第2章正投影基礎(chǔ)

2.1投影法2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律2.3點的投影2.4直線的投影2.5平面的投影空間物體的結(jié)構(gòu)形狀在工程上采用投影的方法來表達，使空間物體表現(xiàn)為平面圖形。而正投影法是工程制圖的核心理論基礎(chǔ)，反映了工程圖樣的基本投影規(guī)律。內(nèi)容提要學習目標◎理解投影法的基本概念和分類?！蛘莆掌叫型队坝绕涫钦队暗幕拘再|(zhì)?！蛘莆杖晥D的形成及其投影規(guī)律?！蛘莆拯c、直線、平面的投影規(guī)律。如何用平面圖形來正確地表達空間物體的形狀和大小？2.1.1投影法的基本概念物體在陽光或燈光的照射下，會在地面或墻面上留下影像，能在一定程度上反映物體的空間形狀。通過對這種現(xiàn)象的總結(jié)和抽象，逐步形成了投影法。投影法就是投射線通過物體向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法。投影法2.1投影法根據(jù)投射線之間的關(guān)系，投影法可分為中心投影法和平行投影法。2.1.2投影法分類1.中心投影法

投射線匯交于一點的投影法稱為中心投影法。2.平行投影法

投射線相互平行的投影法稱為平行投影法。

根據(jù)投射線與投影面的角度不同，又分為以下兩種：①

正投影法

投射線與投影面相互垂直的平行投影法。②

斜投影法

投射線與投影面相互傾斜的平行投影法。中心投影法平行投影法正投影能真實地反映物體的形狀和大小，并且度量性好、作圖簡便，因此在工程上應用最為廣泛。1．真實性2.1.3正投影的基本性質(zhì)

直線或平面平行于投影面時，其投影反映直線的實長或平面的實形，這種投影特性稱為真實性。2．積聚性

直線或平面垂直于投影面時，直線的投影積聚成點，平面的投影積聚成直線，這種投影特性稱為積聚性。3．類似性

直線或平面傾斜于投影面時，直線的投影是小于實長的直線，平面的投影是原平面的類似形，但面積小于原平面，這種投影特性稱為類似性。正投影的基本性質(zhì)1．投影面的設(shè)立三投影面體系2.2.1三視圖的形成3個相互垂直的投影面形成了三投影面體系。正立投影面，簡稱正面，用V表示。水平投影面，簡稱水平面，用H表示。側(cè)立投影面，簡稱側(cè)面，用W表示。兩投影面之間的交線稱為投影軸。OX軸──V面和H面的交線。OY軸──H面和W面的交線。OZ軸──V面和W面的交線。投影軸的交點O稱為原點。2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律2．三視圖的形成3．投影面的展開要把3個視圖畫在同一張圖紙上，就需要把3個投影面展開成一個平面。V面不動，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°。OY軸分解成兩個，隨H面的稱為OYH，隨W面的稱為OYW。展開后三視圖：俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方。如此配置視圖時不標注視圖的名稱，也不需要畫出投影軸和表示投影面的邊框。從物體的前面向后投影，在V面上得到的視圖稱為主視圖。從物體的上面向下投射，在H面上得到的視圖稱為俯視圖。從物體的左面向右投射，在W面上得到的視圖稱為左視圖。主視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度。三視圖的方位關(guān)系和投影規(guī)律2.2.2三視圖的投影規(guī)律俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度。左視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。在俯視圖和左視圖中，靠近主視圖的一邊都反映物體的后面，遠離主視圖的一邊則反映物體的前面。物體的寬度在俯視圖中為豎直方向，在左視圖中為水平方向。主視圖俯視圖——長對正主視圖左視圖——高平齊俯視圖左視圖——寬相等

“長對正、高平齊、寬相等”是三視圖畫圖和看圖必須遵循的最基本的投影規(guī)律。過空間點A點向V面投射得到A點的正面投影a，向H面投射得到A點的水平投影a，向W面投射得到A點的側(cè)面投影a。點的投影仍然是點，并且是唯一的。點的一個投影不能確定其空間位置，兩個投影才能唯一確定一個點。2.3.1點的三面投影我們約定：空間點用大寫字母表示，如A、B、C等；水平投影用相應的小寫字母表示，如a、b、c等；正面投影用小寫字母加一撇表示，如a′、b′、c′等；側(cè)面投影用小寫字母加兩撇表示，如a″、b″、c″等。2.3點的投影由于點的投影只與投影軸有關(guān)，而與投影面的大小無關(guān)，所以通常只畫出投影軸，不需要畫出表示投影面的邊框。為了作圖方便，常過O點作一條45°的輔助線平分YHOYW。點的三面投影圖的形成1.點的直角坐標與投影規(guī)律點的投影和坐標的關(guān)系A(chǔ)點的3個直角坐標（XA,YA,ZA）與其3個投影a、a、a的關(guān)系如下。點A到H面的距離：Aa=a′aX=a″aYW=OaZ=ZA點A到V面的距離：Aa′=aaX=a″aZ=OaY=YA點A到W面的距離：Aa″=a′aZ=aaYH=OaX=XA點在三投影面體系中的投影規(guī)律：已知點的3個坐標可以作出點的投影，已知點的任意兩個投影就能確定點的3個坐標，也必能作出其第三投影。點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸，即aa⊥OX。點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸，即aa⊥OZ。點的水平投影a到OX軸的距離等于側(cè)面投影a到OZ軸的距離，即aaX=aaZ?！景咐?-1】已知點B的V面投影b和W面投影b，求作點B的H面投影b。②過b作直線垂直于OYW軸與45°輔助線相交，過交點作直線平行于OX軸③

過b作直線垂直于OX軸，與以上直線相交于點b，即為所求①求點B的H面投影b【案例2-2】已知點A（18,10,15），求作A點的三面投影①畫出投影軸，在OX軸上量取18，得到aX②過aX作OX的垂線，在此垂線上向下量取10得a；向上量取15得a′③由投影a、a′作出a″2.特殊位置點的投影特殊位置點的投影（1）投影面上的點。一個坐標為0，一個投影在投影面上，另外兩個投影分別在投影軸上。（2）投影軸上的點。兩個坐標為0，有兩個投影在投影軸上重合，另一個投影在原點。（3）與原點重合的點。3個坐標都為0，3個投影都與原點重合。1)．兩點的相對位置兩點相對位置投影2.3.2兩點的相對位置

空間兩點的相對位置是指兩點在空間的左右、前后、上下的位置關(guān)系，由兩點的坐標差來決定。左右位置關(guān)系由正面和水平投影來判斷，X坐標大的在左。前后位置關(guān)系由水平和側(cè)面投影來判斷，Y坐標大的在前。上下位置關(guān)系由正面和側(cè)面投影來判斷，Z坐標大的在上。若以A點為基準點，則B點對A點的一組坐標差分別如下:

若Δx、Δy、Δz為正時，則B點在A點的左、前、上方。若Δx、Δy、Δz為負，則B點在A點的右、后、下方。X軸方向坐標差：Δx＝XB－XAY軸方向坐標差：Δy＝Y(jié)B－YAZ軸方向坐標差：Δz＝ZB－ZA【案例2-3】已知點A的三面投影，點B在其右方14、上方12、前方8，求作B點的三面投影③求B點的三面投影

①由aX沿X軸向右量取Δx=14，得到bX，過bX作直線垂直于OX軸，沿OYH軸向前量取Δy=8，得到b，沿OZ軸向上量取Δz=12，得到b′②由兩個投影求出第三投影2)．重影點重影點的投影

對正面、水平和側(cè)面投影的重影點的可見性判別分別是前遮后、上遮下、左遮右?？臻g兩點處于同一投射線上時，這兩點在該投射線垂直的投影面上的投影重合，這兩點稱為對該投影面的重影點。重影點有兩個坐標相同，可以由另一個不同的坐標來判斷其可見性，不可見的投影須加注括號。

直線的投影一般仍為直線，特殊情況下積聚為一點?？上犬嫵鲋本€兩端點的投影，然后用直線連接其同面投影即可。2.4.1直線的三面投影2.4直線的投影1.一般位置直線2.4.2各種位置直線的投影

與3個投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線，對H、V、W這3個投影面的傾角分別用、、來表示，3個投影的長度如下。ab=AB·cos＜ABab=AB·cos＜ABab=AB·cos＜AB

（1）一般位置直線的3個投影的長度均小于實長。

（2）一般位置直線直線的3個投影都與投影軸傾斜，且與投影軸的夾角均不反映空間直線對投影面的傾角。2.投影面平行線

平行于一個投影面、傾斜于另外兩個投影面的直線稱為投影面平行線。投影面平行線又分為以下3種:正平線：平行于V面，傾斜于H、W面。水平線：平行于H面，傾斜于V、W面。側(cè)平線：平行于W面，傾斜于V、H面。投影面平行線的投影特性：

投影面平行線的三面投影特性可以概括為“一斜兩平”，即三面投影中，一個是斜線，另兩個與相應投影軸平行。（1）直線在所平行的投影面上的投影為反映實長的斜線，與投影軸的夾角等于直線對另外兩個投影面的傾角。（2）其余兩投影的長度均小于實長，并平行于相應的投影軸。3.投影面垂直線

垂直于一個投影面、同時平行于另外兩個投影面的直線稱為投影面垂直線。投影面垂直線又可分為以下3種:正垂線：垂直于V面，平行于H、W面。鉛垂線：垂直于H面，平行于V、W面。側(cè)垂線：垂直于W面，平行于V、H面。投影面垂直線的投影特性投影特性可概括為：“一點兩垂”，即三面投影中，一個積聚成點，另兩個與相應投影軸垂直。

（1）直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點。

（2）其余兩投影反映線段實長，并分別垂直于相應的投影軸。

直線上的點2.4.3直線上的點

屬于直線上的點，其投影仍屬于直線的投影，且點分線段的比例投影后不變。如果點的各面投影都在直線的同面投影上，則該點一定在該直線上。若點在直線上，則點的各面投影必在該直線的同面投影上?！景咐恳阎本€AB的正面投影a′b′、水平投影ab以及直線上點K的正面投影k′，求其水平投影k。方法1：方法2：

分析：由于直線AB是側(cè)平線，不能直接由k′求出k，所以需根據(jù)點在直線上的投影性質(zhì)及點分線段成定比的規(guī)律來求。1．求出AB的側(cè)面投影a″b″1．過a點作輔助線2．求出K的側(cè)面投影k″3．依投影規(guī)律，由k′、k″求出k2．量取a

k0=a′k′，k0

b0=k′b′3．連接b0

b，過k0作b0b的平行線交ab于k點，即為所求1.兩直線平行兩直線平行2.4.4兩直線的相對位置

若空間兩直線相互平行，則它們的各組同面投影必相互平行；若兩直線的各組同面投影均相互平行，則兩直線在空間必定相互平行。兩直線平行的判定方法如下：兩直線平行的判定

（1）當兩直線均為一般位置時，只要有兩對同面投影互相平行就可判定兩直線在空間平行。

（2）當兩直線均為某一投影面的平行線時，則需根據(jù)其在所平行的那個投影面上的投影是否平行來判定兩直線是否平行。2.兩直線相交兩直線相交

若空間兩直線相交，則它們的各組同面投影都相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律；反之，若兩直線的各組同面投影都相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律，則該兩直線在空間必相交。3.兩直線交叉兩直線交叉從重影點入手畫一根垂直于投影軸的直線到另一個投影，就可以得到重影點不重合的兩個投影點，兩個點中坐標值大的點為可見點，坐標值小的點為不可見點，不可見點的投影應加括號。如果空間兩直線既不平行也不相交，則稱為兩直線交叉。交叉兩直線的投影可能有1組、2組甚至3組都是相交的，但它們的交點不符合點的投影規(guī)律，是重影點的投影。平面的空間位置可由下列幾種方法來確定。平面的表示法2.5.1平面的表示法不在同一直線上的3個點。直線及直線外一點。兩平行直線。兩相交直線。任意平面圖形。2.5平面的投影1.一般位置平面一般位置平面及其投影

一般位置平面的投影特征是：三個投影均為縮小的類似形，而且不反映該平面與投影面的傾角。2.5.2各種位置平面的投影對3個投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面，平面對H、V、W這3個投影面的傾角分別用、、γ表示2.投影面垂直面

垂直于一個投影面、傾斜于另外兩個投影面的平面稱為投影面垂直面。投影面垂直面又分為以下3種。正垂面──垂直于V面，傾斜于H、W面。鉛垂面──垂直于H面，傾斜于V、W面。側(cè)垂面──垂直于W面，傾斜于V、H面。投影面垂直面的投