山東省煙臺市高一下學期期中數學試題（解析版）

第18頁/共18頁第二學期期中學業(yè)水平診斷高一數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用復數的除法運算求出復數，再求出作答.【詳解】依題意，，所以.故選：B2.已知向量、的夾角為，，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量數量積的運算性質可求得的值.【詳解】因為向量、的夾角為，，，則，因此，.故選：B.3.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據同角三角函數的基本關系求出，再根據利用兩角差的正弦公式計算可得.【詳解】因為，且，則，所以，所以.故選：C4.故宮是世界上規(guī)模最大，保存最為完整的木質結構古建筑群，故宮“乾清宮”宮殿房檐的設計在夏至前后幾天屋檐遮陰，在冬至前后幾天正午太陽光就會通過地磚反射到“正大光明”匾上，驚艷絕倫．已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角為73°，冬至前后正午太陽高度角為，如圖，測得，則房檐A點距地面的高度為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形的邊角關系及正弦定理解決本題即可.【詳解】設點A在地面的射影為D，由已知得，，則；在三角形ABC中，由正弦定理，得.在直角三角形ABD中，.故選：D5.在中，點D為BC中點，E為AD中點，記，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據平面向量的基本定理，利用基向量，結合向量的運算進行求解.【詳解】因為點D為BC中點，所以；因為E為AD中點，所以；所以.故選：A.6.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡、、，利用正切函數的單調性以及同角三角函數的基本關系可得出、、的大小關系.【詳解】，，，因為，則，即.故選：C.7.設函數，，若存在，使得，則實數m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數在上的值域，再根據已知求出m的范圍作答.【詳解】，，顯然，當時，，當時，，因此，，，而，則當，即時，，當，即時，，即，依題意，，所以實數m的取值范圍為是.故選：C8.在銳角中，角所對的邊分別為．若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，根據正弦定理邊化角，再消去，可得，利用三角形是銳角三角形，可得，進而求出，對化簡，可求出結果．【詳解】因為，由正弦定理可知，，又，所以所以，所以即，又是銳角，則，則，，所以，即，所以，解得，所以.，則，則，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數，則（）A.z的虛部為 B.在復平面內對應的點在第四象限C. D.z是關于x方程的一個根【答案】BCD【解析】【分析】把復數化成，利用復數的意義判斷A；求出、判斷BC；利用復數的四則運算計算判斷D作答.【詳解】依題意，復數，復數z的虛部為，A錯誤；在復平面內對應的點在第四象限，B正確；，，則，C正確；，即z是關于x的方程的一個根，D正確.故選：BCD10.已知向量，，，則下列說法正確的是（）A.若，則與夾角的余弦值為 B.若，則C.若，則與的夾角為銳角 D.向量在上的投影向量是【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量數量積的坐標運算可判斷A選項；由平面向量共線的坐標表示可判斷B選項；分析可知且與不共線，求出的取值范圍，可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當時，，則，A對；對于B選項，因為，，，則，若，則，解得，B對；對于C選項，若與夾角為銳角，則，解得，且與不共線，所以，，所以，當且時，與的夾角為銳角，C錯；對于D選項，向量在上的投影向量，D對.故選：ABD.11.函數的部分圖象如圖所示，則（）A.函數在區(qū)間上單調遞增B.是函數的一個對稱中心C.函數在區(qū)間上的最大值2D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據給定的函數圖象，求出函數的解析式，再逐項分析、計算判斷作答.【詳解】觀察圖象知，，，即，而，解得，，有，因為點與在函數圖象上相鄰，因此，解得，于是，對于A，當時，，而正弦函數在上單調遞增，所以函數在區(qū)間上單調遞增，A正確；對于B，當時，，不是函數的一個對稱中心，B正確；對于C，當時，，當，即時，取得最大值2，C正確；對于D，取，有，此時有，而，D錯誤.故選：AC12.在中，角所對的邊分別為，，，O為外接圓圓心，則下列結論正確的有（）A. B.外接圓面積為C. D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據給定條件，利用正弦定理邊化角，結合誘導公式及二倍角正弦求出角A，再利用正余弦定理、三角形面積公式、數量積運算計算判斷各選項作答.【詳解】在中，由正弦定理及得：，而，則有，即，又，，則，所以，即，A正確；由正弦定理得外接圓半徑，該圓面積，B錯誤；如圖，，C正確；由余弦定理得：，當且僅當時取等號，因此，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據給定條件，求出，再利用差角的正弦求解作答.【詳解】因為，兩邊平方得：，解得，又，即，則，所以,故答案為：14.寫出一個同時滿足以下三個性質的函數：______．（寫出一個符合條件的即可）①對于任意，都有；②的圖象關于直線對稱；③的值域為．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由性質①可得的周期為，再由性質②③寫出滿足3個性質的一個函數即可.【詳解】任意，，即函數是周期為的周期函數，則由性質①，可令，由性質②知，，而，則，由性質③知，，解得，于是，所以同時滿足給定三個性質的函數可以為.故答案為：15.在中，，，D是邊AB上一點，且滿足，則的值為______．【答案】2【解析】【分析】由可得為邊上的高，利用邊長關系可求，再利用向量關系轉化后可求的值.詳解】因為，故即，故為邊上的高，故.又可化為，而，所以，整理得到：，故，故即故答案為：2.16.趙爽是我國漢代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》作注解時，給出了“趙爽弦圖”：四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大的正方形．如圖所示，正方形ABCD的邊長為，正方形EFGH邊長為1，則的值為______；______．【答案】①.6②.【解析】【分析】根據給定的“趙爽弦圖”，利用勾股定理求出的值，再利用向量數量積的定義求出，利用和角的正切求出作答.【詳解】依題意，全等，在中，，由得：，即，又，解得，；，所以.故答案為：6；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知復數是純虛數，求的值；（2）已知，，，求與夾角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據純虛數的定義，求得與，從而求出，由兩角和的正切公式即可求出的值;（2）根據向量的模的公式和兩個向量的夾角公式，即可求出.【詳解】（1）因為復數是純虛數，所以，即且，所以，又因為，所以，則，所以.（2）因為，所以，即，所以，整理得，所以，，設與夾角為，,因為，所以，故與夾角為.18.已知向量，向量與的夾角為，且．（1）求向量的坐標；（2）設向量，，向量，若，求的最大值并求出此時x的取值集合．【答案】（1）或；（2）3，.【解析】【分析】（1）設出向量的坐標，利用向量數量積和向量的模建立方程組并求解作答.（2）由（1）的結論結合確定向量，再求出并借助輔助角公式及正弦函數性質求解任何.【小問1詳解】設，依題意，，，而，因此，解得或，所以向量的坐標是或.【小問2詳解】向量，且，當時，，不符合題意，舍去，當時，，符合題意，即，則，，因為，則當，即時，，所以的最大值是3，此時x的取值集合是.19.在中，角所對的邊分別為，且．（1）求角C的大?。唬?）若，，求的周長．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合兩角和差正弦公式可化簡求得，由此可得.（2）由三角形面積公式可求得，利用余弦定理可構造方程求得，由此可得三角形周長.【小問1詳解】在中，由正弦定理及得：，整理得：，而，則，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，依題意，，解得，由余弦定理得：，解得：，所以的周長.20.觀察以下各式：；；．分析以上各式的共同特點，寫出一個能反映一般規(guī)律的等式，并證明該等式．【答案】見解析【解析】【分析】利用兩角和與差的正切公式即可證明.【詳解】，其中，證明：，則，則左邊右邊.故等式成立.21.綠水青山就是金山銀山．近年來，祖國各地依托本地自然資源，打造旅游產業(yè)，旅游業(yè)蓬勃發(fā)展．某景區(qū)有一直角三角形區(qū)域，如圖，，，，現準備在中間區(qū)域打造兒童樂園，M，N都在邊AC（不含A，C）上且，設．（1）若，求的值；（2）求面積的最小值和此時角值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用給定的條件，利用同角公式、誘導公式及和角的余弦公式計算作答.（2）利用正弦定理用正余弦表示，再利用三角形面積公式列式，借助三角恒等變換及正弦函數的性質求解作答.【小問1詳解】依題意，，則，而，.【小問2詳解】在中，由正弦定理得，而，，則，在中，，，，在中，由正弦定理得，，而，，，，顯然，有，，則當，即時，取得最大值，，所以當時，面積取得最小值.22.設函數，將函數的圖象向右平移個單位長度后圖象關于原點對稱．（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，①若，求的值；②若，，求c的取值范圍．【答案】（1）；（2）①2；②.【解析】【分析】（1）利用誘導公式化簡函數