第四章 橢球面上幾種曲率半徑

第四章橢球面上幾種曲率半徑第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三1、旋轉橢球五個基本幾何參數(shù)：長半軸a；短半軸ｂ；扁率α；第一偏心率e；第二偏心率e′？2、旋轉橢球計算中常引入以下符號：c、t、η、W、V3、經線、緯線、法線的特性4、表示旋轉橢球面上的點的幾種坐標系子午面直角坐標系(L,x,y)地心緯度坐標系（L，Φ，ρ）歸化緯度坐標系（L，u）大地極坐標系（S，A）大地坐標系（L，B）上一講應掌握的內容公式寫在黑板上第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三上一講應掌握的內容5、各坐標系間的關系子午平面坐標系與大地坐標系的關系(L，x，y)(L，B)空間直角坐標與子午面平面坐標系的關系

(X，Y，Z)(L，x，y)空間直角坐標系與大地坐標系的關系(X，Y，Z)(L，B)第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三上一講應掌握的內容5、各坐標系間的關系空間直角坐標系同歸化緯度坐標系的關系(X，Y，Z)(L，u)空間直角坐標系同地心緯度坐標系的關系(X，Y，Z)（L，Φ，ρ）大地極坐標系同大地坐標系的關系(S，A)(L，B)大地主題解算第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三上一講應掌握的內容在赤道圈上：

B=u=φ=0在兩極處:

B=u=φ=90°在其他處:

∣B∣＞∣u∣＞∣φ∣uBφ大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經過計算，當B=45°時（六）B、u、φ之間的關系第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。有無數(shù)個法截面或法截線。兩個特殊的法截線：子午線、卯酉線。對應有：子午線（圈）曲率半徑，

卯酉線（圈）曲率半徑曲線的曲率是曲線彎曲程度的反映，它是用曲線上無限鄰近兩點的切向量的交角對弧長的變化率來度量的。曲線上任一點的曲率的倒數(shù)稱為曲率半徑。

曲率越大或曲率半徑越小，曲線的彎曲程度越高一、橢球面上法截線有關概念第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三二、子午圈（線）曲率半徑推導思路：曲線的一階導數(shù)是切線，二階導數(shù)是曲率，曲率的倒數(shù)是曲率半徑?；颍旱?頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三子午線曲率半徑（另一種推導）第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三子午圈曲率半徑隨緯度變化情況第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三卯酉圈:過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。麥尼爾定理:假設通過曲面上一點引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。三、卯酉圈（線）曲率半徑第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三卯酉線（圈）曲率半徑推導思路第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三卯酉圈曲率半徑的特點:

卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉軸上。

卯酉線（圈）曲率半徑隨緯度變化情況第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三大地方位角為A的任意法截弧的曲率半徑，由微分幾何的尤拉公式得：四、任意法截弧的曲率半徑子午線卯酉線T（北）APQD（東）第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三

ＲＡ不僅與點的緯度B有關，而且還與過該點的法截弧的方位角A有關。當Ａ＝０°時，變?yōu)橛嬎阕游缛η拾霃降?，即Ｒ０＝Ｍ當Ａ?0°時，為卯酉圈曲率半徑，即Ｒ９０＝Ｎ主曲率半徑M及N分別是ＲＡ的極小值和極大值。當A由0°→90°時，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ當A由90°→180°時，ＲＡ值由N→Ｍ，可見ＲＡ值的變化是以90°為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三五、平均曲率半徑只要取A自0至90°范圍內的RA的平均值即可：橢球面上任意一點的平均曲率半徑R等于該點子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。

第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三六、橢球面上幾種曲率半徑的關系為了便于記憶，N、R、M的公式可表示成有規(guī)律的形式第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三橢球面上幾種曲率半徑第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。

六、主曲率半徑的計算公式不同的橢球元素對應不同的系數(shù)第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三主曲率半徑的計算公式系數(shù)第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三主曲率半徑的計算公式（續(xù)）亦可按：展開。則得：第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三主曲率半徑的計算公式系數(shù)（續(xù)）第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三結束謝謝!第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三經線、緯線、法線的特性BM經線與緯線互相垂直除赤道、兩極上的法線外，法線不通過橢球中心緯度較高的點，其法線與旋轉軸的交點就較低同