處理然后三角換元，可

以建立直角坐標系用坐標求解，還可根據等和線定理數形結合求解.

二、填空題

8.（2020?上海高三專題練習）己知梯形QWC中，CB//0A,且CB=go4,若Q4=a，OC=b，則

UUU

AB=--------

【答案】b--a

2

【分析】由題意結合平面向量共線的性質、線性運算法則直接運算即可得解.

【詳解】由題意畫出圖形，如圖：

14

B

CB//OA,CB^-OA,：.CB^-OA^-a,

222

umuuuuumuurrrirriri

?0-AB—AO+OC+CB——Q+/?H—a=b—。.故答案為：b—a.

222

【點睛】本題考查了平面向量線性運算、數乘的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.

9.(2020?上海高三專題練習)己知平面上直線/的方向向量e=(一《3),點。(0,0)和A(l,-2)在/上的射

影分別為0】和4,則@4=笈，其中％=.

【答案】-2

【分析】由題意結合平面向量的坐標運算、模的坐標運算可得。4=(1,-2)、同=1,進而可得；I即為在

e方向上的投影，再由丸=筆3即可得解.

同

431

【詳解】e.0(0,0),A(l,-2)；/.1，0A=(1,—2),

_4_6

,九即為。4在e方向上的投影，,，｛-一)―/廠？.故答案為:4

H1

【點睛】本題考查了平面向量的坐標表示、模的坐標表示，考查了平面向量數量積的應用，屬于基礎題.

10.(2021?上海高三專題練習)已知點A(l,0),直線/：X=-1,兩個動圓均過點A且與/相切，其圓心分

別為G、。2,若動點“滿足2GM=GG+GA，則M的軌跡方程為.

【答案】/=2x-l

【分析】由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡方程丁=以，設G(a,8),C2[m,n),M(x,y),根據

2c2M=。20+。2A可得a=2x—l,b=2y,利用〃=4?？汕蟮媒Y果.

【詳解】由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡是以A(l,0)為焦點，直線/：x=T為準線的拋物線，其方程

15

為y2=4x,

設G(a,。)，C2(/w,n),M(x,y),因為動點〃滿足2GM=CzG+GA，

所以=即2尤=a+l,2y=2,

所以a=2x-l,b=2y,因為￡>2=4"，所以（2y）~=4（2x-l）,

所以V=2x—1,即M的軌跡方程為j?=2x-l.故答案為：y2=2x-\

【點睛】關鍵點點睛：由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡方程V=4x是解題關鍵.

11.（2020?上海高三專題練習）設G為△A8C的重心，過點G作直線分別交A8，AC于點P，。，已

UULlUUll11

知AP=/IA6，AQ=〃AC，則丁+—=.

【答案】3

【分析】設AB=a，AC=。，川a,b表示出PGHGQ,根據PG與GQ共線列方程組，化簡后證得

設AB=a，AC=/?.則==，AQ=〃AC=〃江如圖，連接4G并延長交8c于點。，則A。

為邊8C上的中線，

：.AD=-(a+b),：,AG=-AD=-(a+b),PG=AG-AP=-(a+b)-Aa=(--A)a+-b,

233333

GQ=AQ-AG=^ib-^a+b)=-^a+^-^)b.

又PG與G。共線，.?.存在實數加，使PG=/〃GQ，

—4=—m

33

/.(―-X)a+=--ma+m(//--)Z?,消去加得2+4=32〃.

—=

33

16

又由題意，知XHO，〃力0，，!+L=3.故答案為：3

X〃

【點睛】本小題主要考查用基底表示向量，考查向量共線的表示，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬了

中檔題.

三、解答題

12.(2020?上海高三專題練習)如圖所示，梯形A8CO中，AB//CD,且加=2D,M，N分別是DC

和AB的中點，已知AB=a，AD=b，用a，b表示DC，和

1rr1

=——a+b；MN=—a-b

224

【分析】利用向量的加減運算、數乘運算化簡、轉化即可求解.

【詳解】解：由A5〃CO,且AB=2CD,???OC=LA8=」Q.

22

BC—BA+AD+DC=—a+—ci——a+b.

22

MN=MC+CB+BN=-DC+(-BC)+-BA

22

【點睛】本題主要考查了平面向量的加減法、數乘運算，屬于容易題.

13.(2020?上海高三專題練習)。4=(2,5),03=(3,1),。。=(6,3),在線段0C上是否存在點M,

使若存在，求出點M的坐標.

【答案】存在,點Af的坐標為(2,1)或

【分析】設OM=fOC(OWf41),確定出M4,MB的坐標，根據M4.MB=0,建立關于f的方程，求解即

可.

【詳解】設0M=/OC(OWY1),則OM=(6，,3/).則MA=OA-OM=(2-67,5-3。，

MB=OB-OM=(3-,：MAMB=0>二(2-6/)(3-6f)+(5-30(1-30=0.

17

整理得45/一48r+U=0，解得，=，或.,?點M的坐標為(2,1)或2211

315

【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，涉及共線向量、垂直向量的坐標關系，考查計算求解能力，屬了

基礎題.

14.(2020?上海高三專題練習)已知向量a,6的夾角為"I",且|4=1,忖=2,設加=3a-8,〃=fa+2Z?,

(1)若上人)，求實數f的值

(2)當f=2時，求m與〃的夾角

(3)是否存在實數f,使根〃〃？若存在，求出f的值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)f=l；(2)arccos-；(3)存在/=-6,理由見解析

7

【分析】(1)由加_L〃得加?〃=0，分別代入計算即可.

m-n

(2)根據向量的夾角公式cos<〃?，〃>=「e代入計算出余弦值再求角即可.

HT2I

⑶由機//"則〃z=丸〃成立，代入m=3a-b,n=ta+2b進行求解即可.

【詳解】(1)因為“〃故力〃=0,所以(3a-b)(〃+?)=3/J+(6-/)。力一2//=0，

故3，+(6—，)xlx2cos(—2x22=0,3,+6—1一8=0,2,=2/=1

兀

(2)當1=2時，加=3。一人,〃=2。+2兒故。2=lx2xcos5=l』enj"

m-n(3a—b)(2a+2h)6+4-821

3<九〃>=麗=］加時424+24=，9-6+4,"+8+16=7^=/%〃夾角

為arccos—

7

(3)由m//〃則加=成立，所以3。一/?=X(ta+2b)=Ata+2Ab.

3=AtA=—

因為q,〃不共線，故，2，即存在，=—6使機//〃

-1=24,

【點睛】本題主要考查了向量的基本運算，包括平行與垂直的應用等.同時也考查了數量積以及向量夾角的算

法，屬于中等題型.

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<^亙妄>平面向量的數量積及其應用

一、單選題

1.（2019?上海市南洋模范中學高三開學考試）己知。是單位向量，“〃=（）.若向量c滿足

卜-a-司=1,則的取值范圍是（）

A.[V2-L,V2+1]B.[⑸,,血+2]

C.[1?V2+1]D.[l?V2+2]

【答案】A

【詳解】因為卜一"可=1,k一3+。）|=1，做出圖形可知，當且僅當C與（4+6）方向相反且

同一卜+可=1時，同取到最大值；最大值為啦+1；當且僅當c與（a+b）方向相同且,+。卜卜|=1時,

同取到最小值；最小值為血-L

2.（2020?上海高三專題練習）已知A3=（5,6）,AC=(-3,1),則^ABC的面積為().

56-351561-35

A.B.C.一D.-

-31162-31216

【答案】C

232315623

【分析】設A3,AC的夾角為a,先求出sina=F^,S—,又=，,=—1即得解?

-s/61022—312

ABAC_5《-3)+6。1_一9

【詳解】設AB,AC的夾角為a,所以cosa：

~\AB\\AC\~屈xM-V610

：-XV6TXVH)X-^L=—,

所以sina=,所以S=

ABC2V6102

561八23156

又一=—(5+18)=—.所以△ABC的面積為一.故選：C.

2-31222-31

【點睛】本題主要考查向量的夾角的計算，考查三角形的面積的計算和行列式的計算，意在考查學生對這

些知識的理解掌握水平.

3.（2020?上海高三專題練習）ABC頂點為&a,0）,8（—a,0）,C（asin，,acos9）,則抽。為（）.

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A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

［分析】利用ACBC=Q證得三角形ABC是直角三角形.

【詳解】依題意可知a。0,

AC=^asinO—a,acosO^,BC=(asin9+a,acos9),|AC|與不恒等，

所以ACBC=(asin9)~-a2+(?cos^)2=a2(sin28+cos29)—/=0,

所以ACLBC，所以三角形ABC是直角三角形.故選：A

【點睛】本小題主要考查利用向量進行垂直關系的判斷，屬于基礎題.

4.(2020?上海高三專題練習)已知O