2022-2023學(xué)年湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體高二年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則的值是（

）A．6 B．3 C．6或3 D．7【答案】C【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解方程求解.【詳解】因?yàn)?，故或，即或，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.2．?dāng)?shù)列、、、、的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】改寫數(shù)列的前項(xiàng)，利用觀察法可得出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，該?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故選：C.3．將五名防接新冠肺炎疫情的志愿者隨機(jī)分配到四個(gè)社區(qū)進(jìn)行服務(wù)，則不同分配方法的種數(shù)是（

）A．1021 B．1022 C．1023 D．1024【答案】D【分析】根據(jù)題意可得每一名志愿者都有4種不同的選擇方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有4種不同的選擇方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選擇方法共有（種）故選：D4．已知函數(shù)，且，則的值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】D【分析】求出，代入得到，解方程即可得出答案.【詳解】由已知可得，，又，所以，解得.故選：D.5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由，可得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)定義域可知，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A.6．點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)得，即，再根據(jù)傾斜角的范圍及正切函數(shù)的圖象求解即可.【詳解】解：由，可得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以角的范圍是.故選：B.7．已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，C．恒成立D．恒成立【答案】C【分析】由已知可推得.構(gòu)造，求導(dǎo)即可得出在R上單調(diào)遞增.又，即可得出當(dāng)時(shí)，，，進(jìn)而根據(jù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】由已知可得，又因?yàn)?，所以，?令，在R上恒成立，所以在R上單調(diào)遞增.因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，又，所以，又是定義在上的減函數(shù)，所以.所以時(shí)，也恒成立，故當(dāng)時(shí)，.而當(dāng)時(shí)，，結(jié)合可得，綜上，在上恒成立.故選：C.8．南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的?積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高價(jià)等差數(shù)列，其前五項(xiàng)為，則該數(shù)列的第21項(xiàng)為（

）A．400 B．398 C．397 D．402【答案】D【分析】設(shè)該數(shù)列為，由，得到該數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，然后利用累加法求解.【詳解】解：設(shè)該數(shù)列為，則由，可知該數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，故，因此，由，上式相加，得，即，故.故選：D二、多選題9．，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】AB【分析】由題意可得，再由排列的計(jì)算公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，當(dāng)時(shí)成立；當(dāng)時(shí)也成立.故選：AB.10．在50件產(chǎn)品中，有47件合格品，3個(gè)不合格，從這50件產(chǎn)品中任意抽取4件，則下列結(jié)論正確的有（

）A．抽取的4件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品的抽法有種B．抽取的4種產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種C．抽取的4件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽取的4件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種【答案】BCD【分析】50件產(chǎn)品中任意抽取4件，可能的結(jié)果為：沒有不合格（全為合格品），恰有1件不合格，恰有2件不合格，恰有3件不合格，分別求出它們的抽法種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理以及對立事件，即可得出答案.【詳解】對于A項(xiàng)，抽取4件產(chǎn)品中沒有不合格（全為合格品）的抽法，抽出產(chǎn)品中恰有1件不合格的抽法，抽取的4件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品的抽法有種，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，抽出的4件產(chǎn)品中至少有1件不合格品有如下可能：抽出產(chǎn)品中恰有1件不合格的抽法，抽出產(chǎn)品中恰有2件不合格的抽法，抽出產(chǎn)品中恰有3件不合格的抽法，取的4件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，這50件產(chǎn)品中任意抽取4件的抽法為，抽取4件產(chǎn)品中沒有不合格（全為合格品）的抽法，故抽出的4件產(chǎn)品中至少有一件合格的抽法為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，抽出產(chǎn)品中恰有1件不合格的抽法，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.11．已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)的最大值為1C．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)D．函數(shù)在處的切線的斜率為【答案】ACD【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、倍角公式、輔助角公式對函數(shù)進(jìn)行化簡，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)零點(diǎn)的概念、導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，A正確；因?yàn)?，函?shù)的最大值為，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，C正確；因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，D正確.故選：ACD.12．已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為：B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列C．D．若對于任意的都有，則【答案】BC【分析】先求出，根據(jù)前項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，推得時(shí)，，檢驗(yàn)，即可得出通項(xiàng)公式，判斷A項(xiàng)；作差法，即可判斷數(shù)列的單調(diào)性；裂項(xiàng)可得，求和即可得出；由C項(xiàng)，可知，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有，，兩式相減得：，即.當(dāng)時(shí)，滿足，綜上所述：，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)恒成立，故，即數(shù)列為遞減數(shù)列，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)閷θ我夂愠闪?，故，所以對于任意的都有，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．設(shè)公比為5的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【答案】504【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：14．已知的展開式的第3項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【分析】根據(jù)條件求出的值，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的第3項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，則，因此的展開式中的系數(shù)為.故答案為：15．已知兩個(gè)等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別是和：，則__________.【答案】10【分析】利用等差數(shù)列的等差中項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】解：，故答案為：1016．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】利用換元法、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)圖象結(jié)合一元二次函數(shù)與一元二次方程進(jìn)行求解.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，當(dāng)，，但對數(shù)增長緩慢，所以，當(dāng)，，，所以，所以可知函數(shù)的圖像如圖所示：令，則有三個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有兩個(gè)不等實(shí)根，令，因?yàn)閯t有兩個(gè)不等實(shí)根，因?yàn)?，所以不妨令，所以，解得，?shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：.四、解答題17．從7名運(yùn)動(dòng)員中選4人參加米接力賽，在下列條件下，各共有多少種不同的排法？（寫出計(jì)算過程，并用數(shù)字作答）(1)甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒；(2)若甲?乙兩人都被選且不跑相鄰兩棒.【答案】(1)620；(2)120.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用排列知識結(jié)合特殊元素、特殊位置法列式計(jì)算作答.（2）取出符合要求的人數(shù)，再利用不相鄰問題列式計(jì)算作答.【詳解】（1）若乙在第一棒，其余三棒共有選法，若乙不在第一棒，甲不在第一棒，則需選擇一人跑第一棒，共有種選法，乙不在最后一棒，則需選擇一人跑最后一棒，共有種選法，其余兩棒共有選法，所以甲不在第一棒，乙不在最后一棒的不同排法種數(shù)有種.（2）除甲?乙外還需選擇2人參加接力賽共有種選法，甲乙不跑相鄰兩棒，先排除甲乙外的另2人，有種排法，再把甲乙插入這兩人排列形成的3個(gè)間隙中，有種排法，所以甲?乙兩人都被選且不跑相鄰兩棒共有種排法.18．已知函數(shù)滿足(1)求的值；(2)求這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，代入，求解即可得出答案；（2）代入，得出表達(dá)式，求出.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，，將代入上式，可得：，從而.（2）由（1）可知，，所以，，又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，所以，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，整理可得，.19．王先生今年初向銀行申請個(gè)人住房貸款100萬元購買住房，月利率為，按復(fù)利計(jì)算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款（包括本金和利息）.(1)若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個(gè)還貸月應(yīng)還15000元，最后一個(gè)還貸月應(yīng)還6500元，試計(jì)算王先生該筆貸款的總利息；(2)若王先生采取等額本息的還貸方式.銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批.（不考慮其他因素）參考數(shù)據(jù)，，【答案】(1)元(2)王先生該筆貸款能夠獲批【分析】（1）由題意，每月的還貸額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，對數(shù)列求和可得所求利息；（2）利用等比數(shù)列求和公式，求得王先生每月還貨額，與題目所給數(shù)據(jù)比較，得結(jié)論.【詳解】（1）由題可知，等額本金還貨方式中，每月的還貸額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，表示數(shù)列的前項(xiàng)和.則，故.故王先生該筆貸款的總利息為：-1000000=元.（2）設(shè)王先生每月還貨額為元，則有，即，故.因?yàn)?，故王先生該筆貸款能夠獲批.20．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的最短距離.【答案】(1)(2)0【分析】（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及曲線在點(diǎn)處的切線方程為，建立方程組，即可求出，，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式.（2）聯(lián)立函數(shù)與直線解析式，整理成關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)判別式判斷方程有根，可得到直線與函數(shù)圖像有交點(diǎn)，即可得出最短距離.【詳解】（1）由函數(shù)得，，所以①，因?yàn)椋谇芯€方程上，②，由①②解得，，，即函數(shù)的解析式為.（2）由與直線可知，，即由判別式，所以與直線相交，所以點(diǎn)到直線的最短距離為0.21．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若，當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)8或9.【分析】（1）利用給定的遞推公式變形，再結(jié)合等比數(shù)列定義推理作答.（2）由（1）求出，進(jìn)而求出及前n項(xiàng)和即可判斷作答.【詳解】（1）由，得，即，而，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，則，顯然，即數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列前n項(xiàng)和，所以當(dāng)或9時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值72.22．已知函數(shù)，其中.(1)討論的極值，當(dāng)?shù)臉O值為2時(shí)，求的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)