2023屆太原市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)是的外接圓圓心,.若存在非零實(shí)數(shù)使得且,則的值為（）A． B． C． D．2．已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為y=3.4x+a，則實(shí)數(shù)ax23456y48111418A．2.6 B．-2.6 C．-2.8 D．-3.43．已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中，的圖象大致是（）A． B． C． D．4．下列四個(gè)不等式：①；②；③；④，其中恒成立的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．45．若，則m等于()A．9 B．8 C．7 D．66．將3名教師，5名學(xué)生分成3個(gè)小組，分別安排到甲、乙、丙三地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每地至少去1名教師和1名學(xué)生，則不同的安排方法總數(shù)為（）A．1800 B．1440 C．300 D．9007．一個(gè)口袋中裝有若干個(gè)除顏色外都相同的黑色、白色的小球，從中取出一個(gè)小球是白球的概率為，連續(xù)取出兩個(gè)小球都是白球的概率為，已知某次取出的小球是白球，則隨后一次取出的小球?yàn)榘浊虻母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．8．已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（）A．, B．,C．, D．,9．條件，條件，若是的必要不充分條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知的展開式中沒有項(xiàng)，，則的值可以是（）A．5 B．6 C．7 D．811．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（，）”的過程中，由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是（）A． B．C． D．12．袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè) D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，那么這組數(shù)據(jù)的方差為____．14．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，已知，將直角沿邊折起，折起后點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，則翻折后的幾何體中與所成角的正切值為_____．15．已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=(i=1,2,3),則P(X=2)=_____.16．同宿舍的6個(gè)同學(xué)站成一排照相，其中甲只能站兩端，乙和丙必須相鄰，一共有_____種不同排法（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學(xué)一名數(shù)學(xué)老師對(duì)全班50名學(xué)生某次考試成績(jī)分男女生進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),其中120分(含120分)以上為優(yōu)秀,繪制了如下的兩個(gè)頻率分布直方圖:（1）根據(jù)以上兩個(gè)直方圖完成下面的列聯(lián)表:成績(jī)性別優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)男生女生總計(jì)（2）根據(jù)(1)中表格的數(shù)據(jù)計(jì)算,你有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別之間有關(guān)系?2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001（3）若從成績(jī)?cè)赱130,140]的學(xué)生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率.18．（12分）某班主任對(duì)全班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：分類積極參加班級(jí)工作不太主動(dòng)參加班級(jí)工作總計(jì)學(xué)習(xí)積極性高18725學(xué)習(xí)積極性一般61925總計(jì)242650(1)如果隨機(jī)抽查這個(gè)班的一名學(xué)生，那么抽到積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率是多少？抽到不太主動(dòng)參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少？(2)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度是否有關(guān)，并說明理由．19．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）與函數(shù)在處的切線互相平行．（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方．20．（12分）已知在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，且．（1）求角的大小；（2）若的面積，，，求的值．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)過原點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線與分別交曲線于和，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最大時(shí)，求直線的普通方程.22．（10分）高鐵、網(wǎng)購(gòu)、移動(dòng)支付和共享單車被譽(yù)為中國(guó)的“新四大發(fā)明”，彰顯出中國(guó)式創(chuàng)新的強(qiáng)勁活力.某移動(dòng)支付公司從我市移動(dòng)支付用戶中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周移動(dòng)支付次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630合計(jì)1512137845（1）把每周使用移動(dòng)支付6次及6次以上的用戶稱為“移動(dòng)支付達(dá)人”，按分層抽樣的方法，在我市所有“移動(dòng)支付達(dá)人”中，隨機(jī)抽取6名用戶①求抽取的6名用戶中，男女用戶各多少人；②從這6名用戶中抽取2人，求既有男“移動(dòng)支付達(dá)人”又有女“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率（2）把每周使用移動(dòng)支付超過3次的用戶稱為“移動(dòng)支付活躍用戶”，填寫下表，問能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“移動(dòng)支付活躍用戶”與性別有關(guān)？非移動(dòng)支付活躍用戶移動(dòng)支付活躍用戶合計(jì)男女合計(jì)附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)且判斷出與線段中點(diǎn)三點(diǎn)共線，由此判斷出三角形的形狀，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于，由于，所以與線段中點(diǎn)三點(diǎn)共線，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知直線垂直平分，于是是以為底邊的等腰三角形，于是，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量中三點(diǎn)共線的向量表示，考查圓的幾何性質(zhì)、等腰三角形的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)最小二乘法：a=y-b【詳解】由題意得：x=2+3+4+5+6∴a=11-3.4×4=-2.6本題正確選項(xiàng)：B【點(diǎn)睛】本題考查利用最小二乘法求解回歸直線問題，關(guān)鍵在于明確回歸直線必過x,y，因此代入點(diǎn)x,3、C【解析】

根據(jù)圖象：分，，，，四種情況討論的單調(diào)性.【詳解】根據(jù)圖象：當(dāng)，所以遞增，當(dāng)，所以遞減，當(dāng)，所以遞減，當(dāng)，所以遞增，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象間的關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和理解辨析的能力，屬于?？碱}.4、C【解析】

依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，得到答案.【詳解】①，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確②，時(shí)不成立，錯(cuò)誤③，時(shí)等號(hào)成立.正確④，時(shí)等號(hào)成立，正確故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì)，絕對(duì)值不等式，均值不等式，綜合性較強(qiáng)，是不等式的?？碱}型.5、C【解析】分析：根據(jù)排列與組合的公式，化簡(jiǎn)得出關(guān)于的方程，解方程即可.詳解：，，即，解得，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查排列公式與組合公式的應(yīng)用問題，意在考查對(duì)基本公式掌握的熟練程度，解題時(shí)應(yīng)熟記排列與組合的公式，屬于簡(jiǎn)單題.6、D【解析】

將三個(gè)教師全排列安排到三地，再利用分組、分配方法安排學(xué)生，可求出答案.【詳解】先將3名教師安排到甲、乙、丙三地有種分法，然后安排5名學(xué)生，將5名學(xué)生可分為1，1，3三組，也可分為2，2，1三組，則安排到三地有種方法；根據(jù)分步乘法原理，可知不同的安排方法總數(shù)為種.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法原理的應(yīng)用，考查了分配問題，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.7、B【解析】

直接利用條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)第一次取白球?yàn)槭录诙稳“浊驗(yàn)槭录?，連續(xù)取出兩個(gè)小球都是白球?yàn)槭录?，則，，某次取出的小球是白球，則隨后一次取出的小球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求解條件概率時(shí)，一要區(qū)分條件概率與獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的區(qū)別與聯(lián)系；二要熟記條件概率公式.8、B【解析】

轉(zhuǎn)化是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),畫出函數(shù)圖像,利用圖像判斷即可【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn),則是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),畫出函數(shù)圖像,如圖所示,則當(dāng)時(shí),在下方,即；當(dāng)時(shí),在上方,即,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想9、B【解析】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的必要不充分條件，可以推導(dǎo)出，但是不能推導(dǎo)出，若，則等價(jià)于無法推導(dǎo)出；若，則等價(jià)于滿足條件的為空集，無法推導(dǎo)出；若，則等價(jià)于，由題意可知，，，，的取值范圍是，故選B.10、C【解析】

將條件轉(zhuǎn)化為的展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，不含項(xiàng)，不含項(xiàng)，然后寫出的展開式的通項(xiàng)，即可分析出答案.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中沒有項(xiàng)，所以的展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，不含項(xiàng)，不含項(xiàng)的展開式的通項(xiàng)為：所以當(dāng)取時(shí)，方程無解檢驗(yàn)可得故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理的知識(shí)，在解決二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)有關(guān)的問題的時(shí)候，一般先寫出展開式的通項(xiàng).11、D【解析】

把用替換后兩者比較可知增加的式子．【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念是解題基礎(chǔ)．從到時(shí)，式子的變化是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．12、C【解析】

由題意逐一考查所給的事件是否互斥、對(duì)立即可求得最終結(jié)果.【詳解】袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，逐一分析所給的選項(xiàng)：在A中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，故C成立；在D中，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立；本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2；【解析】

先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式，求方差.【詳解】因?yàn)?，方?【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)與方差公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.14、【解析】

連接，根據(jù)平行關(guān)系可知即為與所成角；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理可證得，從而可求得，利用同角三角函數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】連接，如下圖所示：四邊形為正方形，與所成角即為與所成角，即點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)平面又平面平面，平面平面即與所成角的正切值為本題正確結(jié)果；【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解問題，涉及到立體幾何中的翻折變換問題，關(guān)鍵是能夠通過平行關(guān)系將異面直線成角轉(zhuǎn)變?yōu)橄嘟恢本€所成角，從而根據(jù)垂直關(guān)系在直角三角形中來進(jìn)行求解.15、【解析】分析：根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列，寫出各個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，根據(jù)分布列中各個(gè)概率之和是1，把所有的概率表示出來相加等于1，得到關(guān)于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）．詳解：∵P（X=i）=(i=1,2,3)，∴a=3，∴P（X=2）=.故答案選：C．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)分布列的兩個(gè)性質(zhì)：①Pi≥0，i＝1，2，…；②P1+P2+…=1．16、【解析】

設(shè)甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個(gè)整體，與A、B、C三人全排列，然后排甲，甲只能在兩端，有2種站法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出答案.【詳解】設(shè)甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個(gè)整體，與A、B、C三人全排列，有種，甲只能在兩端，甲有2種站法，則共有種排法.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合，考查了相鄰問題“捆綁法”的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別之間有關(guān)系；（3）.【解析】

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫好聯(lián)表；（2）計(jì)算出的數(shù)值，由此判斷出所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別之間有關(guān)系.（3）先計(jì)算出男生、女生分別有多少人，然后用減去全部都是男生的概率，求得所求的概率.【詳解】（1）成績(jī)性別優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)男生131023女生72027總計(jì)203050（2）由（1）中表格的數(shù)據(jù)知,.因?yàn)?所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別之間有關(guān)系.（3）成績(jī)?cè)赱130,140]的學(xué)生中男生有人,女生有人,從6名學(xué)生中任取2人,共有種選法,若選取的都是男生,共有種選法;故所求事件的概率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查古典概型概率計(jì)算，考查對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)；(2)答案見解析.【解析】

（1）結(jié)合表格根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算概率即可；（2）計(jì)算的觀測(cè)值，對(duì)照表中數(shù)據(jù)得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．【詳解】(1)積極參加班級(jí)工作的學(xué)生有24人，總?cè)藬?shù)為50人，所以抽到積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率，不太主動(dòng)參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生有19人，所以抽到不太主動(dòng)參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生概率.(2)由列聯(lián)表知，的觀測(cè)值≈11.538，由11.538＞10.828.所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度有關(guān)系．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用問題，也考查了兩個(gè)變量線性相關(guān)的應(yīng)用問題，準(zhǔn)確計(jì)算的觀測(cè)值是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題目．19、（1）最小值為，最大值為；（2）見解析【解析】分析：（1）求得，，由已知有，解得，代入得到函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最大值與最小值；（2）令，則只須證恒成立即可，由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可作出證明．詳解：（1），，由已知有，解得．當(dāng)時(shí)，．令，解得．∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又，，．∴最小值為，最大值為．（2）令，則只須證恒成立即可．∵．顯然，單調(diào)遞增（也可再次求導(dǎo)證明之），且．∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；∴恒成立，所以得證．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解出角A的余弦值，進(jìn)而得到角A；（2）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理得到a=，再結(jié)合正弦定理得到最終結(jié)果.【詳解】（1）∵在△ABC中2sin2A+3cos（B+C）=0，∴2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解得cosA=，或cosA=﹣2（舍去），∵0＜A＜π，∴A=；（2）∵△ABC的面積S=bcsinA=bc=5，∴bc=20，再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=21，∴a=，∴sinB+sinC∴sinB+sinC的值是.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了同角三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了三角形面積公式和正余弦定理的應(yīng)用，解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦