第四章 函數(shù)的插值與擬合法

第四章函數(shù)的插值與擬合法第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三定義4.1

設(shè)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在[a,b]內(nèi)n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)上取值.求一個(gè)性態(tài)較好的簡單函數(shù)P(x)，使得

則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)[a,b]----插值區(qū)間----插值節(jié)（結(jié)）點(diǎn)f(x)----被插函數(shù)（4-1）----插值條件求插值函數(shù)P(x)的方法----插值法一、插值函數(shù)4.1引言

第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三yxo插值第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三(1)當(dāng)P(x)為次數(shù)不超過n次的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，相應(yīng)的插值法稱為

多項(xiàng)式插值；(2)當(dāng)P(x)為三角多項(xiàng)式時(shí)，相應(yīng)的插值法稱為三角插值；(3)當(dāng)P(x)為分段解析函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值法稱為分段插值。其中三角插值主要用于處理周期函數(shù)。本章僅介紹最基本的多項(xiàng)式插值。第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三定理4.1在n+1個(gè)互異點(diǎn)上滿足插值條件(4-1)的次數(shù)不超過n次的插值多項(xiàng)式存在且惟一。所以，解存在且惟一，這說明由式(4-2)表示的存在且惟一，證畢。證二、多項(xiàng)式插值的唯一性設(shè)有第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

4.2插值多項(xiàng)式的構(gòu)造

一、基本插值多項(xiàng)式

定義下列表函數(shù)

的插值多項(xiàng)式叫做以為節(jié)點(diǎn)的基本插值多項(xiàng)式。

由定義可知xx0x1---xi-1xixi+1---xny00---010---0

4.2.1拉格朗日插值多項(xiàng)式

(4-4)第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三解

------n次Lagrange插值基函數(shù)第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三注：1.n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)n+1個(gè)基本插值多項(xiàng)式。2.僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，與f(x)無關(guān)。二、Lagrange插值多項(xiàng)式求下列列表函數(shù)的多項(xiàng)式Ln(x)

xx0x1---xi-1xixi+1---xnyy0y1---yi-1yiyi+1---yn-----n次拉格朗日插值多項(xiàng)式

解

第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三線性插值(n=1)，拋物插值(n=2)

注：1.是的線性組合。2.與節(jié)點(diǎn)的排列順序無關(guān)。第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例：已知列表函數(shù),并計(jì)算f(0.5)的計(jì)算值。解：x-1012y111-5第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三三、Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)

定理4.2（誤差估計(jì)定理）

第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三注（1）余項(xiàng)公式主要用于理論分析。實(shí)際使用時(shí)，代之以誤差估計(jì)式（2）插值節(jié)點(diǎn)的選取應(yīng)盡量靠近插值點(diǎn)，以使盡可能小，以減小誤差。推論

第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例4.1給定函數(shù)表試分別用線性插值和拋物插值求ln1.46的近似值并估計(jì)誤差。x1.21.31.41.51.61.7lnx0.1823220.2623640.3364720.4054650.4700040.530628解作線性插值得第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三作拋物插值第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

4.2.2牛頓均差插值多項(xiàng)式

一、均差，均差表定義設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，及自變量

第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三節(jié)點(diǎn)一階均差二階均差三階均差四階均差五階均差第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例4.3試用列表法對(duì)下例表格函數(shù)求f[1,3,5,7]x012345678f(x)107-3-19-39-59-71-599列表計(jì)算得xif(xi)一階均差二階均差三階均差13577-19-59-59-13-200-1.7551.125所以f[1,3,5,7]=1.125解第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三二、均差的性質(zhì)這性質(zhì)又稱為均差關(guān)于自變量對(duì)稱~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三三、牛頓均差插值多項(xiàng)式第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三Nn(x)稱為牛頓均差插值多項(xiàng)式。證第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例1：已知x0.400.550.650.800.901.05y0.410750.578150.696150.888111.026521.25386第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三00.400.4107510.550.578151.116020.650.696151.18600.280030.800.888111.27570.35830.19740.901.026521.38480.43360.2140.03451.051.253861.51560.52600.2310.0340k

xkyk

一階二階三階四階五階解:(1)(2)與0.596最接近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例4.4給定表格函數(shù)

x12345f(x)0.50.1751.31-1.49510.36

（1）試用二次牛頓均差插值法求f(2.8)的近似值；（2）設(shè)f(x)=-1.166已知，試用（1）中構(gòu)造的插值多項(xiàng)式求x的近似值。解(1)選取節(jié)點(diǎn)x=2,3,4kxkf(xk)一階均差二階均差三階均差020.1751.135-1.97-0.9131.31-2.0805-1.0724-1.495-0.665310.5第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

4.3分段低次插值（略）

第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

4.4最小二乘法

4.4.1最小二乘法的提出

xx0x1---xi-1xixi+1---xnyy0y1---yi-1yiyi+1---yn已知立表函數(shù)：函數(shù)插值問題現(xiàn)在的問題：對(duì)上面立表函數(shù)求一近似函數(shù)（不要求插值）y=P(x)滿足：（1）反映立表函數(shù)的一般趨勢(shì)（2）要求偏離立表函數(shù)很小-----函數(shù)的擬合第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三yxo插值擬合方差第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

4.4.2

數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式最小二乘擬合

xx0x1---xi-1xixi+1---xnyy0y1---yi-1yiyi+1---yn已知一組數(shù)據(jù)：解------這個(gè)多項(xiàng)式稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合多項(xiàng)式第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三它稱為法方程組（或正規(guī)方程組）。

第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例1：數(shù)據(jù)x1345678910y278910111190試求一曲線，最好地?cái)M合這組數(shù)據(jù)。解（1）描圖二次曲線(2)建立關(guān)于的正規(guī)方程組。

第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三解得第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例4.5試對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合

xi12345678yi1.13.88.715.624.637.449.664.2解第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三注第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三x-2012y1.905.113.8例4.6用最小二乘法求形如y=ax+bx2的多項(xiàng)式，使與下列數(shù)據(jù)擬合（得數(shù)保留三位小數(shù)）解第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三例4.7給定數(shù)據(jù)試求形如y=a+bx2的擬合多項(xiàng)式（得數(shù)保留三位小數(shù)）。解x-5012y52.63.45.510.5第43頁，共46頁，2023年，2月20日，星期三

4.4.3最小二乘法的應(yīng)用例例4.8試對(duì)下表數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)擬合

xi123456yi15.420.426.837.248.863.34.4.3.1數(shù)據(jù)的指數(shù)擬合解xi123456Zi=lnyi2.73443.01553.28843.61633