設(shè)計合理“亮”思維追求理解“啟”智慧 論文

設(shè)計合理“亮”思維，追求理解“啟”智慧 ---“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在”的教學(xué)及啟示 阜陽市第三中學(xué)凡勝富

摘要：教學(xué)實踐證明，不是所有的問題都能引起學(xué)生思考，所以，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的認知規(guī)律和知識形成規(guī)律入手，設(shè)計出層次分明能激發(fā)學(xué)生思考的問題，導(dǎo)引學(xué)生通過對問題的思考和探究，揭示問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。 關(guān)鍵詞：問題；思考；激發(fā)思維；自然過渡

問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是引發(fā)學(xué)生思考和探究的源動力。課堂中，有了問題，學(xué)生在好奇心驅(qū)使下才能真正激發(fā)思維，實現(xiàn)知識的邏輯結(jié)構(gòu)向?qū)W生的認知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化，因此，在教學(xué)過程中，我們可依據(jù)教學(xué)目標將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計成一系列問題，將這些問題由淺入深、由易到難、合理設(shè)計、適時呈現(xiàn)，導(dǎo)引學(xué)生通過問題的思考和探究來實現(xiàn)教學(xué)目標。下面筆者以參加市里一次教學(xué)大賽獲獎的一節(jié)課為例，談?wù)勛约旱拇譁\體會，和同行交流。 一、教學(xué)過程實錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

教師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、性質(zhì)和幾個特殊的函數(shù)，對函數(shù)已經(jīng)有了初步的了解，這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)函數(shù)的一些用途。下面我們就來看一個和函數(shù)關(guān)系最密切的方程問題：（多媒體演示）

判斷下列方程是否有實數(shù)解：（1）x10（2）x2x20請問大家是怎么判斷出結(jié)果來的？

生1：利用公式解方程求得生2：也可以畫出yx,1yx23x2的圖像與x軸的交點得到教師：好請繼續(xù)看下題：（3）2xx50（學(xué)生不知所措）教師：大家判斷不出來這很正常，這個方程不是我們所熟悉的方程，我們沒有公式可以用，也畫不出圖像判斷，利用我們目前知識并不能解決所有的方程解問題，請大家和我一起了解一下方程求解的發(fā)展歷程：1在2010年第六期《科學(xué)》雜志中有一篇為紀念華羅庚誕辰100周年的文章——一元五次方程求解的往事，該文章中介紹了早在16世紀，數(shù)學(xué)家就已經(jīng)解決了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在隨后的三百多年里，方程解法的發(fā)展停滯了，直到19世紀挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解，這就是方程求解的發(fā)展史。教師：這節(jié)課我們就來彌補一下我們目前知識的欠缺（引入課題）

設(shè)計意圖：由學(xué)生熟悉的方程推進到一個本身不能求解的方程，造成學(xué)生的認知沖突，同時借助方程發(fā)展史極大吸引學(xué)生探究新知的興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。情境的創(chuàng)設(shè)，既自然滲透數(shù)學(xué)文化，揭示學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性，又有效激活學(xué)生的思維，對現(xiàn)象達到理解性認識，又為下面探究奠定良好的認知基礎(chǔ)。（二）實驗探究，解決問題

教師：首先讓我們來看第1個問題：

問題1：如何在沒有求解公式的背景下判斷方程是否有解

教師：我們處理問題時候通常遇到難以解決的問題時，會回到我們會處理的問題入手去發(fā)現(xiàn)解決辦法和一些規(guī)律，好，讓我們再回到剛才我們已經(jīng)解決的兩個方程問題。1.實驗活動一一元一次方程x10和相應(yīng)的一次函數(shù)f(x)x1的圖象有何關(guān)系？生3：一元一次方程的根是對應(yīng)一元一次函數(shù)圖像與x軸的交點的橫坐標。2.實驗活動二一元二次方程x2x20和相應(yīng)的二次函數(shù)f(x)x23x2的圖像有何關(guān)系？生4：一元二次方程的根就是對應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸的交點的橫坐標。2 教師：請同學(xué)們思考對于一般的函數(shù)（高次函數(shù)，指對數(shù)函數(shù)等）與對應(yīng)方程是否也有上述的結(jié)論成立呢？同學(xué)們，來繼續(xù)看活動三。設(shè)計意圖：以問題激發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生通過動手實驗，體會深刻，自然地得到函數(shù)和方程關(guān)系的初步認識，通過實驗也可以直觀感悟概念形成之中隱藏的數(shù)學(xué)思想，有利于全面、深刻地理解概念的本質(zhì)。3.實驗活動三判斷方程2xx50是否有解（師生互動：現(xiàn)場在幾何畫板下展示函數(shù)的圖象）

教師：經(jīng)過以上三個實踐活動問題1得到解決方案：通過作出方程所對應(yīng)的函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸是否有交點加以判別?？磥砦覀冃枰胄碌亩x來解決這類問題了。設(shè)計意圖：再一次體會方程的根是對應(yīng)函數(shù)圖像與橫軸交點的橫坐標。將結(jié)論推廣到一般，為零點概念做好鋪墊．（三）抽象概括，形成概念函數(shù)的零點：我們把函數(shù)yf的圖像與橫軸的交點的橫坐標叫做函數(shù)yf的零點。 教師：對于這個定義我們可以從兩個角度來刻畫：數(shù)和形的角度，你能說說你對方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點、函數(shù)的零點三者之間的關(guān)系的理解嗎？生5：得到以下結(jié)論：等價關(guān)系：方程f0有實數(shù)根 函數(shù)yf的圖象與x軸有交點 函數(shù)yf有零點 提供了一個通過函數(shù)性質(zhì)確定方程解的途徑，函數(shù)零點就是相應(yīng)方程的實數(shù)解設(shè)計意圖：

1、引導(dǎo)學(xué)生得出零點的三個重要的等價關(guān)系，體現(xiàn)“化歸”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。2、強調(diào)求函數(shù)零點的方法。（四）合作交流，探究結(jié)論

教師：大家在計算機的幫助下，可以判斷即使不會畫出相應(yīng)函數(shù)圖像的方程有沒有解的問題，請繼續(xù)思考：

3問題2：沒有計算機輔助，如何判斷方程是否有解呢？請看下面的小問題：1、觀察函數(shù)f(x)x1的圖像，此函數(shù)在區(qū)間上有沒有零點？計算函數(shù)f(x)x1在區(qū)間的兩個端點對應(yīng)的函數(shù)值f(0)和f(2)的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘積有何特點？生6：有零點，因為函數(shù)圖像是不間斷的且f(0)f02、觀察二次函數(shù)f(x)x23x2的圖像，此函數(shù)在區(qū)間,03

上沒有零點？追問：此2函數(shù)在區(qū)間323,上是否也具有這樣的特點？生7：在區(qū)間,03

，323,均勻零點，因為函數(shù)圖像是不間斷的且有f(0)f320，2f(3)f023、觀察函數(shù)f(x)2xx5的圖像，此函數(shù)在區(qū)間上有沒有零點？生8：根據(jù)解決前兩個問題經(jīng)驗判斷，函數(shù)圖像也是不間斷的，且f)1(f0，所以函數(shù)在區(qū)間上有零點。教師：通過以上3個小問題的理解對于連續(xù)函數(shù)，我們可以人為的選擇一個區(qū)間，使區(qū)間兩端點的函數(shù)值異號使得問題2得以解決。所以我們可以得到一個結(jié)論：設(shè)計意圖：先從一個已研究過的、簡單的函數(shù)入手，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象，通過計算、觀察、比較得出函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值乘積的情況與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是否存在零點之間有什么關(guān)系。為歸納函數(shù)零點存在的條件做好鋪墊。零點存在定理：如果函數(shù)yf在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f0，那么，函數(shù)yf在區(qū)間a,b內(nèi)有零點，即存在ca,b，使得f0.這個c也就是方程f0的根。追問1：不是連續(xù)函數(shù)結(jié)論還成了嗎？請舉例說明。生9：不一定，比如f1x在區(qū)間上滿足f0，但是它在區(qū)間1,1上沒有零點。4追問2：若函數(shù)yf在區(qū)間a,b內(nèi)有零點，一定有f0嗎？5生10：也不一定，比如fx2在區(qū)間1,1上有零點，但是f0追問3：若f0，則函數(shù)yf在區(qū)間a,b內(nèi)只一個有零點嗎？生11：不一定，比如fsinx有ff50，但是它在區(qū)間,3232上就有3個零點。 教師：很好，可見同學(xué)們，對于這個定理理解的比較透徹，這也是我們需要注意的地方。那下面我們就一起來看它的使用。設(shè)計意圖：通過追問使學(xué)生準確理解零點存在性定理和三個注意點：1.函數(shù)是連續(xù)的，2.定理不可逆，3.至少只存在一個零點。（五）遷移應(yīng)用，深化理解例1已知函數(shù)f3xx2。問：方程f0在區(qū)間0,1內(nèi)有沒有實數(shù)解？例2．判定x2x51有兩個相異的實數(shù)解，且有一個大于5，一個小于2．設(shè)計意圖：對概念的理解是一個循序漸進的過程，學(xué)生要經(jīng)過一系列練習(xí)才能把前面的探究活動中獲得的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)經(jīng)驗與數(shù)學(xué)方法真正領(lǐng)悟。進一步加強學(xué)生對概念的作用和價值的認識、理解知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。 有了以上兩個例子對定理的應(yīng)用和理解，請繼續(xù)思考下面這個問題：問題3：請同學(xué)們思考利用零點存在性定理來判斷零點問題有沒有缺陷？ （學(xué)生分析交流討論，得出結(jié)論）

生12：（1）無法判斷零點的具體個數(shù)

（2）端點的函數(shù)值同號時不能判斷在此區(qū)間有沒有零點。教師：那么又如何加以解決此問題呢？下節(jié)課我們將會處理這個問題。設(shè)計意圖：在互相交流、對話合作的數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生積極思考、主動理解，同時充分暴露他們理解上的缺陷，教師的適時點撥，又可以引導(dǎo)學(xué)生重新思考一些理解不到位的知識，加深對概念的認識，同時又為下節(jié)課埋下伏筆。二、教學(xué)啟示

1、從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計問題5美國心理學(xué)家布魯納指出：“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動，思維永遠是從問題開始?！痹谡n堂教學(xué)中，我們要從學(xué)生現(xiàn)有的知識水平和經(jīng)驗出發(fā)，設(shè)計出的問題學(xué)生經(jīng)過努力可以解決，在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者考慮到學(xué)生已具備了一元一次方程、一元二次方程知識，故情境設(shè)置時設(shè)計了2個小問題。對于過難得問題要設(shè)計合適的過渡問題，由淺入深，分層推進，螺旋上升。對于本節(jié)課中問題1、問題2筆者都分層設(shè)計了3個小問題，層層遞進，問題驅(qū)動，較好地完成了教學(xué)目標，收到了很好的教學(xué)效果。2、圍繞舊知與新知的銜接點設(shè)計問題

新知識都是從舊知識發(fā)展而來的，新舊知識之間既有相通的地方，又有不同之處，而這種不同點往往正是知識的發(fā)展和提高，所以教學(xué)要抓住新舊知識間的銜接點，設(shè)計出有效的問題，引起學(xué)生的認知沖突，激發(fā)學(xué)生的探究和興趣。本節(jié)課從情境設(shè)置到問題1、問題2的提出都引起了學(xué)生的認知沖突，學(xué)生的主動參與，增添了教學(xué)的色彩。3、從問題間的內(nèi)在聯(lián)系和順序結(jié)構(gòu)設(shè)計問題

數(shù)學(xué)思維的核心是邏輯思維，教師提出的問題也要具有邏輯性，要層層遞進，體現(xiàn)出知識的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)計的問題既要反映知識生成背景，又要符合學(xué)生的認識規(guī)律和知識的形成規(guī)律，只有問題間自然過渡，才能使學(xué)生的思維能夠延續(xù)，更容易激發(fā)學(xué)生思維的興奮點。本節(jié)課通過問題的引領(lǐng)發(fā)現(xiàn)可以利用函數(shù)圖像來解決一些方程解的問題，但有些函數(shù)圖像又畫不出來形成認知沖突，自然聯(lián)想利用電腦軟件畫函數(shù)圖像處理，通過設(shè)問又到不利用電腦軟件畫圖像又如何判斷方程的解，問題間過渡自然，易激發(fā)學(xué)生思考。4、為促進學(xué)生思維發(fā)展設(shè)計問題

教學(xué)實踐證明，并不是所有的問題都能引起學(xué)生思考，那種僵化的、形式的“呈現(xiàn)式”的問題只能使學(xué)生應(yīng)付性的回答，并不能啟發(fā)學(xué)生的思考。問題過大、過難，會造成學(xué)生無從下手，教師啟而不發(fā)，問題過小、過碎，學(xué)生思