懸而未決的簡單數(shù)學(xué)問題

懸而未決的

“簡單〞數(shù)學(xué)(shùxué)問題王國(wángguó)俊陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)研究所第一頁，共38頁。1一.簡單(jiǎndān)和不簡單(jiǎndān)第二頁，共38頁。21.問：什么是“簡單〞的數(shù)學(xué)問題？答：中學(xué)生都可以(kěyǐ)聽懂是怎么回事的數(shù)學(xué)問題叫“簡單〞數(shù)學(xué)問題.

第三頁，共38頁。32.不“簡單〞的數(shù)學(xué)(shùxué)問題的例子2000年5月24日美國麻州劍橋(jiànqiáo)Clay數(shù)學(xué)研究所〔克萊數(shù)學(xué)所〕懸賞各100萬美元征解以下七大數(shù)學(xué)難題：1.龐加萊猜測(2006年已解決)2.黎曼猜測3.戴爾猜測4.納維-斯托克斯方程求解5.楊-米爾斯場問題6.霍奇猜測7.P對NP問題參看“七大世紀數(shù)學(xué)難題淺釋〞〔王國俊2006，6，17〕第四頁，共38頁。4俄羅斯數(shù)學(xué)家格里高利(gāolì)佩雷爾曼第五頁，共38頁。5龐加萊猜測(cāicè)(1904年)第六頁，共38頁。6同胚和不同(bùtónɡ)胚的曲面第七頁，共38頁。7連續(xù)閉曲線可在其中連續(xù)收縮為一點的圖形叫單連通的(或根本群等于0).龐加萊論斷(lùnduàn)在二維情形可表述為：單連通的二維緊致無邊閉流形同胚于二維球面。第八頁，共38頁。8

龐加萊猜測：單連通的三維緊致無邊閉流形同胚于S3。Smale于1960年證明(zhèngmíng)了5維及以上的情形龐加萊論斷成立。1982年，F(xiàn)reedman證明(zhèngmíng)了4維龐加萊猜測成立。第九頁，共38頁。9黎曼猜測(cāicè)〔1859年〕第十頁，共38頁。10第十一頁，共38頁。11第十二頁，共38頁。123.250個不簡單(jiǎndān)的數(shù)學(xué)問題第十三頁，共38頁。13附注：在這250個數(shù)學(xué)問題(wèntí)中，只有極個別的問題(wèntí)比較簡單，如歐拉常數(shù)問題(wèntí).設(shè)

第十四頁，共38頁。14二.懸過百年(bǎinián)才解決的“簡單〞數(shù)學(xué)問題第十五頁，共38頁。151.哥德巴赫的猜測B內(nèi)容:每個大于或等于(děngyú)9的奇數(shù)都可表示為3個奇素數(shù)之和.提出時間:1742年.解決時間:1937年.解決人:維納格拉多夫.第十六頁，共38頁。162.費馬大定理(dìnglǐ)內(nèi)容:當(dāng)n大于2時,xn+yn=zn沒有非平凡的整數(shù)解.提出時間:1637年.解決時間:1995年.解決人:懐爾斯(Wiles,他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大局部).第十七頁，共38頁。173.三大幾何作圖問題內(nèi)容:可否用不帶標(biāo)記的直尺和圓規(guī)解決三等分角、立方倍積和化園為方問題.提出人:以希比阿斯(Hippias)和安提豐(Antiphon)等人為代表的狡辯學(xué)派.提出時間:約公元前5世紀(古希臘).否認的解決時間:19世紀.解決人:旺策兒(Wantzer,P.-L.)等人.(參看(cānkàn):〞三等分角問題漫談〞，王國俊2019)

第十八頁，共38頁。184.第五公設(shè)問題內(nèi)容：“過直線L外一點可作L的一條平行線且只能作一條平行線〞.問題:第五公設(shè)可否由前面的公理(gōnglǐ)推出?提出時間:公元前古希臘.解決時間:1826年.解決人:羅巴切夫斯基.第十九頁，共38頁。195.高次方程的求根公式問題內(nèi)容:尋求高于4次的整系數(shù)(xìshù)多項式的求根公式.提出人:意大利學(xué)派.提出時間:16世紀.解決時間:1826-1829.解決人:阿貝爾,伽羅華.第二十頁，共38頁。20

Abel

Galois第二十一頁，共38頁。21三至今仍懸而未決(xuánérwèijué)的簡單數(shù)學(xué)問題第二十二頁，共38頁。221.哥德巴赫猜測A內(nèi)容：大于或等于6的偶數(shù)(ǒushù)可表示為兩個奇素數(shù)之和.提出人:哥德巴赫.提出時間:1742年.解決情況:至今只證明了1+2.第二十三頁，共38頁。232.3n+1問題內(nèi)容:任取自然數(shù)K，假設(shè)K是奇數(shù)，將其乘以3后再加1；假設(shè)K是偶數(shù)，將其除以2.從任一自然數(shù)出發(fā)，不斷施行上述運算必然得出(déchū)1.提出人：考拉茨〔Collatz，德國漢堡大學(xué)大學(xué)生〕.提出時間：1930年.例：17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1.進展情況：5260以內(nèi)的K都成立.第二十四頁，共38頁。24在1960年，日本人角谷靜夫也研究過這個猜測。但這猜測到目前，仍沒有任何新的進展.它有著一大堆其他各種各樣的名字，大概都是和研究和傳播它的數(shù)學(xué)家或者地點關(guān)的：克拉茲(Collatz)問題，哈斯(Hasse)算法問題，烏拉姆(Ulam)問題等等。1996年B.Thwaites懸賞1100英鎊來解決這個問題.看在錢大爺?shù)姆萆希?n+1問題于是又多了個名字，叫Thwaites猜測.今天在數(shù)學(xué)文獻里，大家就簡單地把它稱作“3n+1問題〞。角谷靜夫在談到這個猜測的歷史(lìshǐ)時講：“一個月里，耶魯大學(xué)的所有人都著力于解決這個問題，毫無結(jié)果.同樣的事情好象也在芝加哥大學(xué)發(fā)生了。有人猜測，這個問題是蘇聯(lián)克格勃的陰謀，目的是要阻礙美國數(shù)學(xué)的開展。〞不過我對克格勃有如此遠大的數(shù)學(xué)眼光表示疑心。這種形式如此簡單，解決起來卻又如此困難的問題，實在是可遇而不可求。

第二十五頁，共38頁。253.完美數(shù)問題內(nèi)容：除了自身外所有因子之和等于自身的自然數(shù)叫完美數(shù)，問完美數(shù)的個數(shù)是否無限(wúxiàn)？有沒有奇完美數(shù)？早期的研究者：歐幾里得〔他用公式2n-1〔2n-1)發(fā)現(xiàn)了前4個完美數(shù)6，28，496，8128，n=2，3，5，7〕.進展情況:到2019年為止，人們只發(fā)現(xiàn)了46個完美數(shù)，且都是偶數(shù)，其中最大的完美數(shù)是一個314位數(shù).第二十六頁，共38頁。26字符串問題內(nèi)容:〔1〕刪去串的前3位；〔2〕假設(shè)首位是1，在串末添1101，假設(shè)首位是0，在串末添00.此程序是否必然(bìrán)停機或循環(huán)?例1:10101，011101，10100，001101，10100，…例2：011011011，01101100，0110000，000000，00000，0000，000，00.提出人：多值邏輯創(chuàng)始人之一的E.Post.提出時間：1920年，至今無人能答復(fù).

第二十七頁，共38頁。275.瑞賽爾數(shù)問題內(nèi)容:找出最小的Riesel數(shù)，即，奇自然數(shù)K，使K2n1對于(duìyú)每個n都是合數(shù).提出人:H.Riesel.提出時間：1956年.已有結(jié)果:有無窮多個Riesel數(shù)，現(xiàn)時找到小於106的Riesel數(shù)有：509203，762701，777149，790841和992077共5個.問題:最小的Riesel數(shù)是什么?第二十八頁，共38頁。286.謝爾賓斯基數(shù)問題內(nèi)容:找出最小的Sierpinski數(shù)，即，奇自然數(shù)K，使K2n+1對于(duìyú)每個n都是合數(shù).提出人：Sierpinski.提出時間:1960年.已有結(jié)果:有無窮多個Sierpinski數(shù)，78557是Sierpinski數(shù).問題:最小的Sierpinski數(shù)是什么?第二十九頁，共38頁。297.奇妙的Kilminster分數(shù)序列與停機問題(wèntí)內(nèi)容：有如下的分數(shù)序列3/11,847/45,143/6,7/3,10/91,3/7,36/325,1/2,36/5〔*〕輸入正整數(shù)n，在〔*〕中找出第一個分數(shù)，使與n相乘得整數(shù)m；假設(shè)沒有，停機，否那么對m做同樣的事.例1.n=13，停機.例2.n=10，依次得5,36,858,…102,…,103(36次),…,105(150次),…,107(304次),…1011,…問題(wèntí)：上述程序是否總會停機？第三十頁，共38頁。30附注1：Kilminster于1999年提出此分數(shù)，當(dāng)時為西澳大利亞大學(xué)學(xué)生(xuésheng).附注2：康威〔〕于1987年提出程序Fractran，給出了一系列分數(shù)序列，有的可以用來依次作出2的素數(shù)次方冪，同樣有停機問題參看C.Goodman-Strauss：Can’tdecide?Undecide！?NoticesoftheAMS?2010年，57卷，3第三十一頁，共38頁。31四.結(jié)束語第三十二頁，共38頁。321.久懸不決的簡單數(shù)學(xué)問題往往(wǎngwǎng)是解開數(shù)學(xué)奧秘的引線化園為方問題---超越數(shù)理論(林德曼Lindemann,1882年)費馬大定理---理想數(shù)理論(庫默爾Kummer，1847年)第五公設(shè)問題---非歐幾何誕生(羅巴切夫斯基，1829年)高次方程求根公式問題---群倫(伽羅華Galois，1830年)

第三十三頁，共38頁。332.青年時代、特別是大學(xué)時代是青年學(xué)習(xí)和成長(chéngzhǎng)的黃金時代考拉茨Collatz---漢堡大學(xué)學(xué)生1930年提出3n+1猜測Abel---27歲，Galois---21歲柯明斯特Kilminster---西澳大利亞大學(xué)學(xué)生懐爾斯Wiles---1986年33歲時研究費馬定理第三十四頁，共38頁。343.我喜歡(xǐhuan)的故事和成語囊螢映雪---晉；懸梁刺骨---東漢、戰(zhàn)國知識就是力量knowledgeispower(培根)Aninvestmentinknowledgepaysthebestinterest(