2023年函數(shù)的定義域與值域知識(shí)點(diǎn)與題型歸納

尚利節(jié)-I掰艇處嶼值域

?高考明方向

了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡樸函數(shù)的定義域

和值域.

★備考知考情

定義域是函數(shù)的靈魂,高考中考察的定義域多以選

擇、填空形式出現(xiàn)，難度不大；有時(shí)也在解答題的某一小

問當(dāng)中進(jìn)行考察；值域是定義域與相應(yīng)法則的必然產(chǎn)

物，值域的考察往往與最值聯(lián)系在一起，三種題型都

有，難度中檔.

一、知識(shí)梳理《名師一號(hào)》P13

知識(shí)點(diǎn)一常見基本初等函數(shù)的定義域

注意：

1、研究函數(shù)問題必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則！?。?/p>

2、定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式！!!

(1)分式函數(shù)中分母不等于零

(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R

(4)j=av(tz>0且a#1),j=sinx,y=cosx的定義域

均為R

(5)j=log?x(a>0且a彳1)的定義域?yàn)?0,+oo)

(6)函數(shù)f(x)=x°的定義域?yàn)椋鹸|x邦｝

⑺實(shí)際問題中的函數(shù)定義域，除了使函數(shù)的解析式故意

義外，還要考慮實(shí)際問題對函數(shù)自變量的制約.

(補(bǔ)充)

三角函數(shù)中的正切函數(shù)7=1211X定義域?yàn)?/p>

冗

+—,A：GZ｝

2

假如函數(shù)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，

那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都故意義的實(shí)數(shù)集合.

知識(shí)點(diǎn)二基本初等函數(shù)的值域

注意：

值域必須寫成集合或區(qū)間的形式！?。?/p>

（1）y=Mx+仇的））的值域是R.

（2）y=ax2+bx+c（存0）的值域是：

當(dāng)。>0時(shí),值域?yàn)閧y眸錯(cuò)誤!};

當(dāng)a<0時(shí),值域?yàn)閧ylyW錯(cuò)誤!}

（3）y=\f（V）（%的值域是{yI存0}

（4）y=ax（a>0且存1）的值域是{y,>0}

（5）y=1ogaX（a>0且a#1）的值域是R.

（補(bǔ)充）三角函數(shù)中

正弦函數(shù)產(chǎn)sin余弦函數(shù)y=cosx的值域均為

正切函數(shù)y=tanx值域?yàn)镽

《名師一號(hào)》P15

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=八工)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)〃滿足

①對于任意X€/,都有①對于任意xe/,都有

條件

②存在飛￡/,使得/(%)②存在使得/(%)

=M二M

結(jié)論M為最大值M為最小值

注意：《名師一號(hào)》P16問題探究問題3

函數(shù)最值與函數(shù)值域有何關(guān)系？

函數(shù)的最小值與最大值分別是函數(shù)值域中的最小元

素與最大元素；任何一個(gè)函數(shù)，其值域必然存在，但其最

值不一定存在.

1、溫故知新P11知識(shí)辨析1(2)

函數(shù)”素?的值域?yàn)椤惨?)

答案：對的

2、溫故知新P11第4題

2x-l-2,xe(-oo,21

函數(shù)y=的值域?yàn)?)

21t-x-2,xe(-oo,2)

A.--1,+oojB.(-OO,O)n(-2,o]

答案:D

注意:牢記基本函數(shù)的值域

3、溫故知新P11第6題

函數(shù)y=/(x)的值域是[1,3],則函數(shù)網(wǎng)x)=l-2/(x+3)

的值域是()

A.[-5,-l]R[-2,0]C.[-6,-2]￡>.[1,3]

答案：A

注意:圖像左右平移沒有改變函數(shù)的值域

二、例題分析:。

(-)函數(shù)的定義域

1.據(jù)解析式求定義域

例1.(1)《名師一號(hào)》P13對點(diǎn)自測1

(2023?山東)函數(shù)/(x)=11,的定義域

2

^/(log2x)-l

為()

A.錯(cuò)誤！B.(2,+oo)

C.錯(cuò)誤！U(2,+8)D.錯(cuò)誤！U[2,+oo)

解析要使函數(shù)故意義，應(yīng)有(log加)2>1,且x>

即lOg2X>l或10g2X<—1,

解得x>2或0<xV錯(cuò)誤!.

所以函數(shù)/G)的定義域?yàn)殄e(cuò)誤！U(2,+oo).

例1.(2)《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例1(1)

函數(shù)/(x)=V7=錯(cuò)誤!的定義域?yàn)?)

A.(-3,0]B.(-3,1]

C.(—oo,—3)U(—3,0]D.(-oo,-3)U(—3,1]

解析：由題意得錯(cuò)誤!解得-3<爛0.

注意：

《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例1規(guī)律方法(1)

求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算故

意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解

集.

函數(shù)的定義域一定要用集合或區(qū)間表達(dá)

例2.(補(bǔ)充)

若函數(shù)/(*)=lg(or2+2x+l)的定義域?yàn)镽

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;

答案：(1,小)

變式：/(x)=lg(ar2+2ax+1)?

練習(xí)：(補(bǔ)充)

kx-4-7

若函數(shù)/(x)=「，一的定義域?yàn)镽

區(qū)2+4左x+3

則實(shí)數(shù)A的取值范圍是

答案：o,1j

2.求復(fù)合函數(shù)的定義域

例3.(1)《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例1(2)

(2023?北京模擬)已知函數(shù)y=_/U)的定義域?yàn)閇0,

4],則函數(shù)產(chǎn)/(2x)—In(x-1)的定義域?yàn)?)

A.[l,2]B.(1,2]C.[l,8]D.(l,8]

解析:由已知函數(shù)y=/G)的定義域?yàn)閇。,4].

則使函數(shù)7=大2幻一In(x-l)故意義，需

錯(cuò)誤!解得IV爛2,所以定義域?yàn)?1,2].

例3.(2)《名師一號(hào)》P13對點(diǎn)自測2

已知函數(shù)f(x)=土■，則函數(shù)/(/(X))的定義域是

()

A.{x|x#-1}B.{x|#一2}

C.{*|存-1且#-2}D.{工嚀-1或x,—2}

解析錯(cuò)誤!解得存T且x#2.

注意：

《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例1規(guī)律方法(2)

(P13問題探究問題1類型二)

已知Ax)的定義域是3砥求/[g(x)]的定義域，

是指滿足a<g(x)<b的x的取值范圍，

而已知危(x)]的定義域是[a,b],指的是b].

例4.(補(bǔ)充)已知/(1+1)的定義域是［0』］,求

/(-V)

的定義域。

答案：［1,2］

注意：《名師一號(hào)》P13問題探究問題1類

型三

若已知/［g(x)］的定義域?yàn)榭?，?(x)的

定義域相稱于當(dāng)xw［a,可時(shí)，求g(x)的值域

(即/(x)的定義域)

練習(xí)：(補(bǔ)充)

已知/(x)的定義域是［0,1］,求函數(shù)g(x)=/(x2)的定

義域。

已知g(x)=/(X2)的定義域是[—1,1],求函數(shù)/(X)的

定義域。

如：/(X)=Jx(l—x)的定義域是[0,1],

g(x)=/(/)=的定義域卜1』

練習(xí)：(補(bǔ)充)

1+X

1、設(shè)函數(shù)/(x)=ln——

1-x

求函數(shù)g(x)=f(g

+/-的定義域。

\2

321

-1<—<1

答案：《；得(-2,—l)U(l,2)

—1<一<1

X

2、設(shè)函數(shù)，（必一2%—3）的定義域?yàn)閇0,3],求函數(shù)

/（x）的定義域。

答案：*6[0,3]得，一2%-3?-1,0]

3.實(shí)際問題中函數(shù)定義域的擬定

注意：

實(shí)際問題中函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式故意義

外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題故意義

（二）求函數(shù)值域

法毒；或褊破的值成先求發(fā)義域/

（1）擬定函數(shù)值域的原則

①當(dāng)函數(shù)y=/U）用表格給出時(shí)，

函數(shù)的值域是指表格中y的值的集合.

②當(dāng)函數(shù)y=/(x)的圖象給出時(shí)，

函數(shù)的值域是指圖象在j軸上的投影相應(yīng)的y的

值的集合.

③當(dāng)函數(shù)產(chǎn)Ax)用解析式給出時(shí)，

函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其相應(yīng)法則唯一擬

定.

④當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問題給出時(shí)，

函數(shù)的值域應(yīng)結(jié)合問題的實(shí)際意義擬定.

(2)基本初等函數(shù)的值域

(3)求函數(shù)值域的方法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),它沒有固定的方法

和模式.常用的方法有：

《名師一號(hào)》P14問題探究問題2

如何求解函數(shù)的值域？

求函數(shù)值域的基本方法

(1)觀測法:一些簡樸函數(shù)，通過觀測法求值域.

⑵配方法:“二次函數(shù)類”用配方法求值域.

⑶換元法：形如y=ax+b±\cx+d(a、b、c、d均為常

數(shù)，且存0)的函數(shù)常用換元法求值域，形如y=ax

+亞F的函數(shù)用三角函數(shù)代換求值域.

(4)分離常數(shù)法:形如y=錯(cuò)誤!3邦)的函數(shù)可用此法求值

域.

⑸單調(diào)性法:函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù),

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷其增減性進(jìn)而求最值和值域.

⑹數(shù)形結(jié)合法:畫出函數(shù)的圖象，找出坐標(biāo)的范圍或分析

條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍.

《名師一號(hào)》P17高頻考點(diǎn)例3規(guī)律方法(3)、

(4)

基本不等式、導(dǎo)數(shù)法

例L《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例2(1)

求函數(shù)y=4-V3+2X-X2的值域

答案：［2,4］

小結(jié)：求函數(shù)值域的基本方法

1.配方法：《名師一號(hào)》P14問題探究問題

(2)

——配方法是求“二次型函數(shù)”值域的基本方法，形

如F(x)=af2(x)4-Z>f(x)+c的函數(shù)的值域問題，均可使

用配方法,要特別注意自變量的范圍；

二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值有兩類：

(1)求閉區(qū)間［帆,可上的最值；

(2)求區(qū)間定(動(dòng))，對稱軸動(dòng)(定)的最值

—二次函數(shù)專題

例2.(1)(補(bǔ)充)

2

求函數(shù)y=(log2x)-log2x+5,xc的值域

42

答案：[7』1]

例2.(2)《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例2(2)

求函數(shù)產(chǎn)2”木石的值域

方法1：令\r(l-2x)=t(侖0),則x

=\fCl~t2,2).

一/=.錯(cuò)誤!2+錯(cuò)誤!.

?..二次函數(shù)對稱軸為U-錯(cuò)誤!，

...在[。，+00)上,y=■■錯(cuò)誤!？+錯(cuò)誤!是減函數(shù).

故_Xmax=-錯(cuò)誤!?+錯(cuò)誤!=1,

故函數(shù)有最大值1,無最小值，其值域?yàn)?一叫1].

方法2:<y=2x與均為定義域上的增

函數(shù)，故尸2*-/五是定義域?yàn)椋鹸|xW錯(cuò)誤!｝上的增

函數(shù)，故ymax=2x\f(l,2)-錯(cuò)誤!=1,無最小值.

故函數(shù)的值域?yàn)?/p>

變式:求函數(shù)y=2x+Vl-2x的值域

分析：令￡=Jl-2x“20)

答案：,8,(

形如y=ax+任錯(cuò)誤!（a、b、c、d均為常數(shù)，且aWO）的

函數(shù)

令l=+使之變形為二次函數(shù)

例2.（3）（補(bǔ)充）

求函數(shù)y=x+Jl—*2的值域

分析：4-x=sinZ

答案：［一1,加］

h__

練習(xí):求函數(shù)7=受+/二5的值域

分析:令x=Gsin"一色《，＜生

I22）

答案：

小結(jié)：求函數(shù)值域的基本方法

2.換元法：《名師一號(hào)》P14問題探究問題（3）

運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易擬定

的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.

例如：

形如j=ax+b±\r（cx+t/）（a、b、c、d均為常數(shù)，且a

邦）的函數(shù)

令t=y/cx+d，使之變形為二次函數(shù)

對于含y/a2-x2結(jié)構(gòu)的函數(shù),可以運(yùn)用三角代換，

令x=acos令6e[0,7u\,

或令x=asin6,6G——轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)

_22_

搬惆；換先后要超定新元的取值范④/

例3.(1)《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例2⑶

4

求函數(shù)y=x+—的值域

x

例3.(2)(補(bǔ)充)

3x

求函數(shù)y=(x<0)的值域

X2+X+1

3x

—1—(x<0)

X~+X+1XH----F1

X

11

?/x+—<-2x+—+41<-1

XX

-3<——<0

XH----F1

X

答案:13,0）

變式1：求函數(shù)y=一的值域

x+x+1

答案：［一3,1］

3（x+l）

變式2：求函數(shù)y=的值域

x2+3x+3

答案：［—3,0)

小結(jié)：求函數(shù)值域的基本方法

3.不等式法：

《名師一號(hào)》P17高頻考點(diǎn)例3規(guī)律方法(3)

運(yùn)用基本不等式：a+b>2\r(ab)(as)WR+)求函數(shù)的值

域.

用不等式法求值域時(shí)，要注意均值不等式的使用條件

“一正、二定、三相等”.

+5

例4.(1)(補(bǔ)充)求函數(shù)y=-)-的值域

5/X2+4

「51

答案：4,+00

_2)

例4.(2)求函數(shù)y=2x—Jl—2%的值域

(前面換元法已講解)

答案:（-<?/］

小結(jié)：求函數(shù)值域的基本方法

4.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性：《名師一號(hào)》P14問題探究問

題⑸

根據(jù)函數(shù)在定義域（或定義域的某個(gè)子集）上的單調(diào)性求

出函數(shù)的值域.

（補(bǔ)充）注意雙勾函數(shù)/（X）=X+夕兒〉0）的單調(diào)性！

函數(shù)在區(qū)間（0,、后］單調(diào)遞減；

函數(shù)在區(qū)間［4k,+oo）單調(diào)遞增.

例5.（1）溫故知新P11知識(shí)辨析1（2）

函數(shù)y=高的值域?yàn)?-8,ju（；,+81）

答案:對的

1_9r

例5.（2）（補(bǔ)充）求函數(shù)f（x）=亍言的值域.

值域{引＞#_2}

小結(jié)：求函數(shù)值域的基本方法

5.分離常數(shù)法：《名師一號(hào)》P14問題探究問題（5）

形如）=豐°）的函數(shù)的值域可使用此法

練習(xí)：1、=2、=

V72x+5-1+2X

x~14x—5

3、小)=

x~—3x—4

答案：1、2X(-1,1)

(x-5)(x+l)x-5

(x豐4且*豐-1)

(x-4)(x+l)x-4

巾。1且尸|

例6.《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例2(4)

求函數(shù)一的值域

3*+1

法一：換元十分離常數(shù)法

※法二：運(yùn)用函數(shù)有界性

由曠=錯(cuò)誤!，得3"=錯(cuò)誤!.

:3*>0,.,.錯(cuò)誤！>0,0<y<1.

???原函數(shù)的值域?yàn)椋ā＃?）,無最值.

1一2”

變式1：（補(bǔ)充）求函數(shù)/（月二三全的值域

答案：（-1,1）

法一：換元+分離常數(shù)法

※法二：運(yùn)用函數(shù)有界性

變式2:（補(bǔ)充）求函數(shù)/（x）=上四"的值域

1+sinx

答案：［0,+8）

法一:換元+分離常數(shù)法

※法二:運(yùn)用函數(shù)有界性

小結(jié)：求函數(shù)值域的基本方法

派6.函數(shù)有界性法：(補(bǔ)充)

直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以運(yùn)用已學(xué)過的函數(shù)的有

界性，來擬定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)、

指數(shù)函數(shù)的有界性。

例7.(1)《計(jì)時(shí)雙基練》P215第9題

>0),

定義運(yùn)算：：例如：

J(孫<0)，

3A4=3,(-2)A4=4,則函數(shù)—必)

的最大值為

答案：4

?《名師一號(hào)》P15特色專題典例

已知函數(shù)/(x)=x2—2(?+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a

—2)*—〃+8.設(shè)7/1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=

min{/(x),g(x)}(max{p,q}表達(dá)p,q中的較大值,

min{p,q}表達(dá)p,q中的較小值).記/yi(x)的最小值為A,

”2(6的最大值為B,則4-8=()

A.a2-2a—16B.a2+2a—16C.-16D.1

6

【規(guī)范解答】/(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2,-

4a—4),g(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a-2,-4a+12),

并且門幻與gG)的圖象的頂點(diǎn)都在對方的圖象上，如

圖所示M(x)的最小值是A=-4a—4,”2(x)的最大值是

S=-4a+12,所以A—5=(-4a-4)-(—4a+12)=-16.

【名師點(diǎn)評】

本題應(yīng)是一道難度較高的題目，是對學(xué)生思維能力的一個(gè)

考驗(yàn),但通過數(shù)形結(jié)合很容易求解，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)認(rèn)真體會(huì)數(shù)

形結(jié)合這種思想在特定情景下的神奇.

a{a<b)

練習(xí)：(補(bǔ)充)定義運(yùn)算a十8=〈,

b(a>b)

求函數(shù)/(x)=(2x+1；^(-x2+1)的值域

答案：(7』］

小結(jié)：求函數(shù)值域的基本方法

7.數(shù)形結(jié)合法：《名師一號(hào)》P14問題探究問題

(6)

當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可作時(shí)，通過圖象可求其值域和最值;

或運(yùn)用函數(shù)所表達(dá)的幾何意義,借助于幾何方法求出函數(shù)

的值域.

(補(bǔ)充)如兩點(diǎn)間距離、直線斜率等等

例7.(2)(補(bǔ)充)求函數(shù)了=汕±±1的值域

2cosx-4

4^sinx+-^j

sinx-

=2*--------可視作單位圓外一點(diǎn)

'2（cosx-2）cosx-2

(1、

P2,--與圓*2+/=1上的點(diǎn)(cosx,sinx)所連線

(1、

段斜率的2倍，設(shè)過點(diǎn)尸2--的點(diǎn)的直線方程為

I

y+；=4（x_2）即4%_）_2欠_；=0

2JI+-

令?/4|=i解得左=一之或％=上

ViTF412

35

答案:

256

練習(xí)：求函數(shù)y=f°sx-lxe[o,句的值域

sinx-2L」

4

答案：0,-

_3_

變式:求函數(shù)y=9°SX-l“J一生生]的值域

sinx-22,2

答案:吟

例7.（3）（補(bǔ)充）

求函數(shù)y=A/X2—6x+13+Vx2+4x+5的值域

y=J（x-3）2+（0-2）2+J（x+2）2+（o+i）2=|如㈤?同

其中尸（x,0）,A（3,2）,3（—2,—1）

答案：［后,+oo）

變式:求函數(shù)y=-6x+13-7x2+4x+5的值域

答案:卜后，而］

y=7（X-3）2+（0-2）2-7（X+2）2+（0-1）2=|PA|-|Pfi|

其中尸（x,0）,A（3,2）,3（—2,1）

注意：

求兩點(diǎn)距離之和時(shí),要將函數(shù)式變形,使兩定點(diǎn)在x軸的

兩側(cè)；

求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在x軸的

同側(cè)。

例8.(1)(補(bǔ)充)

求函數(shù)/(x)=x-sinxxe—,71：的值域.

2

冗I

答案：——

2

例8.(2)(補(bǔ)充)

求函數(shù)/(x)=3+xlnxxe的值域.

答案：3—,3

_e_

小結(jié)：求函數(shù)值域的基本方法

8.求導(dǎo)法：《名師一號(hào)》P42知識(shí)點(diǎn)三

《名師一號(hào)》P44問題探究問題

(3)

當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可根據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值擬定

值域

注意：(補(bǔ)充)

(1)準(zhǔn)確純熟記憶求導(dǎo)公式與法則

(2)一般地，假如在區(qū)間［a,句上的函數(shù)y=/(x)

的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最

小值.

一般地,求函數(shù)y=/(x)在［a,b］上的最大值與最小值

的環(huán)節(jié)為：

(1)求［=/(%)在區(qū)間可內(nèi)極值.

⑵將函數(shù)J=/(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值

f(a)、/S)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，

最小的一個(gè)最小值.

一般地，假如在區(qū)間［a,句上的函數(shù)y=/(x)

極值存在且唯一，那么它必是相應(yīng)的最值

(即極大值為最大值,極小值為最小值).

練習(xí):求函數(shù)/(x)=ln(l+x)-；x2在［o,2］上的值域.

11

11.

令--------x=0得*2+2—2=()

1+x2

X=—2(舍去)或x=l

當(dāng)0<％<l時(shí),f(x)>0,〃x)單調(diào)遞增

當(dāng)1<%42時(shí),/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減

f（l）=ln2-；為極大值，極大值存在且唯一,最大值

又/（0）=0，/（2）=出3-1＞。

所以值域?yàn)?,ln2—!-

4

A*2—x+3

例9.(補(bǔ)充)求y=:*+：的值域

X-X4~1

答案:降

另法：分離常數(shù)法

小結(jié)：求函數(shù)值域的基本方法

※?.判別式法：（補(bǔ)充）

形如y=+不同時(shí)為0）的函數(shù)可用判別

a^x+b2x+c2

式法求其值域.在由ANO且a（y）#0,求出），的值后，要

檢查這個(gè)最值在定義域內(nèi)是否有相應(yīng)的%的值

注意：

只合用于定義域?yàn)镽且分子、分母沒有公因式的情形！

注意：

①y=-^-7型,可直接用不等式性質(zhì).

A+x

如求y=-2=的值域(答案：((),事)

2+x2(2]

②”十如一和尸產(chǎn)*+〃,型,先化簡，

x+mx+〃+mx+n

再用基本不等式或雙鉤函數(shù)

3X

如例3：求.丫=的值域

X+X+1

例3變式2：求函數(shù)y=3(%<T)的值域

2''

③y=x+MX+”型,通常用判別式法也有的可通過度

x+mx+n

離常數(shù)法解決

如例9:求尸：7+：的值域

X-X+1

2,

①y=X+MX+"型,與類型②類似，可用判別式法或

mx+n

基本不等式

(三)函數(shù)值域的簡樸綜合

例10.《名師一號(hào)》P17高頻考點(diǎn)例3(1)

假如函數(shù)f(x)對任意的實(shí)數(shù)X,都有f(l+x)=f(-x)，且

當(dāng)xN\f(1,2)時(shí)，f(x)=log2(3x—1),那么函數(shù)/

(幻在［-2,0］上的最大值與最小值之和為()

A.2B.3C.4D.-1

解析：根據(jù)f(1+x)=/(―x),

可知函數(shù)Ax)的圖象關(guān)于直線x對稱.

又函數(shù)/(x)在錯(cuò)誤!上單調(diào)遞增，

故/U)在錯(cuò)誤!上單調(diào)遞減，

則函數(shù)外幻在［-2,0］上的最大值與最小值之和為

/(-2)+/(0)=/(1+2)+/(1+0)

=〃3)+f(1)=log28+log22=4.

給定函數(shù)的值域,求參數(shù)的取值(范圍)

例11.(1)《名師一號(hào)》P17高頻考點(diǎn)例3(2)

即P14變式思考2(3)

函數(shù)/(x)=錯(cuò)誤!在區(qū)間［。，們上的最大值是1,最小值是

錯(cuò)誤!，則a+8=.

解析:知人x)在［a,加上為減函數(shù)，

錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤！.?.錯(cuò)誤！

:.a+b=6.

例11.(2)《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例3

已知二次函數(shù)f(.x)=ax2+bx(a^b是常數(shù)，且

存0)滿足條件：/(2)=0,且方程f(x)=x有兩個(gè)相等實(shí)根.

(1)求/U)的解析式;

(2)是否存在實(shí)數(shù)nisn(6<〃),使/(x)的定義域

和值域分別為和[2肛2〃]?如存在，求出m.n的

值;如不存在，說明理由.

解析：

⑴方程，即ax2+》x=x，亦即ax2+(b—l)x=

0,

由方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，得/=(小1)2—4ax0=

0,

.?2=1.①

由彤)=0,得4a+28=0.②

由①'②得，a=-\f(l,2),6=1,

故/(x)=-錯(cuò)誤!x，x.

⑵假設(shè)存在實(shí)數(shù)⑶〃滿足條件，由⑴知,

f(x)=-\f(1,2)^+x=-4~(x-1)2+錯(cuò)誤！w

1

V

則2錯(cuò)誤!,即正錯(cuò)誤!.

,?-/(X)=-1(》一1尸+錯(cuò)誤!的對稱軸為x=1,

,■.當(dāng)時(shí)，/U）在［孫上為增函數(shù).

于是有錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤！

上錯(cuò)誤!又，"＜，出錯(cuò)誤！，二錯(cuò)誤！

故存在實(shí)數(shù)，"=-2,〃=0,

使〃幻的定義域?yàn)椋?,〃］,值域?yàn)椋?6,2〃］.

注意：《名師一號(hào)》P14高頻考點(diǎn)例3規(guī)律方法

①對既給出定義域又給出解析式的函數(shù)，可直接在定義域

上用相應(yīng)方法求函數(shù)值域.

②若函數(shù)解析式中具有參數(shù)，要注意參數(shù)對函數(shù)值域的影

響，即要考慮分類討論.

③可借助函數(shù)圖象擬定函數(shù)的值域或最值.

練習(xí)：

已知函數(shù)/（*）=仆2+（勿一1）%—3（“。0）在區(qū)間

-3,2上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值。

_2_

解析：

充足運(yùn)用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值必在對稱軸或區(qū)間

端點(diǎn)取得這一結(jié)論求解

解:函數(shù)/（%）=如2+（2°-1）%-3（a#0）的最大值必

陽=-=或％=2或?qū)ΨQ軸與=匕”處取得

22a

（、

⑴令/一3三=1,解得4=—1吧0，

（23

1—2。23

此時(shí)x（）一e

2a20

3

故/（x）的最大值不也許在芭=-萬處取得

3

（2）令/（2）=1,解得

1—2。1-22

此時(shí)％=---G

2a32'

--+2

1一2。1

且X。=一一＜2_

2a32

3/

故。=1時(shí)，/（X）取得最大值1

fl-2a

(3)令/=1,解得4=二3±2五,

2a2

1-7/7

要使/(X)在X。=上*處取得最大值1

2a

1—2a

須且只須a<0且x°=^——￡--2

2a2’

一3+2行

經(jīng)檢查,只有4=7合題意

2

綜上所述，或4=13+2血

42

練習(xí)：已知函數(shù),/1(x)=lg(ax2—2x+a)

(1)若/(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若/(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

答案：(1)(1,+00)(2)[0,1]

變式：已知函數(shù)/(x)=lg(ax2-2ax+l)

(1)若/(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若/(%)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值

求函數(shù)/(%)=必一見—1在區(qū)間［0,2］上的最值

3-4aa<1

答案：/(x)s=

—1Q21

-1?<0

2

/(x)nijn=］-l-a0<a<2

3-4。a>2

變式：若函數(shù)/(工廠爐-2or-l在區(qū)間［0,2］上的最

小值為-7,求a的取值。

…5

答案：a~~z

2

解法一：

-1a<0

分析:求得/(x)m,n=，T—Q20<a<2

3—4aa>2

逐段代入求解

解法二：

分析：

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值必在對稱軸或區(qū)間端點(diǎn)取得

(1)令/⑼=—7,不合

故“X)的最小值不也許在西=()處取得

⑵令/⑵=—7,解得a=

此時(shí)須對稱軸x0=a=g>2

故時(shí)，/(x)取得最小值一7

(3)令/(°)=一7,解得4

要使〃在%=a處取得最小值-7

須且只須且Xo=ae[0，2]

不合題意

綜上所述，?=1

課后作業(yè)

一、計(jì)時(shí)雙基練P215基礎(chǔ)1-9、P214培優(yōu)1-4

二、計(jì)時(shí)雙基練P215基礎(chǔ)1071、培優(yōu)1—3

課本P14變式思考K2;

相應(yīng)訓(xùn)練1、2

補(bǔ)充：

練習(xí)：

h__

練習(xí)1：求函數(shù)+的值域

分析：令x=6sinf,

I22)

答案：[一1,2]

3x

練習(xí)2：求函數(shù)y=f--------的值域

x+x+1

答案：

3(x+l)

變式：求函數(shù)y=(x<—1)的值域

x2+3x+3

答案:[-3,0)

1-Y1-2X

/(%)=

練習(xí)