2023年上海大學市北附屬中學數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（）A． B． C． D．2．下列參數(shù)方程可以用來表示直線的是（）A．（為參數(shù)） B．（為參數(shù)）C．（為參數(shù)） D．（為參數(shù)）3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．4．曲線與軸所圍成的封閉圖形的面積為（）A．2 B． C． D．45．利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機調(diào)查200名高中生是否愛好某項運動，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得K2≈7.245，參照下表：得到的正確結論是（）0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”、C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”6．若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的倍，則（）A． B． C． D．7．若，滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．5 D．68．若，是第三象限的角，則（）A． B． C． D．9．給出下列三個命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知展開式中項的系數(shù)為5，則＝（）A． B．π C．2π D．4π11．在同一直角坐標系中，曲線y=sin(x+πA．y=13C．y=3sin(2x+12．已知滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．3 D．-3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．右圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為_____________.14．復數(shù)的共軛復數(shù)________.（其中為虛數(shù)單位）15．二項式的展開式中含項的系數(shù)為____16．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f（x+2）=﹣，且當x∈[0，2]時，f（x）=log2（x+1），則f（﹣2013）+f（2015）=_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求證：當時，.18．（12分）在直角坐標系中，斜率為k的動直線l過點，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）若直線l與曲線C有兩個交點，求這兩個交點的中點P的軌跡關于參數(shù)k的參數(shù)方程；（2）在條件（1）下，求曲線的長度.19．（12分）在一次考試中某班級50名學生的成績統(tǒng)計如表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀.經(jīng)計算樣本的平均值，標準差.為評判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績?yōu)?，并根?jù)以下不等式進行評判①；②；③評判規(guī)則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷.（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；（2）按分層抽樣的方式從3個層次的學生中抽出10名學生，再從抽出的10名學生中隨機抽出4人進行學習方法交流，用隨機變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.20．（12分）小明某天偶然發(fā)現(xiàn)班上男同學比女同學更喜歡做幾何題，為了驗證這一現(xiàn)象是否具有普遍性，他決定在學校開展調(diào)查研究：他在全校3000名同學中隨機抽取了50名，給這50名同學同等難度的幾何題和代數(shù)題各一道，讓同學們自由選擇其中一道題作答，選題人數(shù)如下表所示：幾何題代數(shù)題合計男同學22830女同學81220合計302050（1）能否據(jù)此判斷有的把握認為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關？（2）用以上列聯(lián)表中女生選做幾何題的頻率作為概率，從該校所有女生（該校女生超過1200人）中隨機選5名女生，記5名女生選做幾何題的人數(shù)為，求的數(shù)學期望和方差.附表：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：，其中.21．（12分）已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點F1，F(xiàn)1在x軸上，橢圓C短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，且橢圓C短軸長為1．（1）求橢圓C的標準方程．（1）P為橢圓C上一點，且∠F1PF1＝，求△PF1F1的面積．22．（10分）函數(shù).（Ⅰ）若時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設，若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：因為是等差數(shù)列，則，又由于為遞減數(shù)列，所以，故選C.考點：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列.2、A【解析】

選項A:利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項B：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項C：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍即可判斷出所表示的圖形；選項D：利用同角的三角函數(shù)關系式進行消參即即可判斷出所表示的圖形,最后選出正確答案.【詳解】選項A:,而,所以參數(shù)方程A表示的是直線；選項B：,而,所以參數(shù)方程B表示的是射線；選項C：,而,所以參數(shù)方程C表示的是線段；選項D：,所以參數(shù)方程D表示的是單位圓,故選A.【點睛】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程,并判斷普通方程所表示的平面圖形,求出每個參數(shù)方程中橫坐標的取值范圍是解題的關鍵.3、D【解析】

先求出函數(shù)的定義域，確定內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性得出答案．【詳解】由題可得，即，所以函數(shù)的定義域為，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選D．【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和應用、復合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．4、D【解析】

曲線與軸所圍成圖形的面積，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，就是求正弦函數(shù)在上的定積分的兩倍．【詳解】解：曲線與軸所圍成圖形的面積為：．故選：．【點睛】本題考查了定積分，考查了微積分基本定理，求解定積分問題，關鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于基礎題．5、B【解析】

由，結合臨界值表，即可直接得出結果.【詳解】由，可得有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”.故選B【點睛】本題主要考查獨立性檢驗，會對照臨界值表，分析隨機變量的觀測值即可，屬于基礎題型.6、D【解析】

利用拋物線的定義列等式可求出的值.【詳解】拋物線的準線方程為，由拋物線的定義知，拋物線上一點到焦點的距離為，，解得，故選：D.【點睛】本題考查拋物線的定義，在求解拋物線上的點到焦點的距離，通常將其轉(zhuǎn)化為該點到拋物線準線的距離求解，考查運算求解能力，屬于中等題.7、C【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最優(yōu)解求解即可【詳解】解：變量，滿足約束條件的可行域如圖所示：目標函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線，當直線經(jīng)過可行域的點時，縱截距取得最小值，則此時目標函數(shù)取得最大值，由可得，目標函數(shù)的最大值為：5故選C．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，考查計算能力以及數(shù)形結合思想的應用．8、B【解析】

先利用同角三角函數(shù)的基本關系計算出的值，然后利用兩角和的正弦公式可計算出的值.【詳解】是第三象限角，，且，因此，，故選B.【點睛】本題考查兩角和的正弦公式計算三角函數(shù)值，解題時充分利用同角三角函數(shù)的基本關系進行計算，考查運算求解能力，屬于基礎題.9、B【解析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應至少有一個是真命題，所以②錯；③正確．考點：1.四種命題；2.命題的否定．10、B【解析】

通過展開式中項的系數(shù)為列方程，解方程求得的值.利用幾何法求得定積分的值.【詳解】展開式中項為即，條件知，則；于是被積函數(shù)圖像，圍成的圖形是以為圓心，以2為半徑的圓的，利用定積分的幾何意義可得，選B.【點睛】本小題主要考查二項式展開式，考查幾何法計算定積分，屬于中檔題.11、C【解析】

由x'=12x【詳解】由伸縮變換得x=2x',y=13即y'=3sin(2x'+【點睛】本題考查伸縮變換后曲線方程的求解，理解伸縮變換公式，準確代入是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題。12、B【解析】

畫出可行域，通過截距式可求得最大值.【詳解】作出可行域，求得，，,通過截距式可知在點C取得最大值，于是.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃問題，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和作圖能力.目標函數(shù)主要有三種類型：“截距型”，“斜率型”，“距離型”，通過幾何意義可得結果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9.【解析】分析：計算正方形二維碼的面積，利用面積比等于對應的點數(shù)比求得黑色部分的面積.詳解：邊長為4的正方形二維碼面積為，設圖中黑色部分的面積為S，則，解得.據(jù)此估計黑色部分的面積為9.故答案為：9.點睛：本題考查了用模擬實驗的方法估計概率的應用計算問題，是基礎題.14、【解析】

根據(jù)復數(shù)除法法則，分子分母同乘分母的共軛復數(shù)化簡成的形式，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義求出所求即可．【詳解】，復數(shù)的共軛復數(shù)是.故答案為：.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算、共軛復數(shù)的定義，考查基本運算求解能力，屬于基礎題．15、【解析】分析：根據(jù)二項式定理的通項公式，寫出的系數(shù)．詳解：所以，當時，所以系數(shù)為．點睛：項式定理中的具體某一項時，寫出通項的表達式，使其滿足題目設置的條件．16、0【解析】當x≥0，都有f（x+2）=﹣，∴此時f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=﹣，∵當x∈[0，2]時，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1，即f（2015）=﹣=﹣1，∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（﹣2013）=f（503×4+1）=f（1）=1，∴f（﹣2013）+f（2015）=1﹣1=0，故答案為0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）依題意，的定義域為，，分類討論可求的單調(diào)性；（2）當時，要證明，即證明，只需證明.設，利用導數(shù)研究其性質(zhì)，即可證明詳解：（1）依題意，的定義域為，，（1）當時，，在單調(diào)遞減；（2）當時，當時，；當時，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）當時，當時，；當時，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上，當時，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）當時，要證明，即證明，因為，所以只需證明，只需證明.設，則，設，則，所以當時，；當時，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以，所以當時，；當時，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以，所以當時，.點睛：本小題考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想等．18、（1）；（2）【解析】

（1）把兩邊同時乘以，然后結合極坐標與直角坐標的互化公式可得曲線的直角坐標方程，設直線的方程為，與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系可得兩個交點的中點的軌跡關于參數(shù)的參數(shù)方程；（2）化參數(shù)方程為普通方程，作出圖形，數(shù)形結合即可求得曲線的長度．【詳解】解：（1）曲線C的直角坐標方程為.設直線l的方程為，設直線l與曲線C的交點為，，聯(lián)立直線l與曲線C的方程得解得，，，，設P的坐標為，則，代入l的方程得.故的參數(shù)方程為.（2）由的參數(shù)方程得即.如圖，圓C：圓心為，半徑為2，圓D：圓心為，半徑為2，曲線為劣弧，顯然，所以的長度為.【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查圓與圓位置關系的應用，考查計算能力，屬于中檔題．19、（1）該份試卷應被評為合格試卷；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，計算，，的值，由此判斷出“該份試卷應被評為合格試卷”.（2）利用超幾何分布分布列計算公式，計算出分布列，并求得數(shù)學期望.【詳解】（1），，，因為考生成績滿足兩個不等式，所以該份試卷應被評為合格試卷.（2）50人中成績一般、良好及優(yōu)秀的比例為，所以所抽出的10人中，成績優(yōu)秀的有3人，所以的取值可能為0，1，2，3；；；.所以隨機變的分布列為0123故.【點睛】本小題主要考查正態(tài)分布的概念，考查頻率的計算，考查超幾何分布的分布列以及數(shù)學期望的計算，屬于中檔題.20、（1）有；（2）.【解析】

(1)計算與5.024比較，即可判斷是否有的把握認為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關.（2）顯然，可直接利用公式計算數(shù)學期望和方差.【詳解】(1)由列聯(lián)表知故有97.5%的把握認為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(2)由表知20位女生選幾何題的頻率為，故；.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗統(tǒng)計思想，二項分布的數(shù)學期望和方差的計算.意在考查學生的計算能力，閱讀理解能力