動(dòng)力學(xué)約束理論

清華大學(xué)航天航空學(xué)院王天舒（tswang@）分析動(dòng)力學(xué)之

約束理論5/7/20231本節(jié)內(nèi)容內(nèi)容1：約束、廣義坐標(biāo)內(nèi)容2：約束的幾何意義內(nèi)容3：約束對運(yùn)動(dòng)的影響（位移、速度）。虛位移是約束被“凍結(jié)”后此瞬時(shí)約束允許的無限小位移，與時(shí)間t的變化無關(guān)(t0)。分析力學(xué)的基礎(chǔ)概念：虛位移5/7/202321.1位形空間對于物體運(yùn)動(dòng)的客觀空間，引入笛卡兒坐標(biāo)系Oxyz。為描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，需考慮在每一時(shí)刻t的向徑r(t):對于由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的系統(tǒng)，則需要3N個(gè)數(shù)來表示質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的位置和形狀（位形）：引入由這3N個(gè)數(shù)張成的抽象空間來表示位形c，令該空間是由這3N個(gè)數(shù)構(gòu)成各維的正交歐氏空間C，稱為位形空間。運(yùn)動(dòng)的多維空間描述5/7/20233系統(tǒng)每一時(shí)刻的位形唯一對應(yīng)于C空間的一個(gè)表現(xiàn)點(diǎn)cC空間的一個(gè)點(diǎn)c對應(yīng)于系統(tǒng)的一個(gè)位形當(dāng)系統(tǒng)的位形隨時(shí)間變化時(shí)，其位形表現(xiàn)點(diǎn)在C空間中畫出了一超曲線，即一維的軌跡，稱為系統(tǒng)的C軌跡。C軌跡的一般性質(zhì)：1.

C軌跡是連續(xù)的；2.

C軌跡可以有重點(diǎn)；3.

C軌跡的拐點(diǎn)僅發(fā)生在如下情況；a.

靜止點(diǎn)處；b.

在有打擊作用的時(shí)刻；位形空間的特點(diǎn)5/7/202341.2約束約束：非自由質(zhì)點(diǎn)系在空間中的位置及其在運(yùn)動(dòng)中受到的限制約束方程：用數(shù)學(xué)方程表達(dá)各質(zhì)點(diǎn)所受的限制條件在由兩個(gè)或更多質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)中，不受約束的運(yùn)動(dòng)是不存在的。絕大多數(shù)的運(yùn)動(dòng)都是約束運(yùn)動(dòng)。剛性桿約束5/7/20235具有如下形式或可以化為如下形式的約束稱為完整約束：A1.3完整約束完整約束(homonomicconstraint)5/7/20236如約束表達(dá)式中不顯含時(shí)間t，則稱其為定常約束(scleronomicconstraint)；否則稱為非定常約束(rheonomicconstraint)。定常約束和非定常約束5/7/20237對于定常約束：一個(gè)約束方程構(gòu)成位形空間上的一個(gè)N-1維固定曲面。對于非定常約束？系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的c軌跡必須位于該曲面內(nèi)。約束方程的幾何解釋5/7/202381.4廣義坐標(biāo)能夠唯一地確定質(zhì)點(diǎn)系可能位置的獨(dú)立參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。選定廣義坐標(biāo)后，系統(tǒng)內(nèi)笛卡兒坐標(biāo)可由廣義坐標(biāo)確定廣義坐標(biāo)數(shù)為：N

–質(zhì)點(diǎn)總數(shù)r–完整約束的總數(shù)；廣義坐標(biāo)5/7/20239取一組新的坐標(biāo)：兩組坐標(biāo)之間的變換關(guān)系：兩組坐標(biāo)均可以描述質(zhì)點(diǎn)的位形考慮系統(tǒng)由一個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成約束方程為：x-y=0廣義坐標(biāo)5/7/202310注意到完整約束關(guān)系:則有：即可以用兩個(gè)坐標(biāo)表示系統(tǒng)的位形：廣義坐標(biāo)在廣義坐標(biāo)下系統(tǒng)的完整約束自然滿足，約束方程可不予考慮。廣義坐標(biāo)5/7/202311設(shè)由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)包含獨(dú)立的r個(gè)完整約束引入一組新的變量q：令變換關(guān)系中的前r項(xiàng)為完整約束，其余部分任選，但要求變換式為無關(guān)組。則可以得到從x到q的變換：廣義坐標(biāo)5/7/202312注意到完整約束關(guān)系:則有：即笛卡兒坐標(biāo)可利用另一組坐標(biāo)表示當(dāng)采用廣義坐標(biāo)時(shí)，完整約束自動(dòng)滿足。廣義坐標(biāo)5/7/202313假設(shè)約束曲面是光滑的，有：在約束面上的任一點(diǎn)處的充分小臨域內(nèi)，約束方程要求所有的可能軌跡必須在其切平面內(nèi)，而不是約束曲面內(nèi)。虛位移在約束曲面的切平面內(nèi)。約束對無窮小位移的影響（局部特性）5/7/202314在光滑球面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，球面方程為：約束方程：無窮小的位移改變應(yīng)滿足：約束對無窮小位移的影響（例）5/7/202315設(shè)在無窮小位移上的約束為：其中g(shù)(z)為z的已知函數(shù)，求加在有限位移上的約束解：沒有加在有限位移上的約束。若令加在有限位移上的約束為：則有：加在無窮小位移上的約束不一定會(huì)限制有限位移的運(yùn)動(dòng)。速度約束不一定對位移有限制。約束與有限位移和無窮小位移（例）5/7/202316不可化為完整約束形式的約束為非完整約束。大多數(shù)實(shí)際遇到的非完整約束問題，其約束方程為質(zhì)點(diǎn)速度的一次代數(shù)方程：OxyvC1.5非完整約束非完整約束5/7/202317上述形式的微分約束稱為Pfaff約束。將速度形式的約束方程寫成微分形式：對于完整約束：有：則系統(tǒng)的約束方程可以統(tǒng)一表示為微分形式：有關(guān)于Pfaff約束的可積性定理可見參考文獻(xiàn)Pfaff形式5/7/202318完整約束限制系統(tǒng)的位形軌跡必須在約束曲面上。非完整約束？例：對于非完整約束：可否由原點(diǎn)到達(dá)空間中的任一點(diǎn)(x1,y1,z1)？在xy平面內(nèi)作函數(shù)y=f(x)：解：定義質(zhì)點(diǎn)的軌跡為：非完整約束的特點(diǎn)－可達(dá)性5/7/202319顯然質(zhì)點(diǎn)的軌跡滿足：1.過原點(diǎn)2.過(x1,y1,z1)點(diǎn)3.滿足約束方程：完整約束會(huì)減小可達(dá)的位形空間的維數(shù)，而非完整約束則不會(huì)。完整約束會(huì)減小廣義坐標(biāo)數(shù)，而非完整約束則不會(huì)?；?！非完整約束的特點(diǎn)－可達(dá)性5/7/202320END！4/2賺8/2厚023219、靜夜鳥四無鄰炮，荒居際舊業(yè)貧這。。4月-艙234月-2做3Fri叛day懲,A拆pri爺l2失8,廟202任310、雨中名黃葉樹另，燈下蛾白頭人謀。。05:3隸3:3505:3安3:3505:跟334/2融8/2裝023漆5:潤33:款35勿AM11、以我獨(dú)牙沈久，愧忙君相見頻畏。。4月-2鵝305:柏33:未3505:3迷3Apr發(fā)-2328-火Apr脖-2312、故人剖江海別復(fù)，幾度命隔山川繭。。05:3袖3:3505:主33:諷3505:羊33Frid尺ay,掀Apri宴l28劈燕,20漲2313、乍見歸翻疑夢宰，相悲篇各問年撐。。4月-學(xué)234月-杠2305:3神3:3505:元33:燃35Apri鑄l28蹲,20材2314、他鄉(xiāng)黎生白發(fā)季，舊國懼見青山仗。。28系四月貫202皇35:3旨3:3毛5上倦午05:軋33:饒354月-盾2315、比不冤了得就丙不比，待得不到番的就不贈(zèng)要。。。四月2見35:33鼓上午4月-乏2305:3題3Apr猜il復(fù)28,妨20初2316、行動(dòng)炕出成果糾，工作播出財(cái)富宗。。202令3/4突/28叨5:具33:簡3505:偵33:憂3528A輝pril祖202且317、做前，換能夠環(huán)視宋四周；做嫩時(shí)，你只民能或者最對好沿著以途腳為起點(diǎn)技的射線向袍前。。5:3位3:3攀5上紫午5:3廈3上從午05:3淋3:354月-渣239、沒有珍失敗，嗓只有暫躬時(shí)停止帥成功！畢。4月-2止34月-修23Fri境day擠,A臥pri榆l2歇8,度202劑310、很多刊事情努崇力了未肯必有結(jié)藝果，但妨是不努昏力卻什書么改變窗也沒有腹。。05:型33:躬3505:3鑄3:3505:3舅34/28耗/202份35:美33:3挪5AM11、成功就序是日復(fù)一減日那一點(diǎn)拘點(diǎn)小小努逃力的積累居。。4月-2匙305:姻33:固3505:3鄰3Apr-碎2328-近Apr替-2312、世間回成事，輔不求其俯絕對圓耀滿，留測一份不獅足，可察得無限飛完美。羨。05:3隱3:3505:楚33:濟(jì)3505:滋33Fri誦day住,A屬pri程l2閃8,隙202被313、不知香鵝積寺，數(shù)課里入云峰甜。。4月-2倚34月-2縣305:3填3:3505:3產(chǎn)3:35Apr怠il既28,摟20歪2314、意志些堅(jiān)強(qiáng)的悲人能把圣世界放瞇在手中沸像泥塊霧一樣任煌意揉捏撐。28四填月20直235:3講3:3盤5上結(jié)午05:3再3:354月-負(fù)2315、楚塞皆三湘接略，荊門把九派通盡。。。四月逃235:33碑上午4月-消2305:百33Apri前l(fā)28裳,20撞2316、少年十笛五二十時(shí)泄，步行奪疲得胡馬騎鹽。。2023政/4/2風(fēng)85:被33:3獨(dú)505:3轟3:3528紀(jì)Apr裂il長202鞠317、空山新婆雨后，天肌氣晚來秋良。。5:3桶3:3巨5上攤午5:3趴3上標(biāo)午05:3果3:354月-2扁39、楊柳散聽和風(fēng)，青租山澹吾慮休。。4月-組234月-第23Frid脆ay,嗎Apri傷l28冒,20膚2310、閱讀一書切好書如便同和過去陷最杰出的先人談話。05:碎33:妙3505:理33:值3505:頑334/28著/202喝35:桑33:3逝5AM11、越是何沒有本些領(lǐng)的就襯越加自暢命不凡跨。4月-2疫305:墓33:轉(zhuǎn)3505:3啊3Apr-收2328-A指pr-2泥312、越是無銀能的人，碼越喜歡挑揀剔別人的牢錯(cuò)兒。05:3算3:3605:3眉3:3605:兵33Fri兼day網(wǎng),A丹pri旗l2槐8,拖202幻玉313、知人者汽智，自知預(yù)者明。勝帳人者有力霸，自勝者咬強(qiáng)。4月-2具34月-顆2305:3材3:3605:辭33:想36Apr編il魂28,洲20鞭2314、意志堅(jiān)允強(qiáng)的人能港把世界放鮮在手中像碌泥塊一樣閥任意揉捏站。28四析月20扣235:33咸:36采上午05:3門3:364月-富2315、最具暢挑戰(zhàn)性甩的挑戰(zhàn)跌莫過于嘗提升自鈔我。。四月鄙235:3項(xiàng)3上回午4月-2釀305:婚33Apri異l28璃,20貸2316、業(yè)余生粗活要有意礎(chǔ)義，不要義越軌。2023畢/4/2總85:浩33:3貫605:秒33:珠3628站Apr畜il技202并317、一個(gè)聽人即使廳已登上氣頂峰，怨也仍要蒼自強(qiáng)不妨息。5:3譯