江西省上饒市“山江湖”協(xié)作體統(tǒng)招班2023年數(shù)學高二第二學期期末經典模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5762．空間中不共面的4點A，B，C，D，若其中3點到平面的距離相等且為第四個點到平面的倍，這樣的平面的個數(shù)為（）A．8 B．16 C．32 D．483．如圖梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點,將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.則在翻折過程中，可能成立的結論的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．44．已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上為單調函數(shù)，且，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．6．芻薨（），中國古代算術中的一種幾何形體，《九章算術》中記載“芻薨者，下有褒有廣，而上有褒無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻薨字面意思為茅草屋頂”，如圖，為一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形，則搭建它（無底面，不考慮厚度）需要的茅草面積至少為（）A．24 B． C．64 D．7．展開式中的所有項系數(shù)和是（）A．0 B．1 C．256 D．5128．某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則（）A． B． C． D．9．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，是正弦函數(shù)，因此是奇函數(shù)，以上推理（）A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．大前提、小前提、結論都不正確10．三棱錐的棱長全相等，是中點，則直線與直線所成角的正弦值為（）A． B． C． D．11．（）A．9 B．12 C．15 D．312．點M的極坐標為（1，π），則它的直角坐標為（）A．（1，0） B．（，0） C．（0，1） D．（0，）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數(shù)滿足，則__________．14．在我校2017年高二某大型考試中，理科數(shù)學成績，統(tǒng)計結果顯示.假設我校參加此次考試的理科同學共有2000人，那么估計此次考試中我校成績高于120分的人數(shù)是___________.15．已知4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為．16．設等差數(shù)列的前項和為，若，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是:每場投6個球,至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎;否則不獲獎.已知教師甲投進每個球的概率都是.(Ⅰ)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望；(Ⅱ)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率.18．（12分）如圖，在圓心角為，半徑為的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點為圓心，點在圓弧上，點在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鐵皮卷成一個以為母線的圓柱形鐵皮罐的側面(不計剪裁和拼接損耗)，設矩形的邊長，圓柱形鐵皮罐的容積為.（1）求圓柱形鐵皮罐的容積關于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；（2）當為何值時，才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大？最大容積是多少？(圓柱體積公式：，為圓柱的底面枳，為圓柱的高）19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；20．（12分）如圖,在四面體中,在平面的射影為棱的中點,為棱的中點,過直線作一個平面與平面平行,且與交于點,已知,.(1)證明:為線段的中點(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21．（12分）已知的內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，，是中點，求的長.22．（10分）設等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為，并求使得取得最大值的序號的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】A1、A2同時不能工作的概率為0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一個正常工作的概率為1－0.04＝0.96，所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.9×0.96＝0.864.故選B.考點：相互獨立事件的概率.2、C【解析】

由題意分類討論各種情況，然后利用加法原理確定滿足題意的平面的個數(shù)即可.【詳解】第一種情況，A，B，C，D點在平面的同側.當平面∥平面BCD時，A與平面的距離是與平面BCD的距離的2倍.這種情況下有4個平面.第二種情況，A，B，C，D中有3個點在平面的一側，第4個點在平面的另一側，這時又有兩種情形：一種情形是平面與平面BCD平行，且A與平面的距離是平面與平面BCD距離的2倍.這時有4個平面.另一種情形如圖a所示，圖中E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，K是AD的三等分點中靠近A的分點，A，B，C到平面EFK（即平面）的距離是D到平面EFK距離的一半.∵EF可以是AB，AC的中點的連線，又可以是AB，BC的中點的連線，或AC，BC的中點的連線，∴這種情形下的平面有3×4=12（個）.第三種情況，如圖b所示，在A，B，C，D四點中，平面兩側各種有兩點.容易看出：點A到平面EFMN（平面）的距離是B，C，D到該平面距離的2倍．就A，C與B，D分別位于平面兩側的情形來看，就有A離平面遠，B離平面遠，C離平面遠，D離平面遠這四種情況.又“AC，BD異面，則這樣的異面直線共有3對，∴平面有4×3=12（個）.綜上分析，平面有4+4+12+12=32（個）.故選C.【點睛】本題主要考查分類討論的數(shù)學思想，計數(shù)原理的應用，空間幾何體的結構特征等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3、B【解析】分析：利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解.詳解：對于①：因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直,則①錯誤；對于②：設點D在平面BCF上的射影為點P,當BP⊥CF時就有BD⊥FC,而AD:BC:AB＝2:3:4可使條件滿足,所以②正確；對于③：當點P落在BF上時,DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF,所以③正確；對于④：因為點D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④錯誤．故選B.點睛：本題考查命題真假的判斷，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).4、C【解析】

根據(jù)零點存在性定理，可得，然后比較大小，利用函數(shù)的單調性，可得結果.【詳解】由題意可知函數(shù)在上單調遞增，，，∴函數(shù)的零點，又函數(shù)的零點，，故選：C【點睛】本題考查零點存在性定理以及利用函數(shù)的單調性比較式子大小，難點在于判斷的范圍，屬基礎題.5、C【解析】

由函數(shù)在區(qū)間上為單調函數(shù)，得周期，，得出圖像關于對稱，可求出，，得出函數(shù)的對稱軸，結合對稱中心和周期的范圍，求出周期，即可求解.【詳解】設的最小正周期為，在區(qū)間上具有單調性，則，即，由知，有對稱中心，所以.由，且，所以有對稱軸.故.解得，于是，解得，所以.故選：C【點睛】本題考查正弦函數(shù)圖象的對稱性、單調性和周期性及其求法，屬于中檔題.6、B【解析】茅草面積即為幾何體的側面積，由題意可知該幾何體的側面為兩個全等的等腰梯形和兩個全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底長為4，下底長為8，高為；等腰三角形的底邊長為4，高為．故側面積為．即需要的茅草面積至少為．選B．7、B【解析】

令，可求出展開式中的所有項系數(shù)和.【詳解】令，則，即展開式中的所有項系數(shù)和是1，故選B.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了展開式的系數(shù)和的求法，屬于基礎題.8、B【解析】試題分析：記“系統(tǒng)發(fā)生故障、系統(tǒng)發(fā)生故障”分別為事件、，“任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件，則，解得，故選B．考點：對立事件與獨立事件的概率．9、C【解析】分析：根據(jù)題意，分析所給推理的三段論，找出大前提，小前提，結論，再判斷正誤即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，該推理的大前提：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，正確；小前提是：是正弦函數(shù)，因為該函數(shù)不是正弦函數(shù)，故錯誤；結論：是奇函數(shù)，，故錯誤.故選：C.點睛：本題考查演繹推理的基本方法，關鍵是理解演繹推理的定義以及三段論的形式.10、C【解析】分析：取中點，連接，由三角形中位線定理可得，直線與所成的角即為直線與直線所成角，利用余弦定理及平方關系可得結果.詳解：如圖，取中點，連接，分別為的中點，則為三角形的中位線，，直線與所成的角即為直線與直線所成角，三棱錐的棱長全相等，設棱長為，則，在等邊三角形中，為的中點，為邊上的高，，同理可得，在三角形中，，，直線與直線所成角的正弦值為，故選C.點睛：本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結果一定要取絕對值.11、A【解析】分析：直接利用排列組合的公式計算.詳解：由題得.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查排列組合的計算，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)排列數(shù)公式：==(，∈，且)．組合數(shù)公式：===(∈，，且)12、B【解析】

將極坐標代入極坐標與直角坐標之間的互化公式，即可得到直角坐標方程.【詳解】將極坐標代入互化公式得：，，所以直角坐標為：.故選B.【點睛】本題考查極坐標化為直角坐標的公式，注意特殊角三角函數(shù)值不要出錯.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

設，,代入方程利用復數(shù)相等即可求解，求模即可.【詳解】設，,則，整理得：解得，所以，故答案為1【點睛】本題主要考查了復數(shù)的概念，復數(shù)的模，復數(shù)方程，屬于中檔題.14、200【解析】∵月考中理科數(shù)學成績，統(tǒng)計結果顯示，∴估計此次考試中，我校成績高于120分的有人．點睛：關于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.15、【解析】解：從4張卡片中任意抽取兩張，則所有的情況有種，那么取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)，說明奇數(shù)=奇數(shù)+偶數(shù)，故有，因此利用古典概型可知概率為16、【解析】

由可得，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，即為所求．【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，∴．∴．故答案為1．【點睛】本題考查等差數(shù)列中基本量的運算，解題的關鍵在于將問題轉化為和進行處理，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)X的分布列X

0

1

2

3

4

5

6

P

數(shù)學期望；(Ⅱ).【解析】

試題分析：(Ⅰ)先定出X的所有可能取值，易知本題是6個獨立重復試驗中成功的次數(shù)的離散概率分布，即為二項分布.由二項分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根據(jù)比賽獲勝的規(guī)定，教師甲前四次投球中至少有兩次投中，后兩次必須投中，即可能的情況有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1種情況有種可能，第2中情況有（或）種可能.將上述三種情況的概率相加即得到教師甲獲勝的概率.試題解析：(Ⅰ)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.依條件可知，X的分布列為：X

0

1

2

3

4

5

6

P

.或因為，所以.即的數(shù)學期望為4.7分(Ⅱ)設教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，則答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為.考點：1.二項分布；2.離散型隨機變量的分布列與期望；3.隨機事件的概率.18、（1）；（2），.【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根據(jù)周長公式得半徑，再根據(jù)圓柱體積公式求V(x)，最后根據(jù)實際意義確定定義域，（2）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，確定函數(shù)單調性，進而得函數(shù)最值.詳解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，設圓柱底面半徑為r，則＝2πr，即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，即鐵皮罐的容積為V(x)關于x的函數(shù)關系式為V(x)＝，定義域為(0，60).（2）由V′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．列表如下：x(0，20)20(20，60)V′(x)＋0－V(x)↗極大值V(20)↘所以當x＝20時，V(x)有極大值，也是最大值為.答：當x為20cm時，做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大，最大容積是.點睛：利用導數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用或求單調區(qū)間；第二步：解得實根；第三步：比較實根同區(qū)間端點的大??；第四步：求極值；第五步：比較極值同端點值的大?。?9、（1）見解析；（2）見解析；【解析】

（1）要證BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到兩條直線跟BD垂直即證，顯然，從平面中可證，即證.(2)要證明平面PAB⊥平面PAE,可證平面即可.【詳解】（1）證明：因為平面,所以；因為底面是菱形，所以;因為,平面,所以平面.（2）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面，平面,所以平面平面.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20、（1