一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系-知識(shí)講解(基礎(chǔ))

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解并掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；能應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2bxc0(a0x，x，1 2那么xx

b c ，xx .1 2 a 12 a注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；(2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于xx的對(duì)稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些1 2重要變形；如：①x2x2(xx)22xx；1 2 1 2 121 1 xx②xx1

1 2；2x x21③xx2x2x xx(xx)；12 1 2 12 1 2x x x2x2

(x

)22xx④x

x

1 xx

1 2 12；xx1 2 12 12⑤(xx)2(xx)24xx；1 2 1 2 12⑥(xk)(x

k)xxk(xx)k2；1 2(xx)21 2⑦|(xx)21 21 2

12 1 2(x(xx)24xx1 2 121 1 x2x2 (xx)22xx⑧

21 2

12；x2 x2 x2x2

(xx)21 2 1 2 12(xx)21 2(xx)2(xx)21 2(xx)24xx1 2 121 2⑩|x1

||x | (|x|(|x||x |)21 2x2x2+2|x2 1x |2(xx)22xx2|x11212x|．1 2已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程；以兩個(gè)為根的一元二次方程.已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號(hào).設(shè)一元二次方程ax2bxc0(a0)xx，則1 2①當(dāng)△≥0xx0時(shí)，兩根同號(hào)．12當(dāng)△≥0x

0，x

0時(shí)，兩根同為正數(shù)；12 1 2當(dāng)△≥0x

0，x

0時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù)．12 1 2②當(dāng)△＞0xx0時(shí)，兩根異號(hào)．12當(dāng)△＞0x

0，x

0時(shí)，兩根異號(hào)且正根的絕對(duì)值較大；12 1 2當(dāng)△＞0x

0，x

0時(shí)，兩根異號(hào)且負(fù)根的絕對(duì)值較大．要點(diǎn)詮釋：

12 1 2b利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱；bb若有理系數(shù)一元二次方程有一根ab

，則必有一根a

（a，b為有理數(shù)．【典型例題】類型一、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用（1）12015秋?定陶縣期末）已知方程x+5﹣3=2設(shè)方程x2+5x﹣3=0的兩根分別為b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2a+2b2a?2b【答案與解析】解：設(shè)方程x2+5x﹣3=0的兩根分別為a、b，則a+b=﹣5，ab=﹣3，∵2a+2b=2（a+b）=2×（﹣5）=﹣10，2a?2b=4ab=﹣12，∴所求的新方程為x2+10x﹣12=0．xx是一元二次方程ax2+bx+c=（a≠0x+x=1 2 1 2﹣，xx=．12舉一反三：【變式】已知方程2x2-3x-3=0的兩個(gè)根分別為a，b，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是a+1，b+1．3 3根據(jù)題意得a+b=2，ab=-2，3 7∴a+1+b+1=a+b+2=2+2=2，（a+1）（b+1）=ab+（a+b）+1=-

3 3++1=1，2 27∴以a+1，b+1為根的一個(gè)一元二次方程為x2-2x+1=0.2.（2016?江西校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的方程mx2+2x﹣1=0有實(shí)數(shù)根．求m若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xx1 2

+ 的值．（1）x的方程mx2+2x﹣1=0時(shí)，為一元二次方程，由判別式△≥可得22﹣4×m×（﹣1）≥0，解此不等式即可求得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x+x﹣，xx﹣，再代入1 2 12【答案與解析】（）分兩種情況：

+ ，計(jì)算即可求解．①m=0時(shí)，原方程即為2x﹣1=0，為一元一次方程，必有實(shí)數(shù)根；②m≠0時(shí)，原方程為一元二次方程．△=22﹣4×m×（﹣1）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1，m≥﹣1綜上可知m≥﹣1；（2）∵x+x=﹣，xx=﹣，1 2 12= =2．【總結(jié)升華】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．舉一反三：x x變式】設(shè)一元二次方程2x2-5x+1=0的兩根分別為x，x，不解方程，求2 1

的值．【答案】

1 2 x x1 252=，xx=，∴5152=，xx=，∴51x22xx21(xx)22xx1 2 12122x212．1xx121 2類型二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用（2）3．已知方程5x2kx602，求另一個(gè)根及k【思路點(diǎn)撥】x＝2k【答案與解析】方法一：設(shè)方程另外一個(gè)根為x，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，1k得x2

，2

6

3，k＝-7．1 5 1 5 1 5方法二：將x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，從而k＝-7．設(shè)另外一根為x1得x21

7x5

3，5故方程的另一根為3，k的值為-7．5根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x

b ，x

cx 易得另一根及k舉一反三：

1 2 a

1 2 a變式（2015秋?泉州校級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2+9k+3x+k=0的一個(gè)根是個(gè)根和k【答案解：由根與系數(shù)的關(guān)系得 ，解得：x=1，k=﹣22故方程的另一個(gè)根是x=1，k=﹣2．24．求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是3121．【答案與解析】解法一：因?yàn)閤x

3121

3 25，1 2 3 2 632 x x31212532 1 2 35