2023屆山西省大同市鐵路一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，且，則不等式的解集為A． B． C． D．2．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費(單位：千元)對年銷售量(單位：)和年利潤(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．有下列5個曲線類型：①；②；③；④；⑤，則較適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費的回歸方程的是()A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤3．已知，則的最小值為（）A． B． C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由時的假設(shè)到證明時，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．C． D．5．在極坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過點，圓心為直線與極軸的交點，則圓的極坐標(biāo)方程為A． B． C． D．6．己知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求（）A． B． C． D．7．給出命題①零向量的長度為零，方向是任意的．②若，都是單位向量，則．③向量與向量相等．④若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點共線．以上命題中，正確命題序號是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④8．奇函數(shù)的定義域為.若為偶函數(shù)，且，則()A． B． C． D．9．已知平面向量，的夾角為，且，，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．和 B．和C．和 D．11．設(shè)集合，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．12．已知服從正態(tài)分布的隨機變量，在區(qū)間、和內(nèi)取值的概率分別為、、和.某企業(yè)為名員工定制工作服，設(shè)員工的身高（單位：）服從正態(tài)分布，則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制（）A．套 B．套 C．套 D．套二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，則取得最小值的值為________．14．用0到9這10個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)的個數(shù)為__________．15．曲線在處的切線方程是_____________16．已知雙曲線E:x2a2-三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)=sin（1）若fx在0,π2（2）若a=1，g(x)=f(x)+ex且gx18．（12分）已知函數(shù)的圖象過點.(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最小值.19．（12分）已知定義在上的函數(shù).（1）若的最大值為3，求實數(shù)的值；（2）若，求的取值范圍.20．（12分）某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù).①②③（是虛數(shù)單位）（Ⅰ）從三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論.21．（12分）已經(jīng)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，且平面平面.（1）證明：（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由，可分別考慮分段函數(shù)的每一段取值為的情況，即可求解出的值；然后再分別利用每一段函數(shù)去考慮的情況.【詳解】函數(shù)，可知時，，所以，可得解得．不等式即不等式，可得：或，解得：或，即故選：C．【點睛】利用分段函數(shù)求解參數(shù)取值時，需要對分段函數(shù)的每一段都進行考慮；并且在考慮每一段分段函數(shù)的時候，注意定義域.2、B【解析】分析：先根據(jù)散點圖確定函數(shù)趨勢，再結(jié)合五個選擇項函數(shù)圖像，進行判斷選擇.詳解：從散點圖知，樣本點分布在開口向右的拋物線(上支)附近或?qū)?shù)曲線(上部分)的附近，所以y＝或y＝p＋qlnx較適宜，故選B.點睛：本題考查散點圖以及函數(shù)圖像，考查識別能力.3、C【解析】試題分析：由題意得，，所以，當(dāng)時，的最小值為，故選C.考點：向量的運算及模的概念.4、B【解析】因為當(dāng)時，等式的左邊是，所以當(dāng)時，等式的左邊是，多增加了，應(yīng)選答案B．點睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚當(dāng)時，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)時，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項是什么，使得問題獲解．5、A【解析】

求出圓C的圓心坐標(biāo)為（2，0），由圓C經(jīng)過點得到圓C過極點，由此能求出圓C的極坐標(biāo)方程．【詳解】在中，令，得，所以圓的圓心坐標(biāo)為（2，0）.因為圓經(jīng)過點，所以圓的半徑，于是圓過極點，所以圓的極坐標(biāo)方程為.故選A【點睛】本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．6、A【解析】

設(shè)，判斷奇偶性和導(dǎo)數(shù)的奇偶性，求和即可得到所求值．【詳解】解：函數(shù)設(shè)，則即，即，則，又，，可得，即有，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)的奇偶性，考查運算能力，屬于中檔題．7、A【解析】

根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯誤，由向量的表示方法可知③錯誤，由共線向量的定義和四點共線的意義可判斷④錯誤【詳解】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；與向量互為相反向量，故③錯誤；若與是共線向量，那么可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，故④錯誤，故選A.【點睛】向量中有一些容易混淆的概念，如共線向量，它指兩個向量方向相同或相反，這兩個向量對應(yīng)的起點和終點可以不在一條直線上，實際上共線向量就是平行向量．8、B【解析】是偶函數(shù)，關(guān)于對稱，是奇函數(shù)。故選B。9、C【解析】分析：根據(jù)向量的運算，化簡，由向量的數(shù)量積定義即可求得模長．詳解：平面向量數(shù)量積，所以所以選C點睛：本題考查了向量的數(shù)量積及其模長的求法，關(guān)鍵是理解向量運算的原理，是基礎(chǔ)題．10、C【解析】

先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0解得x的范圍，繼而得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2lnx的定義域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2，＋∞)．故選C【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，易錯點是注意定義域，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】分析：先根據(jù)解分式不等式得集合N，再根據(jù)數(shù)軸判斷集合M,N之間包含關(guān)系，以及根據(jù)交集定義求交集.詳解：因為，所以,因此，，選B.點睛：集合的基本運算的關(guān)注點(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．12、B【解析】

由可得，，則恰為區(qū)間，利用總?cè)藬?shù)乘以概率即可得到結(jié)果.【詳解】由得：，，，又適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制：套本題正確選項：【點睛】本題考查利用正態(tài)分布進行估計的問題，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

求出數(shù)列的首項和公差，求出的表達式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等號成立時的值，于此可得出答案．【詳解】設(shè)等等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，所以，，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，但，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)或時，取最小值，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，因此，當(dāng)時，取最小值，故答案為．【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查基本不等式與雙勾函數(shù)求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”這三個條件，在等號不成立時，則應(yīng)考查雙勾函數(shù)的單調(diào)性求解，考查分析能力與計算能力，屬于中等題．14、136【解析】分析：由題意，末尾是0或1，分類討論，即可得出結(jié)論．詳解：由題意，末尾是0或1．

末尾是0時，沒有重復(fù)數(shù)字且被1整除的三位數(shù)有，

末尾是1時，沒有重復(fù)數(shù)字且被1整除的三位數(shù)有，

∴用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字且被1整除的三位數(shù)有，即答案為136.點睛：本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．15、【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，確定曲線在處的切線斜率，從而可求切線方程．【詳解】求導(dǎo)函數(shù)可得y，

當(dāng)時，y，

∴曲線在點處的切線方程為

即答案為．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程，屬于基礎(chǔ)題．16、2【解析】

可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±b2a，再根據(jù)題意，設(shè)出A,B,C,D的坐標(biāo)，由2AB=3【詳解】令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b由題意可設(shè)A(-c,b由2AB=3BC，由b2=c2-a2故答案是2.【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的求解問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有雙曲線上的點的坐標(biāo)的求法，根據(jù)雙曲線對稱性，得到四個點A,B,C,D四個點的坐標(biāo)，應(yīng)用雙曲線中系數(shù)的關(guān)系，以及雙曲線的離心率的公式求得結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a>0（2）見解析【解析】

（1）求出函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)，對實數(shù)a分a≤0和a>0兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、零點存在定理以及導(dǎo)數(shù)符號來判斷，于此得出實數(shù)a（2）利用分析法進行轉(zhuǎn)化證明，構(gòu)造新函數(shù)Fx=g【詳解】（1）已知f'當(dāng)a≤0時，f'(x)≥0，∴f(x)在0,π2上單調(diào)遞增，此時不存在極大值點；當(dāng)a>0時，f''(x)=-sinx-a<0，又f'(0)=1>0，f'π2=-π2a<0，故存在唯一x0此時，x0是函數(shù)fx綜上可得a>0；（2）依題g(x)=ex+∴g(x)=ex+∵g(0)=1,:x欲證x1+x2<0，等價證x令F(x)=g(-x)+g(x)-2=e∵F'(x)=e故x>0時，F(xiàn)'(x)單調(diào)遞增∴F(x)單調(diào)遞增，∴F(x)>F(0)=0，得證.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及極值點的存在性問題，以及二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)不等式的證明，考查函數(shù)思想，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于難題。18、(1)；單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)【解析】

（1）先由函數(shù)圖像過點，求出，得到函數(shù)解析式，再對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先令在上的最小值為，結(jié)合（1）的結(jié)果，分別討論和兩種情況，即可求出函數(shù)的最小值.【詳解】(1)∵函數(shù)的圖象過點∴∴故.令得當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增.所以，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)令在上的最小值為，由(1)知，當(dāng)時當(dāng)，在上單調(diào)遞增，∴綜上所述：的最小值.【點睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等即可，屬于?？碱}型.19、（1）-1或3（2）【解析】

（1）由絕對值不等式得,于是令可得答案；（2）先計算，再分和兩種情況可得到答案.【詳解】（1）由絕對值不等式得令，得或解得或解得不存在，故實數(shù)的值為-1或3（2）由于，則，當(dāng)時，由得，當(dāng)時，由得，此種情況不存在，綜上可得：的取值范圍為【點睛】本題主要考查絕對值不等式的相關(guān)計算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力，對學(xué)生的分類討論的能力要求較高，難度較大.20、（I）（II）結(jié)論為（且不同時為零），證明見解析【解析】

（Ⅰ）將三個式子化簡答案都為.（II）觀察結(jié)構(gòu)歸納結(jié)論為，再利用復(fù)數(shù)的計算證明結(jié)論.【詳解】（I）（II）根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及（I）的計算結(jié)果，可以得到：（且不同時為零）下面進行證明：要證明只需證只需證因為上式成立，所以成立.（或直接利用復(fù)數(shù)的乘除運算得出結(jié)果）【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算和證明，意在考查學(xué)生的歸納能力.21、(1)①當(dāng)時，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；②當(dāng)時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.(2).【解析】

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由于定義域是，可按和分類討論的正負，得單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）由函數(shù)在處取極值得且可得的具體數(shù)值，而不等式可轉(zhuǎn)化為，這樣只要求得的最小值即可．詳解：（Ⅰ）在區(qū)間上，.①若，則，是區(qū)間上的減函數(shù)；②若，令得.在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；綜上所述，①當(dāng)時，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；②當(dāng)時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．（II）因為函數(shù)在處取得極值，所以解得，經(jīng)檢驗滿足題意．由已知，則令，則易得在上遞減，在上遞增，所以，即.點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)極值，用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題．不等式恒成立通常通過分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．22、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）中點為，連接和，證明平面，即可證明；（2）由