人教版高一數(shù)學必修一知識點

2018人教版高一數(shù)學必修一知識點第一章會合與函數(shù)觀點一、會合有關觀點會合的含義會合的中元素的三個特性：(1)元素確實定性如：世界上的山元素的互異性如：由HAPPY勺字母組成的會合｛H,A,P,Y｝元素的無序性：如：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一個會合會合的表示：｛｝如：｛我校的籃球隊員｝,｛太平洋，大西洋,印度洋,北冰洋｝(1)用拉丁字母表示會合：A=｛我校的籃球隊員｝,B二｛1,2,3,4,5｝(2)會合的表示方法：列舉法與描繪法。注意：常用數(shù)集及其記法：XKb1.Com非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N正整數(shù)集：N*或N+整數(shù)集：Z有理數(shù)集：Q實數(shù)集：R列舉法：{a,b,c}描繪法：將會合中的元素的公共屬性描繪出來，寫在大括號內(nèi)表示會合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}語言描繪法：例：{不是直角三角形的三角形}4)Venn圖:4、會合的分類：有限集含有有限個元素的會合無限集含有無限個元素的會合(3)空集不含任何元素的會合例：{x|x2=—5}二、會合間的基本關系“包含”關系—子集會合。反之：會合A不包含于會合B,或會合B不包含會合A,記作AB或BA2.“相等”關系：A=B（5>5,且5<5,則5=5）實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩會合相等”即：①任何一個會合是它本身的子集。AA②真子集：如果AB，且AB那就說會合A是會合B的真子集，記作AB（或BA）③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B3.不含任何元素的會合叫做空集，記為①規(guī)定：空集是任何會合的子集，空集是任何非空會合的真子集。4.子集個數(shù)：有n個元素的會合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-1個非空子集，含有2n-1個非空真子集三、會合的運算運算種類交集并集補集定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的會合，叫做A,B的交集.記作AB（讀作‘A交B'）,即卩AB={x|xA，且xB}.由所有屬于會合A或屬于會合B的元素所組成的會合，叫做A,B的并集.記作：AB（讀作‘A并B'）,即卩AB={x|xA，或xB}）.設S是一個會合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的會合，叫做S中子集A的補集(或余集)記作，即CSA=性質AA=AA①二①AB=BAABAABBAA=AA①=AAB=BAABAABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=①.二、函數(shù)的有關觀點1.函數(shù)的觀點設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于會合A中的隨意一個數(shù)x，在會合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱f:A-B為從會合A到會合B的一個函數(shù).記作：y=f(x),x?A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的會合｛f(x)|x?A｝叫做函數(shù)的值域.1.定義域：能使函數(shù)式存心義的實數(shù)x的會合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：分式的分母不等于零；偶次方根的被開方數(shù)不小于零；對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)經(jīng)過四則運算聯(lián)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都存心義的x的值組成的會合.指數(shù)為零底不能夠等于零，(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題存心義.相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關)；②定義域一致(兩點必須同時具備)2．值域:先考慮其定義域察見解(2)配方法(3)代換法函數(shù)圖象知識概括定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(x?A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,y)的會合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x?A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均知足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以知足y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.畫法描點法：2.圖象變換法：常用變換方法有三種：1）平移變換2）伸縮變換3）對稱變換4．區(qū)間的觀點1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．映射一般地，設A、B是兩個非空的會合，如果按某一個確定的對應法例f,使對于會合A中的隨意一個元素x，在會合B中都有確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:AB為從會合A到會合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：A-B來說，則應知足：1）會合A中的每一個元素，在會合B中都有象，并且象是的；2）會合A中不同的元素，在會合B中對應的象能夠是同一個；3）不要求會合B中的每一個元素在會合A中都有原象。分段函數(shù)1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。2）各部分的自變量的取值情況．(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補充：復合函數(shù)如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),則y=f[g(x)]=F(x)(x?A)稱為f、g的復合函數(shù)。二．函數(shù)的性質1.函數(shù)的單一性(局部性質)(1)增函數(shù)設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的隨意兩個自變量x1,x2,當x1如果對于區(qū)間D上的隨意兩個自變量的值xl,x2，當x1注意：函數(shù)的單一性是函數(shù)的局部性質；(2)圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上擁有(嚴格的)單一性，在單一區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上漲的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).

函數(shù)單一區(qū)間與單一性的判斷方法(A)定義法：(1)任取xl,x2?D,且x1(2)作差f(x1)—f(x2);或者做商(3)變形(往常是因式分解和配方);(4)定號(即判斷差f(x1)—f(x2)的正負);(5)下結論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單一性).圖象法(從圖象上看升降)復合函數(shù)的單一性復合函數(shù)f[g(x)]的單一性與組成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單一性親密有關,其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單一區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單一性相同的區(qū)間和在一同寫成其并集.函數(shù)的奇偶性(整體性質)偶函數(shù)：一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的隨意一個x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).奇函數(shù)：一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的隨意一個x,都有f(—x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3)擁有奇偶性的函數(shù)的圖象的特點：偶函數(shù)的圖象對于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象對于原點對稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：O1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否對于原點對稱；02確定f(—x)與f(x)的關系；03作出相應結論：若f(—x)=f(x)或f(—x)—f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(—x)=—f(x)或f(—x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．注意：函數(shù)定義域對于原點對稱是函數(shù)擁有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否對于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判斷;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判斷;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判斷.10、函數(shù)的解析表達式(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法例，二是要求出函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有：1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法11．函數(shù)(小)值01利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的(小)值02利用圖象求函數(shù)的(小)值03利用函數(shù)單一性的判斷函數(shù)的(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單一遞增，在區(qū)間[b,c]上單一遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單一遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第三章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算1．根式的觀點：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且?*.負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當是奇數(shù)時，，當是偶數(shù)時，2．分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒存心義03．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質1)•；2）；3）．（二）指數(shù)函數(shù)及其性質1、指數(shù)函數(shù)的觀點：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質a>10定義域R定義域R值域y>0值域y>0在R上單一遞增在R上單一遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點（0，1）函數(shù)圖象都過定點（0，1）注意：利用函數(shù)的單一性，聯(lián)合圖象還能夠看出：1）在［a,b］上，值域是或；2）若，則；取遍所有正數(shù)當且僅當；3）對于指數(shù)函數(shù)，總有；、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1．對數(shù)的觀點：—底數(shù)，—一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：真數(shù)，—對數(shù)式）說明：O1注意底數(shù)的限制，且；O2;03注意對數(shù)的書寫格式.兩個重要對數(shù)：O1常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)；02自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù).指數(shù)式與對數(shù)式的互化冪值真數(shù)=N=b底數(shù)指數(shù)對數(shù)（二）對數(shù)的運算性質如果，且，，，那么：01•+;O2-;03．注意：換底公式：（，且;，且;）．利用換底公式推導下面的結論：（1）;（2）．（3）、重要的公式①、負數(shù)與零沒有對數(shù)；②、，③、對數(shù)恒等式（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的觀點：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+乂）.注意：01對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)近似，都是形式定義，注意鑒別。如：，都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).02對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且.2、對數(shù)函數(shù)的性質：a>10定義域x>0定義域x>0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點（1，0）函數(shù)圖象都過定點（1，0）三)冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．2、冪函數(shù)性質概括．所有的幕函數(shù)在(0,+乂)都有定義并且圖象都過點(1,1)；時,冪函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地,當時,冪函數(shù)的圖象下凸；當時,冪函數(shù)的圖象上凸；(3)時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi),當從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．第四章函數(shù)的應用一、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的觀點：對于函數(shù),把使建立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．3、函數(shù)零點的求法：01(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;O2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，能夠將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點．4、二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)．0,交點，二("△>方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個次函數(shù)有兩個零點．^=0，方程有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．(3)^<0,方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點．函數(shù)的模型【二】函數(shù)的奇偶性(1)若f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函數(shù),0在其定義域內(nèi),則f(0)=0(可用于求參數(shù)）;判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)半0);若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;(5)奇函數(shù)在對稱的單一區(qū)間內(nèi)有相同的單一性;偶函數(shù)在對稱的單一區(qū)間內(nèi)有相反的單一性;復合函數(shù)的有關問題復合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a<g(x)<b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x?[a,b]時，求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。(2)復合函數(shù)的單一性由“同增異減”判斷;函數(shù)圖像(或方程曲線的對稱性)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上隨意點對于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上隨意點對于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然；曲線C1:f(x,y)=O,對于y=x+a(y二-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲線C1:f(x,y)=0對于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函數(shù)y=f(x)對x?R時，f(a+x)=f(a-x)恒建立，則y=f(x)圖像對于直線x=a對稱;(6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像對于直線x二對稱；函數(shù)的周期性(1)y=f(x)對x?R時，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒建立，則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；(2)若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又對于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2|a丨的周期函數(shù)；(3)若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又對于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù);(4)若y=f(x)對于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數(shù)；(5)y=f(x)的圖象對于直線x=a,x=b(a工b)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；(6)y=f(x)對x?R時，f(x+a)二-f(x)(或