等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及性質(zhì)

等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及性質(zhì)第1頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

引入：印度國(guó)際象棋發(fā)明者的故事（西薩）第2頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三引入新課它是以１為首項(xiàng)公比是２的等比數(shù)列，分析：由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的２倍，共有64格每格所放的麥粒數(shù)依次為：麥粒的總數(shù)為:第3頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三請(qǐng)同學(xué)們考慮如何求出這個(gè)和？這種求和的方法,就是錯(cuò)位相減法!18446744073709551615

如果1000粒麥粒重為40克，那么這些麥粒的總質(zhì)量就是7300多億噸。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料顯示，全世界小麥的年產(chǎn)量約為6億噸，就是說(shuō)全世界都要1000多年才能生產(chǎn)這么多小麥，國(guó)王無(wú)論如何是不能實(shí)現(xiàn)發(fā)明者的要求的。第4頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如何求等比數(shù)列的Sn:①

②

①—②

，得錯(cuò)位相減法第5頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.使用公式求和時(shí)，需注意對(duì)和的情況加以討論；2.推導(dǎo)公式的方法：錯(cuò)位相減法。注意：顯然，當(dāng)q=1時(shí)，第6頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(q=1).(q≠1).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和表述為：第7頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q證法二：借助Sn-an=Sn-1

第8頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(一)用等比定理推導(dǎo)當(dāng)q=1時(shí)Sn=na1因?yàn)樗?/p>

用等比定理：證法三：第9頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知a1

、n、q時(shí)已知a1

、an、q時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知三求二第10頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

(1)

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)Sn={1-q(q=1)(q=1)

(2)

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用：1.在使用公式時(shí).注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式時(shí)，要根據(jù)題意，適當(dāng)選擇公式。利用“錯(cuò)位相減法”推導(dǎo)

(3)

兩個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中任知其三可以求其二：第11頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1、求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和第12頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三說(shuō)明：２.１.第13頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3.某商場(chǎng)今年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30000臺(tái)(結(jié)果保留到個(gè)位)？分析：第1年產(chǎn)量為5000臺(tái)第2年產(chǎn)量為5000×(1+10%)=5000×1.1臺(tái)第3年產(chǎn)量為5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年產(chǎn)量為則n年內(nèi)的總產(chǎn)量為：第14頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1．?dāng)?shù)列{2n－1}的前99項(xiàng)和為(

)A．2100－1

B．1－2100C．299－1 D．1－299答案：C第15頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，則n的值為(

)A．4 B．5C．6 D．7答案：C第16頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3．已知等比數(shù)列{an}中，an>0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，則前5項(xiàng)和S5的值為_(kāi)_______．答案：31第17頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a12＋a22＋…＋an2等于________．第18頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．第19頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第20頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第21頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第22頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第23頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第24頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第25頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第26頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第27頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第28頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[點(diǎn)評(píng)]在求含有參數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，容易忽略對(duì)a＝1和q＝1的討論，從而丟掉一種情況．第29頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[題后感悟]錯(cuò)位相減法一般來(lái)說(shuō)，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d；數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比為q，則求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和就可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法．第30頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和時(shí)，要注意以下四個(gè)問(wèn)題：(1)注意對(duì)q的討論，在前面的討論中，我們已知q是等比數(shù)列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1時(shí)，就應(yīng)分x＝0、x＝1和x≠0且x≠1三種情況討論．(2)注意相消的規(guī)律．(3)注意相消后式子(1－q)Sn的構(gòu)成，以及其中成等比數(shù)列的一部分的和的項(xiàng)數(shù)．(4)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q≠1這一前提條件．如果不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況討論，這在以前高考中經(jīng)常考查．第31頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第32頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第33頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第34頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三.3求和：第35頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第36頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第37頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.已知數(shù)列前n項(xiàng)和sn=2n-1，則此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的前n

項(xiàng)的和是

.

2.設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，

a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分別求出{an}及{bn}的