解決圖的編程問題

解決圖的編程問題第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四目標(biāo)在本章中,你將學(xué)到:在圖中存儲數(shù)據(jù)

圖的深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索算法最小生成樹圖的最短路徑

第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四學(xué)習(xí)情境——用圖高速公路交通網(wǎng)的編程[問題描述]

一個地區(qū)由許多城市組成，為實現(xiàn)城市間的高速運(yùn)輸，需要在這些城市間鋪設(shè)高速公路，以達(dá)到任意兩個城市間高速運(yùn)輸?shù)哪康?。?jīng)過考察和預(yù)算，鋪設(shè)的高速公路交通網(wǎng)如圖9.1所示。其中每個頂點(diǎn)代表一個城市，頂點(diǎn)間的連線代表兩個城市間鋪設(shè)的高速公路，而線上的數(shù)字表示兩個城市間的距離（單位：公理）。如圖所示。請根據(jù)上面的描述，解決下面的問題：

用C#編寫一程序來存儲該高速公路交通網(wǎng)的信息。從任何一個城市出發(fā)，訪問所有的城市，給出訪問城市的順序。如果想從一個城市到另一個城市旅行，給出最短的旅行路線。第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四

圖是一系列頂點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）和描述頂點(diǎn)之間的關(guān)系邊（?。┙M成。圖是數(shù)據(jù)元素的集合，這些數(shù)據(jù)元素被相互連接以形成網(wǎng)絡(luò)。其形式化定義為：

G=（V，E）

V={Vi|Vi∈某個數(shù)據(jù)元素集合}E={(Vi,Vj)|Vi,Vj∈V∧P(Vi,Vj)}認(rèn)識圖——圖的定義和術(shù)語1.圖的定義其中，G表示圖，V是頂點(diǎn)的集合，E是邊或弧的集合。在集合E中，P(Vi,Vj)表示頂點(diǎn)Vi和頂點(diǎn)Vj之間有邊或弧相連。第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四認(rèn)識圖——圖的定義和術(shù)語2.圖的術(shù)語頂點(diǎn)集：圖中具有相同特性的數(shù)據(jù)元素的集合稱為頂點(diǎn)集邊（弧）：邊是一對頂點(diǎn)間的路徑，通常帶箭頭的邊稱為弧弧頭：每條箭頭線的頭頂點(diǎn)表示構(gòu)成弧的有序?qū)χ械暮笠粋€弧尾：每條箭頭線的尾頂點(diǎn)表示構(gòu)成弧的有序?qū)χ械那耙粋€頂點(diǎn)，稱為弧尾或始點(diǎn)。度：在無向圖中的頂點(diǎn)的度是指連那個頂點(diǎn)的邊的數(shù)量。在有向圖中，每個頂點(diǎn)有兩種類的的度：出度和入度。入度：頂點(diǎn)的入度是指向那個頂點(diǎn)的邊的數(shù)量。出度：頂點(diǎn)的出度是由那個頂點(diǎn)出發(fā)的邊的數(shù)量。權(quán)：有些圖的邊（或弧）附帶有一些數(shù)據(jù)信息，這些數(shù)據(jù)信息稱為邊（或?。┑臋?quán)（weigh）.第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四認(rèn)識圖——圖的定義和術(shù)語3.圖的分類有向圖：在一個圖中，如果任意兩頂點(diǎn)構(gòu)成的偶對（Vi,Vj）是有序的，那么稱該圖為有向圖。這里Vi是弧尾，Vj是弧頭。這表示有一個從頂點(diǎn)Vi到頂點(diǎn)Vj的路徑。但是從Vj到Vi是不可能的

無向圖：在一個圖中，如果有任意兩頂點(diǎn)構(gòu)成的邊（Vi,Vj），（Vi,Vj）和（Vj，Vi）是相同的在一個無向圖中，如果任意兩個頂點(diǎn)之間都有邊相連，則稱該圖為無向完全圖。無向完全圖又稱完全圖在一個有向圖，如果任意兩個頂點(diǎn)之間都是弧相連，則稱該圖為有向完全圖。有很少條邊或弧的圖稱為稀疏圖，反之稱為稠密圖。第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四SetNode()：在圖中增加一個新的頂點(diǎn)

GetNode()：獲取圖中指定頂點(diǎn)SetEdge()：在兩個頂點(diǎn)之間添加指定權(quán)值的邊或弧GetEdge()：獲取兩個頂點(diǎn)之間的邊DelEdge()：刪除兩個頂點(diǎn)之間的邊或弧GetNumOfVertex()：獲取鄰接矩陣頂點(diǎn)數(shù)GetNumOfEdge()：獲取鄰接矩陣邊或弧的數(shù)目GetIndex()：獲取指定頂點(diǎn)在數(shù)組中的索引IsEdge()：判斷兩個頂點(diǎn)之間是否存在邊或弧IsNode()：判斷指定結(jié)點(diǎn)是否是圖的頂點(diǎn)認(rèn)識圖——識別圖的基本操作圖的基本操作有以下幾種：第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四鄰接矩陣(AdjacentcyMatrix)是用兩個數(shù)組來表示圖，一個數(shù)組是一維數(shù)組，存儲圖中的頂點(diǎn)信息，一個數(shù)組是二維數(shù)組，即矩陣，存儲頂點(diǎn)之間相鄰的信息，也就是邊（或?。┑男畔ⅰＨ绻麍D中有n個頂點(diǎn)，你需要大小為n×n的二維數(shù)組來表示圖。用C#語言表示鄰接矩陣的代碼參見P190頁用鄰接矩陣解決圖的編程問題

——用鄰接矩陣表示圖對鄰接矩陣進(jìn)行操作參見P191頁代碼。第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四鄰接表的存儲方法是一種順序存儲與鏈?zhǔn)酱鎯ο嘟Y(jié)合的存儲方法，順序存儲部分用來保存圖中頂點(diǎn)的信息，鏈?zhǔn)酱鎯Σ糠钟脕肀４鎴D中邊（或?。┑男畔?。具體的做法是：使用一個一維數(shù)組，其中每個數(shù)組元素包含兩個域，其結(jié)構(gòu)如右圖所示。

其中

頂點(diǎn)域（data）：存放與頂點(diǎn)有關(guān)的信息；頭指針域（firstadj）：存放與該頂點(diǎn)相鄰接的所有頂點(diǎn)組成的單鏈表的頭指針

用鄰接表解決圖的編程問題

——用鄰接表表示圖鄰接單鏈表中每個結(jié)點(diǎn)表示依附于該頂點(diǎn)的一條邊，稱作邊結(jié)點(diǎn)，邊結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)如右圖所示。

其中鄰接點(diǎn)域(adjvex)：指示與頂點(diǎn)鄰接點(diǎn)在圖中的位置，對應(yīng)著一維數(shù)組中的序號，對于有向圖，存放的是該邊結(jié)點(diǎn)所表示的弧的弧頭頂點(diǎn)在一維數(shù)組中的序號；數(shù)據(jù)域(info)：存儲邊或弧相關(guān)的信息，如權(quán)值等，當(dāng)圖中邊（或?。┎缓行畔r，該域可以省略。鏈域(nextadj)：指向依附于該頂點(diǎn)的下一個邊結(jié)點(diǎn)的指針。

無向圖鄰接表的鄰接表結(jié)點(diǎn)類的代碼參見P197頁。第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四用鄰接表解決圖的編程問題

——用鄰接表表示圖（舉例）

對鄰接表進(jìn)行操作的代碼參見P199頁。第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四9.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索1.理解深度優(yōu)先搜索算法

從圖的某一頂點(diǎn)x出發(fā)，訪問x，然后遍歷任何一個與x相鄰的未被訪問的頂點(diǎn)y，再遍歷任何一個與y相鄰的未被訪問的頂點(diǎn)z……，如此下去，直到到達(dá)一個所有鄰接點(diǎn)都被訪問的頂點(diǎn)為止。然后依次回退到尚有鄰接點(diǎn)未被訪問過的頂點(diǎn)，重復(fù)上述過程，直到圖中的全部頂點(diǎn)都被訪問過為止。 對圖進(jìn)行深度優(yōu)先遍歷。深度優(yōu)先遍歷背后基于堆棧，有2種形式:第一種是程序中顯示構(gòu)造堆棧，利用壓棧出棧操作實現(xiàn);第二種是利用遞歸函數(shù)調(diào)用，基于

遞歸程序棧實現(xiàn)。本章介紹壓棧和出棧的操作。第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四v1將起始頂點(diǎn)v1壓入棧。9.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四v1將頂點(diǎn)v1彈出棧訪問v1在棧中壓入所有與v1相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v1Visited:9.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四v4從棧中彈出頂點(diǎn)v1訪問v1在棧中壓入所有與v1相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v1Visited:v29.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四Visited:從棧中彈出頂點(diǎn)v2訪問v2在棧中壓入所有與v2相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v1v2v4v29.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四Visited:從棧中彈出頂點(diǎn)v2訪問v2在棧中壓入所有與v2相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v1v2v3v6v49.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四Visited:從棧中彈出頂點(diǎn)v3訪問v3在棧中壓入所有與v3相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v1v2v3有與v3相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v6v3v49.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四Visited:從棧中彈出頂點(diǎn)v3訪問v3在棧中壓入所有與v3相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v1v2v3有與v3相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v6v5v49.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四Visited:從棧中彈出頂點(diǎn)v5訪問v5在棧中壓入所有與v5相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v1v2v3v5v6v49.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索v5第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四Visited:從棧中彈出頂點(diǎn)v6訪問v6在棧中壓入所有與v6相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v1v2v3v5v6v6v49.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四Visited:從棧中彈出頂點(diǎn)v4訪問v4在棧中壓入所有與v4相鄰接的未訪問頂點(diǎn)v1v2v3v5v6v4v49.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四Visited:?，F(xiàn)在是空的因此，遍歷完成v1v2v3v5v6v49.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四盡管上述算法提供了一個簡單和常用的方法來遍歷圖，但是，如果圖不是連接的，算法將不能正確工作。在這樣的情況下，你將不能夠從單個起始頂點(diǎn)開始遍歷所有頂點(diǎn)。

9.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四為了解決這個問題，你需要對圖中所有未訪問頂點(diǎn)重復(fù)執(zhí)行上述算法。對圖中每個頂點(diǎn)v重復(fù)步驟2如果v未被訪問：

a.調(diào)用DFS(v)9.4解決圖的遍歷問題——深度優(yōu)先搜索第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四9.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索2.理解廣度優(yōu)先搜索算法

圖的廣度優(yōu)先搜索是從圖的某個頂點(diǎn)x出發(fā)，訪問x。然后訪問與x相鄰接的所有未被訪問的頂點(diǎn)x1,x2,….,xn；接著再依次訪問與x1,x2,….,xn相鄰接的未被訪問過的所有頂點(diǎn)。依此類推，直至圖的每個頂點(diǎn)都被訪問。第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四訪問v1將v1插入隊列v1v19.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四從隊列中刪除頂點(diǎn)v1訪問與v1相鄰接的所有未訪問頂點(diǎn)并將它們插入隊列v1v1Visited:9.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四從隊列中刪除頂點(diǎn)v1訪問與v1相鄰接的所有未訪問頂點(diǎn)并將它們插入隊列v2v1v2v4v49.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四從隊列中刪除頂點(diǎn)v2訪問與v2相鄰接的所有未訪問頂點(diǎn)并將它們插入隊列v2v1v2v4v49.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四從隊列中刪除頂點(diǎn)v4訪問與v4相鄰接的所有未訪問頂點(diǎn)并將它們插入隊列v1v2v4v4v3v3v6v6v5v59.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四從隊列中刪除頂點(diǎn)v3訪問與v3相鄰接的所有未訪問頂點(diǎn)并將它們插入隊列v1v2v4v3v3v6v6v5v5v3沒有任何未訪問的鄰接頂點(diǎn)9.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四從隊列中刪除頂點(diǎn)v6訪問與v6相鄰接的所有未訪問頂點(diǎn)并將它們插入隊列v1v2v4v3v6v6v5v5v3沒有任何未訪問的鄰接頂點(diǎn)9.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四從隊列中刪除頂點(diǎn)v5訪問與v5相鄰接的所有未訪問頂點(diǎn)并將它們插入隊列v1v2v4v3v6v5v5v6沒有任何未訪問的鄰接頂點(diǎn)9.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四隊列現(xiàn)在是空的因此，遍歷完成v1v2v4v3v6v5v5沒有任何未訪問的鄰接頂點(diǎn)9.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四盡管上述算法提供了一個簡單和方便的遍歷圖的方法，但是，如果圖不是連接的，算法將不能正確工作。在這樣的情況中，你將不能從單個開始頂點(diǎn)遍歷所有頂點(diǎn)。9.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四為了解決這個問題，你需要對圖中的未訪問頂點(diǎn)重復(fù)執(zhí)行這個算法。為圖中每個頂點(diǎn)V重復(fù)步驟2。如果v未被訪問：

a.調(diào)用BFS(v)9.4解決圖的遍歷問題——廣度優(yōu)先搜索第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四圖的最短路徑問題

——Dijkstra算法的引入Dijkstra算法的基本思想是：設(shè)置兩個頂點(diǎn)集合T和S，集合S中存放己經(jīng)找到最短路徑的頂點(diǎn)，集合T中存放當(dāng)前還未找到最短路徑的頂點(diǎn)。初始狀態(tài)時，集合S中只包含源點(diǎn)v0，然后不斷從集合T中選取到源點(diǎn)v0路徑長度最短的頂點(diǎn)w加入集合S，集合S中每加入一個新的頂點(diǎn)w，都要修改頂點(diǎn)v0到集合T中剩余頂點(diǎn)的最短路徑長度值，集合T中各頂點(diǎn)新的最短路徑長度值為原來最短路徑長度值與頂點(diǎn)w的最短路徑長度加上w到該頂點(diǎn)的路徑長度值中的較小值。此過程不斷重復(fù)，直到集合T的頂點(diǎn)全部加入集合S為止。第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四圖的最短路徑問題

——分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑

下面用Dijkstra算法解決高速公路最短路徑的問題?，F(xiàn)在假設(shè)高速公路交通網(wǎng)采用鄰接矩陣作為存儲結(jié)構(gòu)。若鄰接矩陣為matrix，并規(guī)定：用Dijkstra算法來確定從城市A到其他城市的最短踐離。Dijkstra算法的步驟參見教材P212頁第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四finaldistance110000090∞150∞180圖的最短路徑問題

——分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑

ABCDEF012345第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四finaldistance110000090150140∞180圖的最短路徑問題

——分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑

ABCDEF012345第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四finaldistance110100090150140∞180圖的最短路徑問題

——分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑

ABCDEF012345第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四finaldistance110100090150140250180圖的最短路徑問題

——分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑

ABCDEF012345第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四finaldistance111100090150140250180圖的最短路徑問題

——分析高速公路交通網(wǎng)的最短路徑

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