有限元基礎(chǔ)三

2.3廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式常用二維單元3結(jié)點(diǎn)單元6結(jié)點(diǎn)單元4結(jié)點(diǎn)單元8結(jié)點(diǎn)單元常用三維單元2.3.1選擇單元位移函數(shù)的一般原則原則1：廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)應(yīng)與單元結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等否則待定廣義坐標(biāo)無法以單元結(jié)點(diǎn)位移來表示。例如：3結(jié)點(diǎn)三角形單元有6個(gè)自由度，因此其廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)只能是6，每個(gè)方向3個(gè)。

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y原則2：多項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)必須完備例：u=1+2x+3y

v=4+5x+6y目的：確保所選位移模式能反映單元的剛體位移和常應(yīng)變特性原則3：多項(xiàng)式選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完全多項(xiàng)式對(duì)于平面問題：一次完全多項(xiàng)式：x,y二次完全多項(xiàng)式：x2,xy,y2三次完全多項(xiàng)式：x3,x2y,xy2,y3若由于項(xiàng)數(shù)限制不能選取完全多項(xiàng)式時(shí)，選擇的多項(xiàng)式應(yīng)具有坐標(biāo)對(duì)稱性。且一個(gè)方向的次數(shù)不應(yīng)超過完全多項(xiàng)式的次數(shù)。如二次：xy三次：x2y,xy22.3.2廣義坐標(biāo)有限元的一般格式1.以廣義坐標(biāo)為待定參數(shù)，給出單元內(nèi)位移uu=(2.3.1)對(duì)于二維問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y2.用單元結(jié)點(diǎn)位移表示廣義坐標(biāo)慣用的單元結(jié)點(diǎn)位移排列是

ae=[u1

v1

u2

v2

]T為清楚地表明求解廣義坐標(biāo)的過程，可暫時(shí)采用另一表示方法=[u1

u2v1

v2]T將單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入位移模式(2.3.1)得：(2.3.2)對(duì)于二維問題由(2.3.2)式解出(2.3.3)對(duì)于二維問題為的伴隨矩陣其中3.以單元結(jié)點(diǎn)位移ae表示單元位移函數(shù)u將(2.3.3)式代入(2.3.1)式，得(2.3.4)對(duì)于二維問題將結(jié)點(diǎn)位移改為一般排列順序ae，則有(2.3.5)4.以單元結(jié)點(diǎn)位移ae表示單元應(yīng)變和應(yīng)力應(yīng)變：(2.3.6)應(yīng)力：由彈性變形產(chǎn)生的應(yīng)力當(dāng)有初應(yīng)力和初應(yīng)變時(shí)，應(yīng)力的一般表達(dá)式為(2.3.7)5.用最小位能原理建立離散體系的結(jié)點(diǎn)平衡方程系統(tǒng)總位能的離散形式(2.3.8)將，，u等代入，并以結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移a來表示單元結(jié)點(diǎn)位移ae，即ae＝Ga則系統(tǒng)總位能為：（2.3.9）總位能的變分p＝0，得有限元求解方程

Ka＝P（2.3.10）其中K＝GTKeG（2.3.11）（2.3.12）方程（更2.3瀉.10產(chǎn)）中載社荷項(xiàng)：（2.3始.13）其中（2.際3.1條4）6.閉引入具強(qiáng)制邊休界條件懲7.罷解甘方程得挖到結(jié)點(diǎn)犁位移攜8.禾進(jìn)行皺必要的岸輔助計(jì)仇算廣義坐偽標(biāo)有限葉元可能瞇產(chǎn)生的庭困難：當(dāng)位移函暖數(shù)選擇不驅(qū)恰當(dāng)時(shí)，A-1可能不存易在，使得鉗求解廣義急坐標(biāo)成為不可能。當(dāng)單元象結(jié)點(diǎn)較而多時(shí)，貨求解廣居義坐標(biāo)的過程太才復(fù)雜。2.4蜜有限元譜解的性質(zhì)廣和收斂性2.4鞏.1柔有限質(zhì)元解的愿收斂準(zhǔn)筍則以一個(gè)標(biāo)組量場函數(shù)染為例討論緒：微分方雄程巖A()＝屯L（）＋b包＝0相應(yīng)的龍泛函為假定中包含和它直至m階的各序階導(dǎo)數(shù)峰，若m階導(dǎo)數(shù)吐非零，翅則近似疾函數(shù)呼至少必姜須是m次多項(xiàng)式鋤。若取p次完全多師項(xiàng)式為試付探函數(shù)，岔則必須滿詠?zhàn)鉷≥m，這時(shí)知及訪其各階導(dǎo)藥數(shù)為：收斂準(zhǔn)則測1：完奪備性要求如果出攀現(xiàn)在泛滿函中的辯場函數(shù)餡的最高衛(wèi)階導(dǎo)數(shù)商是m階，則有束限元解收事斂的條件玻之一是單塔元內(nèi)場函紛數(shù)的試探頸函數(shù)至少獲是m次完全多傭項(xiàng)式。或炒者說，試躍探函數(shù)中番必須包含呀本身和直靠至m階導(dǎo)數(shù)塊為常數(shù)嫂的項(xiàng)。單元的插嫁值函數(shù)滿勾足上述要彈求時(shí)，稱喚單元是完備的。收斂準(zhǔn)屈則2冤：協(xié)調(diào)芝性要求如果出廳現(xiàn)在泛牽函中的籃最高階臂導(dǎo)數(shù)是m階，則試鉤探函數(shù)在茂單元交界酬面上必須術(shù)具有Cm-1連續(xù)性，肯即在相鄰確單元的交吸界面上應(yīng)土有函數(shù)直漆至m-1鑰階的連解續(xù)導(dǎo)數(shù)熱。當(dāng)單元廢的插值蒜函數(shù)滿練足上述擊要求時(shí)陽，我們養(yǎng)稱單元劈燕是協(xié)調(diào)的。當(dāng)選取的矛單元既完桑備又協(xié)調(diào)析時(shí)，有限勇元解是收泥斂的，即電當(dāng)單元的驅(qū)尺寸趨于亮零時(shí)，有此限元解趨徑于真解。這種單元倦稱為是協(xié)調(diào)元。需要指出惹，在某些沙情況下，菠可以放松蠶對(duì)協(xié)調(diào)性銅的要求，跳只要這種香單元能通然過分片試摘驗(yàn)，有限場元解仍然窩可以收斂職于正確的卸解答。這瘋種單元稱笛為非協(xié)調(diào)質(zhì)元。2.4逆.2厚收斂被準(zhǔn)則的峽物理意西義以平面問變題為例，覺泛函中出現(xiàn)氏的是位亂移u和v及其一誕階偏導(dǎo)薪數(shù)，xyxy，因此m＝1費(fèi)。收斂準(zhǔn)則獲1要慢求插值函叛數(shù)至少是x、y的一次貧完全多宋項(xiàng)式。u＝1+2x+3yv＝4+5x+6y這樣才六能保證的由此構(gòu)漆成的有孩限元解柿能夠反降映單元零的剛體中位移和宇常應(yīng)變規(guī)狀態(tài)。收斂準(zhǔn)則村2要歌求位移函站數(shù)在單元億交界處具茂有C0連續(xù)性。粘即要求位盲移函數(shù)本鼠身在單元偉交界處連錦續(xù)。如果位獅移不連顏續(xù)，將戶出現(xiàn)兩季個(gè)問題燦：不連續(xù)嬌位移將認(rèn)導(dǎo)致無溉限大應(yīng)辱變，從航而使應(yīng)止變能增暢大。位移不連挽續(xù)意味著東出現(xiàn)裂縫襖或相互嵌蛙入。梁單元僚，泛函匙中出現(xiàn)脖4輩階導(dǎo)數(shù)滑，即m＝40階矛導(dǎo)數(shù)，某即位移聽本身表利示梁的菜撓度；1階裝導(dǎo)數(shù)表哀示梁的肝轉(zhuǎn)角，波或梁軸蒸線的傾軟角2階導(dǎo)課數(shù)表示梁次的軸線曲沫率或彎矩3階導(dǎo)粥數(shù)表示梁午的剪力4階導(dǎo)零數(shù)表示梁懸的載荷集穴度2.4羞.3座收斂湊速度和奪精度估而計(jì)位移場函盈數(shù)的精確季解總可以勾在域內(nèi)一塑點(diǎn)的領(lǐng)域?qū)?nèi)展開成妙一個(gè)多項(xiàng)采式：在尺寸為h的單元內(nèi)望，如果插債值函數(shù)采羨用p階完全多志項(xiàng)式，則秒它能擬合政上式直到粒第p階，所以貼誤差為O(hp+1)。例如：泡3結(jié)閉點(diǎn)三角緒形單元俗，p=1，刻則u的誤差為O(h2)。當(dāng)單包元尺寸減帖半時(shí)，誤墊差是前次必網(wǎng)格的(怒1/2)2=1/摧4。誤差估慌計(jì)與解析帳解相比盟、與同升類問題賭相比不同單壇元尺寸真的解相夾比對(duì)于協(xié)調(diào)丈元，如已妙知收斂速奧度為O(hr)，則傲可由下顏式預(yù)測敘精確解濃：對(duì)于3顫結(jié)點(diǎn)三孕角形單元疾，如r=2，n=2，升則可推得思：u＝(免4u2—u1)/榴3離散誤差惱與截?cái)嗾`程差離散誤差撓是有限元拒方法本身頭的誤差截?cái)嗾`書差和舍頂入誤差沙是計(jì)算額機(jī)有效丸位數(shù)造呆成的誤誼差結(jié)構(gòu)的病熊態(tài)和網(wǎng)格派畸形會(huì)嚴(yán)覽重?cái)U(kuò)大截些斷誤差和宵舍入誤差輝的影響。2.4.渠4位弟移有限元材解的下限靜性質(zhì)系統(tǒng)總墳位能由變分P=0得有限差元求解桌方程：Ka=P代入總椒位能式身得：即在平票衡狀態(tài)漸下，系列統(tǒng)總位痕能等于竭負(fù)的應(yīng)亮變能。因此，炊當(dāng)P→Pmi距n時(shí)，U→Umax在有限閉元解中由于：則有即因?yàn)樗钥梢娊?/p>