陽關(guān)三疊 妙解生花 論文

陽關(guān)三疊妙解生花——一道2022年高考題的解法探究摘要：對2022年普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)1卷）第7題進(jìn)行了較為深入的探究，在分析解法的基礎(chǔ)上，得到了函數(shù)解題方法的啟發(fā)與升華。關(guān)鍵詞：2022年普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)1卷）比較大小構(gòu)造函數(shù)切線 放縮泰勒展開

正文：

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)1卷）數(shù)學(xué)試題科學(xué)、規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，既注重基礎(chǔ)，又考察能力?，F(xiàn)對試卷第7題的解法進(jìn)行細(xì)致的探究。（2022年新課標(biāo)1卷第7題）設(shè)a=0.1e0.1,b=1/9,c=-ln0.9,則（）

A．a(chǎn)<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

這是一道以比較大小為目標(biāo)的選擇題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)?，F(xiàn)對本題的解題方法和技巧進(jìn)行深入的探究，從三個不同的方向進(jìn)行解答，整理成文，便于與各位同行交流學(xué)習(xí)。方法一（構(gòu)造法——最樸素的解法，展現(xiàn)最扎實的數(shù)學(xué)功底）思路1：（將做差進(jìn)行到底） 1 1 10 10解：∵b–c=–(–ln0.9)=–ln =( 9 9 9 9 10

令x= >1,構(gòu)造f(x)=x–1–lnx 9 1 x-1

∵f'(x)=1–= >0.x x 10

–1)–ln

9∴f(x)在（1，+∞）單調(diào)遞增，

∴f(x)>f(1)=0,

∴b–c>0,即b>c;1 1 1∵a–b=0.1e0.1–= (e0.1– )，9 10 1-0.11令x=0.1∈(0,1),構(gòu)造g(x)=ex– =[ex(1–x)-1]/(1–x),1-x令h(x)=ex(1–x)-1,則h'(x)=–xex<0,

∴h(x)在（0,1）單調(diào)遞減，

∴h(x)<h(0)=0,∴g(x)<0,

∴a–b<0,即a<b;

a–c=0.1e0.1+ln0.9=0.1e0.1+ln(1–0.1),令x=0.1∈(0,0.1],構(gòu)造t(x)=xex–ln(1–x)，∴t'(x)=ex(x+1)- 1

=[ex(1–x2)-1]/(1–x)1-x令m(x)=ex(1–x2)-1,

則m'(x)=ex(1–x2-2x)=-ex(x2+2x-1)>0,∴m(x)在(0,0.1]，單調(diào)遞增，∴m(x)>m(0)=0,∴t'(x)>0,∴t(x)在(0,0.1]，單調(diào)遞增，

∴t(x)>t(0)=0,∴a–c>0,即a>c.綜上，c<a<b,故選C.顯然，這種通過兩兩做差，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步來判斷大小的方法，是解決比較大小問題常用的方法。但是，這種方法至少要進(jìn)行兩次做差，每次都要化歸成統(tǒng)一形式后構(gòu)造成一個函數(shù)，并對其求導(dǎo)，討論單調(diào)性，有時還需要進(jìn)行二次求導(dǎo)，方能確定其單調(diào)性。這種頻繁的構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)、判斷范圍，使得題目計算量暴增，在時間緊迫的考試中，將是對學(xué)生嚴(yán)峻的考驗。思路2（無中生有，同構(gòu)思想）

解：∵a=0.1e0.1，∴抽象出y1=xex，1 o.1 x∵b==9 1-0.1，∴抽象出，y2=1-x ，∵c=–ln0.9=–ln（1–0.1），∴抽象出y3=–ln（1–x）

（由于y1，y2中同含有x項）構(gòu)造f(x)=y1/y2=ex(1–x)，x∈(0,0.1]，∵f'(x)=–xex<0,∴f(x)在(0,0.1]單調(diào)遞減，∴f(x)<f(0)=1, a

由=f(0.1)<1，∴a<b;

b構(gòu)造g(x)=y1–y3=xex+ln（1–x）,x∈(0,0.1]，∴g'(x)=[ex(1–x2)-1]/(1–x)>0,

∴g(x)在(0,0.1]，單調(diào)遞增，

∴g(x)>g(0)=0,∴g(x)<g(0)=0,

由a–c=g(0.1)>0，∴a>c.綜上：c<a<b,故選C.這種通過同構(gòu)思想，將每個數(shù)值化歸成統(tǒng)一形式，有利于選擇合適的方法（做差或做商）比較大小，進(jìn)而簡化一部分運算。通過代數(shù)變形，統(tǒng)一成相同的變量，進(jìn)而抽象出目標(biāo)函數(shù)。利用這種思想解題，需要學(xué)生平時對一些特殊函數(shù)如“六大同構(gòu)函數(shù)”有所記憶，有一定的函數(shù)積累，方能在構(gòu)造函數(shù)類問題時事半功倍。方法二（巧用結(jié)論，解題神助攻）

在平時函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常用導(dǎo)數(shù)放縮技巧，得到一些常用不等式， 1

如：1.ex≥x+1≥x≥x–1≥lnx≥1-(切線放縮) x 1 1

2.lnx≤(x-)(x>1)(飄帶函數(shù))

2 x當(dāng)然我們同樣可以通過構(gòu)造函數(shù)，來證明這些不等式。如果，在平時的學(xué)習(xí)中，做一個“有心人”，收集、整理一些常用的“二級結(jié)論”，將有助于我們快速、準(zhǔn)確的解決相應(yīng)的一些問題。1 10 10解：∵x–1≥lnx，∴b== –1>c=–ln0.9=ln ,∴b>c;9 9 99 10 10 1又∵ex≥x+1，∴e-0.1>-0.1+1= ,∴1/e-0.1> ,∴e0.1< ,∴0.1e0.1<,即a<b;10 9 9 9∵a=0.1e0.1>0.1(0.1+1)=0.11,1 1 10 1 10 9又由lnx≤(x-)(x>1)得，c=–ln0.9=ln >( – )<0.11,∴c<a.2 x 9 2 9 10綜上：c<a<b,故選C.方法三（泰勒展開，感受復(fù)變函數(shù)的魅力）解：由處等函數(shù)的泰勒展開式：ez=1+z+z2/2!+…+zn/n!ln(1+z)=z-z2/2+z3/3…+(-1)n-1+… 1 1

可得a=0.1e0.1≈0.1[1+0.1+×(0.1)2+×(0.1)3+…]≈0.1105, 2 6 1

b==0.111…,

9 1 1

c=–ln0.9=-ln(-0.1+1)=-[-0.1-×(-0.1)2+×(-0.1)3+…] 2 3 ≈0.1053,

∴c<a<b,故選C.一些初等函數(shù)的泰勒展開方法，常采用一些已知展開式進(jìn)行計算的方法，除了以上ez與ln(1+z)的展開式，我們高中階段還可以用到cosZ和sinZ的展開式。這些在高等學(xué)校教材《復(fù)變函數(shù)論》中講到的初等函數(shù)的泰勒展開式，如果在平時的教學(xué)中適量的交給學(xué)生，既有助于快速估算指、對數(shù)和三角函數(shù)的函數(shù)值，又能讓高中學(xué)生感受高等數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)他們進(jìn)入大學(xué)繼續(xù)深造的信念。如果說“構(gòu)造函數(shù)”是腳踏實