第2章正投影基礎(chǔ)

2.1投影法2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律2.3點(diǎn)的投影2.4直線的投影2.5平面的投影空間物體的結(jié)構(gòu)形狀在工程上采用投影的方法來(lái)表達(dá)，使空間物體表現(xiàn)為平面圖形。而正投影法是工程制圖的核心理論基礎(chǔ)，反映了工程圖樣的基本投影規(guī)律。內(nèi)容提要學(xué)習(xí)目標(biāo)◎理解投影法的基本概念和分類(lèi)?！蛘莆掌叫型队坝绕涫钦队暗幕拘再|(zhì)?！蛘莆杖晥D的形成及其投影規(guī)律?！蛘莆拯c(diǎn)、直線、平面的投影規(guī)律。如何用平面圖形來(lái)正確地表達(dá)空間物體的形狀和大?。?.1.1投影法的基本概念物體在陽(yáng)光或燈光的照射下，會(huì)在地面或墻面上留下影像，能在一定程度上反映物體的空間形狀。通過(guò)對(duì)這種現(xiàn)象的總結(jié)和抽象，逐步形成了投影法。投影法就是投射線通過(guò)物體向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法。投影法2.1投影法根據(jù)投射線之間的關(guān)系，投影法可分為中心投影法和平行投影法。2.1.2投影法分類(lèi)1.中心投影法

投射線匯交于一點(diǎn)的投影法稱(chēng)為中心投影法。2.平行投影法

投射線相互平行的投影法稱(chēng)為平行投影法。

根據(jù)投射線與投影面的角度不同，又分為以下兩種：①

正投影法

投射線與投影面相互垂直的平行投影法。②

斜投影法

投射線與投影面相互傾斜的平行投影法。中心投影法平行投影法正投影能真實(shí)地反映物體的形狀和大小，并且度量性好、作圖簡(jiǎn)便，因此在工程上應(yīng)用最為廣泛。1．真實(shí)性2.1.3正投影的基本性質(zhì)

直線或平面平行于投影面時(shí)，其投影反映直線的實(shí)長(zhǎng)或平面的實(shí)形，這種投影特性稱(chēng)為真實(shí)性。2．積聚性

直線或平面垂直于投影面時(shí)，直線的投影積聚成點(diǎn)，平面的投影積聚成直線，這種投影特性稱(chēng)為積聚性。3．類(lèi)似性

直線或平面傾斜于投影面時(shí)，直線的投影是小于實(shí)長(zhǎng)的直線，平面的投影是原平面的類(lèi)似形，但面積小于原平面，這種投影特性稱(chēng)為類(lèi)似性。正投影的基本性質(zhì)1．投影面的設(shè)立三投影面體系2.2.1三視圖的形成3個(gè)相互垂直的投影面形成了三投影面體系。正立投影面，簡(jiǎn)稱(chēng)正面，用V表示。水平投影面，簡(jiǎn)稱(chēng)水平面，用H表示。側(cè)立投影面，簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)面，用W表示。兩投影面之間的交線稱(chēng)為投影軸。OX軸──V面和H面的交線。OY軸──H面和W面的交線。OZ軸──V面和W面的交線。投影軸的交點(diǎn)O稱(chēng)為原點(diǎn)。2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律2．三視圖的形成3．投影面的展開(kāi)要把3個(gè)視圖畫(huà)在同一張圖紙上，就需要把3個(gè)投影面展開(kāi)成一個(gè)平面。V面不動(dòng)，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°。OY軸分解成兩個(gè)，隨H面的稱(chēng)為OYH，隨W面的稱(chēng)為OYW。展開(kāi)后三視圖：俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方。如此配置視圖時(shí)不標(biāo)注視圖的名稱(chēng)，也不需要畫(huà)出投影軸和表示投影面的邊框。從物體的前面向后投影，在V面上得到的視圖稱(chēng)為主視圖。從物體的上面向下投射，在H面上得到的視圖稱(chēng)為俯視圖。從物體的左面向右投射，在W面上得到的視圖稱(chēng)為左視圖。主視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度。三視圖的方位關(guān)系和投影規(guī)律2.2.2三視圖的投影規(guī)律俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度。左視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。在俯視圖和左視圖中，靠近主視圖的一邊都反映物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖的一邊則反映物體的前面。物體的寬度在俯視圖中為豎直方向，在左視圖中為水平方向。主視圖俯視圖——長(zhǎng)對(duì)正主視圖左視圖——高平齊俯視圖左視圖——寬相等

“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”是三視圖畫(huà)圖和看圖必須遵循的最基本的投影規(guī)律。過(guò)空間點(diǎn)A點(diǎn)向V面投射得到A點(diǎn)的正面投影a，向H面投射得到A點(diǎn)的水平投影a，向W面投射得到A點(diǎn)的側(cè)面投影a。點(diǎn)的投影仍然是點(diǎn)，并且是唯一的。點(diǎn)的一個(gè)投影不能確定其空間位置，兩個(gè)投影才能唯一確定一個(gè)點(diǎn)。2.3.1點(diǎn)的三面投影我們約定：空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，如A、B、C等；水平投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示，如a、b、c等；正面投影用小寫(xiě)字母加一撇表示，如a′、b′、c′等；側(cè)面投影用小寫(xiě)字母加兩撇表示，如a″、b″、c″等。2.3點(diǎn)的投影由于點(diǎn)的投影只與投影軸有關(guān)，而與投影面的大小無(wú)關(guān)，所以通常只畫(huà)出投影軸，不需要畫(huà)出表示投影面的邊框。為了作圖方便，常過(guò)O點(diǎn)作一條45°的輔助線平分YHOYW。點(diǎn)的三面投影圖的形成1.點(diǎn)的直角坐標(biāo)與投影規(guī)律點(diǎn)的投影和坐標(biāo)的關(guān)系A(chǔ)點(diǎn)的3個(gè)直角坐標(biāo)（XA,YA,ZA）與其3個(gè)投影a、a、a的關(guān)系如下。點(diǎn)A到H面的距離：Aa=a′aX=a″aYW=OaZ=ZA點(diǎn)A到V面的距離：Aa′=aaX=a″aZ=OaY=YA點(diǎn)A到W面的距離：Aa″=a′aZ=aaYH=OaX=XA點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律：已知點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)可以作出點(diǎn)的投影，已知點(diǎn)的任意兩個(gè)投影就能確定點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)，也必能作出其第三投影。點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸，即aa⊥OX。點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸，即aa⊥OZ。點(diǎn)的水平投影a到OX軸的距離等于側(cè)面投影a到OZ軸的距離，即aaX=aaZ。【案例2-1】已知點(diǎn)B的V面投影b和W面投影b，求作點(diǎn)B的H面投影b。②過(guò)b作直線垂直于OYW軸與45°輔助線相交，過(guò)交點(diǎn)作直線平行于OX軸③

過(guò)b作直線垂直于OX軸，與以上直線相交于點(diǎn)b，即為所求①求點(diǎn)B的H面投影b【案例2-2】已知點(diǎn)A（18,10,15），求作A點(diǎn)的三面投影①畫(huà)出投影軸，在OX軸上量取18，得到aX②過(guò)aX作OX的垂線，在此垂線上向下量取10得a；向上量取15得a′③由投影a、a′作出a″2.特殊位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)的投影（1）投影面上的點(diǎn)。一個(gè)坐標(biāo)為0，一個(gè)投影在投影面上，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。（2）投影軸上的點(diǎn)。兩個(gè)坐標(biāo)為0，有兩個(gè)投影在投影軸上重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)。（3）與原點(diǎn)重合的點(diǎn)。3個(gè)坐標(biāo)都為0，3個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。1)．兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)相對(duì)位置投影2.3.2兩點(diǎn)的相對(duì)位置

空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置是指兩點(diǎn)在空間的左右、前后、上下的位置關(guān)系，由兩點(diǎn)的坐標(biāo)差來(lái)決定。左右位置關(guān)系由正面和水平投影來(lái)判斷，X坐標(biāo)大的在左。前后位置關(guān)系由水平和側(cè)面投影來(lái)判斷，Y坐標(biāo)大的在前。上下位置關(guān)系由正面和側(cè)面投影來(lái)判斷，Z坐標(biāo)大的在上。若以A點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，則B點(diǎn)對(duì)A點(diǎn)的一組坐標(biāo)差分別如下:

若Δx、Δy、Δz為正時(shí)，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的左、前、上方。若Δx、Δy、Δz為負(fù)，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的右、后、下方。X軸方向坐標(biāo)差：Δx＝XB－XAY軸方向坐標(biāo)差：Δy＝Y(jié)B－YAZ軸方向坐標(biāo)差：Δz＝ZB－ZA【案例2-3】已知點(diǎn)A的三面投影，點(diǎn)B在其右方14、上方12、前方8，求作B點(diǎn)的三面投影③求B點(diǎn)的三面投影

①由aX沿X軸向右量取Δx=14，得到bX，過(guò)bX作直線垂直于OX軸，沿OYH軸向前量取Δy=8，得到b，沿OZ軸向上量取Δz=12，得到b′②由兩個(gè)投影求出第三投影2)．重影點(diǎn)重影點(diǎn)的投影

對(duì)正面、水平和側(cè)面投影的重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判別分別是前遮后、上遮下、左遮右?？臻g兩點(diǎn)處于同一投射線上時(shí)，這兩點(diǎn)在該投射線垂直的投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。重影點(diǎn)有兩個(gè)坐標(biāo)相同，可以由另一個(gè)不同的坐標(biāo)來(lái)判斷其可見(jiàn)性，不可見(jiàn)的投影須加注括號(hào)。

直線的投影一般仍為直線，特殊情況下積聚為一點(diǎn)?？上犬?huà)出直線兩端點(diǎn)的投影，然后用直線連接其同面投影即可。2.4.1直線的三面投影2.4直線的投影1.一般位置直線2.4.2各種位置直線的投影

與3個(gè)投影面都傾斜的直線，稱(chēng)為一般位置直線，對(duì)H、V、W這3個(gè)投影面的傾角分別用、、來(lái)表示，3個(gè)投影的長(zhǎng)度如下。ab=AB·cos＜ABab=AB·cos＜ABab=AB·cos＜AB

（1）一般位置直線的3個(gè)投影的長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)。

（2）一般位置直線直線的3個(gè)投影都與投影軸傾斜，且與投影軸的夾角均不反映空間直線對(duì)投影面的傾角。2.投影面平行線

平行于一個(gè)投影面、傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線稱(chēng)為投影面平行線。投影面平行線又分為以下3種:正平線：平行于V面，傾斜于H、W面。水平線：平行于H面，傾斜于V、W面。側(cè)平線：平行于W面，傾斜于V、H面。投影面平行線的投影特性：

投影面平行線的三面投影特性可以概括為“一斜兩平”，即三面投影中，一個(gè)是斜線，另兩個(gè)與相應(yīng)投影軸平行。（1）直線在所平行的投影面上的投影為反映實(shí)長(zhǎng)的斜線，與投影軸的夾角等于直線對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角。（2）其余兩投影的長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)，并平行于相應(yīng)的投影軸。3.投影面垂直線

垂直于一個(gè)投影面、同時(shí)平行于另外兩個(gè)投影面的直線稱(chēng)為投影面垂直線。投影面垂直線又可分為以下3種:正垂線：垂直于V面，平行于H、W面。鉛垂線：垂直于H面，平行于V、W面。側(cè)垂線：垂直于W面，平行于V、H面。投影面垂直線的投影特性投影特性可概括為：“一點(diǎn)兩垂”，即三面投影中，一個(gè)積聚成點(diǎn)，另兩個(gè)與相應(yīng)投影軸垂直。

（1）直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。

（2）其余兩投影反映線段實(shí)長(zhǎng)，并分別垂直于相應(yīng)的投影軸。

直線上的點(diǎn)2.4.3直線上的點(diǎn)

屬于直線上的點(diǎn)，其投影仍屬于直線的投影，且點(diǎn)分線段的比例投影后不變。如果點(diǎn)的各面投影都在直線的同面投影上，則該點(diǎn)一定在該直線上。若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各面投影必在該直線的同面投影上。【案例】已知直線AB的正面投影a′b′、水平投影ab以及直線上點(diǎn)K的正面投影k′，求其水平投影k。方法1：方法2：

分析：由于直線AB是側(cè)平線，不能直接由k′求出k，所以需根據(jù)點(diǎn)在直線上的投影性質(zhì)及點(diǎn)分線段成定比的規(guī)律來(lái)求。1．求出AB的側(cè)面投影a″b″1．過(guò)a點(diǎn)作輔助線2．求出K的側(cè)面投影k″3．依投影規(guī)律，由k′、k″求出k2．量取a

k0=a′k′，k0

b0=k′b′3．連接b0

b，過(guò)k0作b0b的平行線交ab于k點(diǎn)，即為所求1.兩直線平行兩直線平行2.4.4兩直線的相對(duì)位置

若空間兩直線相互平行，則它們的各組同面投影必相互平行；若兩直線的各組同面投影均相互平行，則兩直線在空間必定相互平行。兩直線平行的判定方法如下：兩直線平行的判定

（1）當(dāng)兩直線均為一般位置時(shí)，只要有兩對(duì)同面投影互相平行就可判定兩直線在空間平行。

（2）當(dāng)兩直線均為某一投影面的平行線時(shí)，則需根據(jù)其在所平行的那個(gè)投影面上的投影是否平行來(lái)判定兩直線是否平行。2.兩直線相交兩直線相交

若空間兩直線相交，則它們的各組同面投影都相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律；反之，若兩直線的各組同面投影都相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則該兩直線在空間必相交。3.兩直線交叉兩直線交叉從重影點(diǎn)入手畫(huà)一根垂直于投影軸的直線到另一個(gè)投影，就可以得到重影點(diǎn)不重合的兩個(gè)投影點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)中坐標(biāo)值大的點(diǎn)為可見(jiàn)點(diǎn)，坐標(biāo)值小的點(diǎn)為不可見(jiàn)點(diǎn)，不可見(jiàn)點(diǎn)的投影應(yīng)加括號(hào)。如果空間兩直線既不平行也不相交，則稱(chēng)為兩直線交叉。交叉兩直線的投影可能有1組、2組甚至3組都是相交的，但它們的交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，是重影點(diǎn)的投影。平面的空間位置可由下列幾種方法來(lái)確定。平面的表示法2.5.1平面的表示法不在同一直線上的3個(gè)點(diǎn)。直線及直線外一點(diǎn)。兩平行直線。兩相交直線。任意平面圖形。2.5平面的投影1.一般位置平面一般位置平面及其投影

一般位置平面的投影特征是：三個(gè)投影均為縮小的類(lèi)似形，而且不反映該平面與投影面的傾角。2.5.2各種位置平面的投影對(duì)3個(gè)投影面都傾斜的平面稱(chēng)為一般位置平面，平面對(duì)H、V、W這3個(gè)投影面的傾角分別用、、γ表示2.投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面、傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面稱(chēng)為投影面垂直面。投影面垂直面又分為以下3種。正垂面──垂直于V面，傾斜于H、W面。鉛垂面──垂直于H面，傾斜于V、W面。側(cè)垂面──垂直于W面，傾斜于V、H面。投影面垂直面的投