第三章線形系統(tǒng)時域分析第八講

第三章線形系統(tǒng)時域分析第八講1第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.5線形定?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。對分析系統(tǒng)的各類性能指標(biāo)，必須在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)行。解決的問題：如何判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施

第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.5.1穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1、基本概念

控制系統(tǒng)在運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的干擾，例如，負(fù)載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境改變等，這些因素總是存在的。如果系統(tǒng)設(shè)計時不考慮這些因素，設(shè)計出來的系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，那就需要重新設(shè)計，或調(diào)整某些參數(shù)或結(jié)構(gòu)。

穩(wěn)定：

設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動撤消后，系統(tǒng)是否能回到原來的平衡狀態(tài)，這就是穩(wěn)定性問題。仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性.

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)(見后分析)。第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三穩(wěn)定性研究的問題：

擾動作用去除后系統(tǒng)的運動情況，它與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)，只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)或特征。因而可用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述。系統(tǒng)最終能回到平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性稱為漸近穩(wěn)定性，是線形定常系統(tǒng)的一種特性。本書討論的穩(wěn)定性問題如不加說明，均指漸近穩(wěn)定。第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三如果系統(tǒng)脈沖響應(yīng)是收斂的，即有表示系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可知，系統(tǒng)的穩(wěn)定與其脈沖響應(yīng)函數(shù)的收斂是一致的。

系統(tǒng)仍能回到原來的平衡狀態(tài)單位脈沖函數(shù)的拉氏反變換等于1，所以系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏反變換。

令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有q個實數(shù)極點和r對復(fù)數(shù)極點，則式(3-46)可改寫為：注：q+2r=n

2、穩(wěn)定的充要條件第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三用部分分式展開

拉式反變換，得系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為：

閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面或具有負(fù)實部。系統(tǒng)穩(wěn)定不穩(wěn)定系統(tǒng)

充要條件要有一個正實根或一對實部為正的復(fù)數(shù)根。系統(tǒng)響應(yīng)曲線發(fā)散

第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三若有部分極點位于S平面虛軸上，出現(xiàn)臨界穩(wěn)定狀態(tài)，從李氏理論上講是穩(wěn)定的。但在工程中認(rèn)為是不穩(wěn)定。工程上一般阻尼比取0.4-0.8，調(diào)整時間達(dá)到一定值.

第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三一個在零輸入下穩(wěn)定的系統(tǒng)，會不會因某個參考輸入信號的加入而使其穩(wěn)定性受到破壞？？單位階躍函數(shù)

分析(3-47)穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量瞬態(tài)分量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定

參考輸入一個在零輸入下的穩(wěn)定系統(tǒng)，在參考輸入信號作用下仍將繼續(xù)保持穩(wěn)定。

衰減第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)(Routh’sstabilitycriterion)（重點）

1勞斯表線性系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)特征方程式的根必須都位于S的左半平面。

充要條件穩(wěn)定判據(jù)

令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為如果特征方程式的根都位于S的左半平面（即：有負(fù)實部），則其特征方程式的各項系數(shù)均為正值，且無零系數(shù)。證明設(shè)為實數(shù)根，為復(fù)數(shù)根

不會有系數(shù)小于零或等于的項線性系統(tǒng)穩(wěn)定必要條件第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三將各項系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三這樣可求得n+1行系數(shù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號的變化，去判別特征方程式的根在S平面上的具體分布情況，過程如下：如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（前提條件：特征方程式的系數(shù)都大于零，且不缺項）如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=1127124635710(6-14)/1=-8-8412勞斯表介紹勞斯表特點2每兩行個數(shù)相等1右移一位降兩階（奇、偶）3行列式第一列不動4次對角線減主對角線5分母總是上一行第一個元素6一行可同乘以或同除以某正數(shù)ε7127

-8ε7第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:有正有負(fù)一定不穩(wěn)定!缺項一定不穩(wěn)定!系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件:勞斯表第一列元素不變號!若變號系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號的次數(shù)為特征根在s右半平面的個數(shù)!特征方程各項系數(shù)均大于零!-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎？第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為例3-5試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表如右：該表第一列系數(shù)符號不全為正，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；且符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面或者說有兩個正實部的根。第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為

例3-6求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：列勞斯表由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值?？傻茫旱?5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三勞斯判據(jù)特殊情況

勞斯表某一行中的第一項元素等于零，而該行的其余各項不等于零或沒有其余項的情況。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在（出現(xiàn)臨界穩(wěn)定情況），相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定是以一個很小的正數(shù)來代替為零的這項1解決的辦法：據(jù)此算出其余的各項，完成勞斯表的排列請看例題第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3-7由于表中第一列上面系數(shù)的符號與其下面系數(shù)的符號相同，表示該方程中有一對共軛虛根存在-j,+j，相應(yīng)的系統(tǒng)為（臨界）穩(wěn)定，實際上屬于不穩(wěn)定。解：列勞斯表如右第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三勞斯表中出現(xiàn)全零行

則表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。這種情況可用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式（方程），并以這個輔助多項式（方程）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)全為零的行。完成勞斯表的排列。2解決的辦法這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。請看例題第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三例:一個控制系統(tǒng)的特征方程為

列勞斯表顯然這個系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。

第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.5.2.3勞斯判據(jù)的應(yīng)用實際系統(tǒng)中，一般希望根距離S左半平面的虛軸有一定的距離。為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)，它的所有根中最靠近虛軸的根距離虛軸的距離，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。代入原方程式中，得到以

穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體值。也不能保證系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能。換句話說，勞斯判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在S平面上相對于虛軸的距離。12解決的辦法設(shè)右側(cè)。請看例題第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.5.2.3勞斯判據(jù)的應(yīng)用用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線的右方。

例3-8解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三令代入特征方程：式中有負(fù)號，顯然有根在的右方。列勞斯表來看，如右：第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線的右方。請看例題第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-21所示，試回答

例3-9時，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

圖3-21單位反饋控制系統(tǒng)方塊圖時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？

列勞斯表如右

第一列均為正值，特征方程的根全部位于左半平面，故閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:解：

系統(tǒng)穩(wěn)定第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)特征方程為

列勞斯表第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個或兩個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值

第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及計算系統(tǒng)穩(wěn)定是前提

控制系統(tǒng)的性能

動態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差可以避免嗎？

？在階躍函數(shù)作用下具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)。摩擦，不靈敏區(qū)，零位輸出等非線性因素

輸入函數(shù)的形式不同(階躍、斜坡、加速度)無差系統(tǒng)：有差系統(tǒng)：在階躍函數(shù)作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，也叫無差度系統(tǒng)。本節(jié)主要討論沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法系統(tǒng)結(jié)構(gòu)--系統(tǒng)類型不同的輸入函數(shù)作用下,本書第8章介紹回答：不可避免，因為

第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三圖3-22控制系統(tǒng)框圖3.6.1穩(wěn)態(tài)誤差的定義

誤差：被控量的希望值與實際值的差。即：穩(wěn)態(tài)誤差：誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量，記：

與的關(guān)系：定義：時，被控量的值就是系統(tǒng)的希望值。定義當(dāng)時誤差與偏差的關(guān)系：穩(wěn)態(tài)分量反應(yīng)了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三圖3-22控制系統(tǒng)框圖當(dāng)時（單位反饋），偏差信號與誤差信號相同。對于非單位反饋系統(tǒng)，可通過先計算偏差信號，再計算誤差信號。由圖3-22可得誤差傳遞函數(shù)椐終值定理，求穩(wěn)態(tài)誤差（方法一）輸入形式結(jié)構(gòu)形式開環(huán)傳遞函數(shù)公式條件：的極點位于左半平面，或系統(tǒng)穩(wěn)定對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號不變時，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三3.6.2系統(tǒng)（結(jié)構(gòu)）類型SystemType令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為！

系統(tǒng)類型(type)與系統(tǒng)的階數(shù)(order)的區(qū)別定義第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三令

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差終值計算公式則可表示為：分別討論系統(tǒng)在單位階躍、斜坡和加速度函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三階躍信號輸入

令令

(3-63)由(3-65)可知:Staticpositionerrorconstant若要求系統(tǒng)在階躍信號作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)。(3-65)(3-66)第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三斜坡輸入信號作用下：令靜態(tài)速度誤差系數(shù)

Staticvelocityerrorconstant(3-61)要求系統(tǒng)在斜坡信號作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則須選用Ⅱ型及Ⅱ型以上的系統(tǒng)。

其中，(3-67)由(3－68)知：由(3-67)得：第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三加速度信號輸入

令

令(3-61)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

Staticaccelerationerrorconstant由(3-70)知：由(3-69)得：要求系統(tǒng)在加速度信號作用下，不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則須選用Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統(tǒng)。

其中，第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三靜態(tài)位置誤差系數(shù)

靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

誤差系數(shù)類型0型K00Ⅰ型∞K0Ⅱ型∞∞K靜態(tài)速度誤差系數(shù)請記住第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三

系統(tǒng)型