向量在立體幾何中的應用 論文

向量在立體幾何中的應用摘要：立體幾何問題一直是高中數(shù)學的一個重難點，自從將“向量”引入高中數(shù)學的學習內容中，高中立體幾何的學習難度逐漸降低。向量在高中數(shù)學中的地位隨著其在立體幾何學習的運用中逐漸地變得重要，本文就以向量在高中數(shù)學立體幾何中的應用展開分析。關鍵詞：高中數(shù)學；向量；立體幾何引言：向量作為解決高中數(shù)學立體幾何問題的參量，具有極其重要的作用，不僅降低了在高中學生學習立體幾何時的難度，還從一定程度上加快了學生的解題速度，為學生考試節(jié)省了大量的時間。本文就向量在立體幾何中的應用展開討論，分析其在解決立體幾何問題時的應用方法和教學策略，希望以此能夠對相關從業(yè)者和部分學生有一定的參考作用。1、向量在立體幾何中應用的重要性

向量在高中數(shù)學的立體幾何中的應用轉變了學生學習立體幾何的方式，從一定程度上降低了學生學習立體幾何的邏輯要求和教師的專業(yè)技能要求。但是向量在降低高中數(shù)學立體幾何的學習難度和解題難度的同時也增加了運算的難度和計算量。所以在運用向量去思考和解決高中數(shù)學的立體幾何問題時一定要注意向量的運算法則只有運算法則熟悉和了解了，才能去靈活的運用和轉換[1]。如下是向量的部分基本運算法則：1設a=(,xy1 1),b=(x2,y2)，則(x1x2,y1y2)；)；2設a=(,xy1 1),b=(x2,y2)，則(x1x2,y1y23設點A(x1y1)，B(x2y2),則

AB

OB

OA.4設a=(,)，R,則ga=(ggy)5設a=(,xy1 1),b=(x2,y2)，則a·b=xx1 2+yy1 22、向量在高中數(shù)學立體幾何中的應用

2.1解決角度問題

利用向量在高中數(shù)學立體幾何中解決角度的問題是一種比較常見的題型。需要解決的角度問題包括異面直線之間形成的夾角、直線與平面之間的夾角以及平面與平面之間的夾角（即二面角）這三種題型，在實際的運用中必須掌握好每種題型所需要的條件和解決問題的方法、其原理都是建立在異面直線之間所成的夾角的問題。唯一不同的是，直線與平面之間的夾角和二面角的解決方法加入了法向量的概念。在解決異面直線所稱夾角的問題時。設有直線m，n，在m，n上取兩個定向量a，b。則向量a，b之間的夾角β或夾角的補角θ等于直線m，n之間形成的夾角。既有coscosa?b特殊情況下有aba?b0即直線m，na?b兩直線相互垂直。需要注意的是利用向量法進行立體幾何問題的角度問題時需要盡量避免過于復雜的邏輯推理和圖形的平移。在解決直線與平面之間的角度問題或者解決平面與平面之間的角度問題時，引入法向量的概念就是為了能夠更加便利的解決線與面之間，面與面之間的夾角問題。學生在解決立體幾何問題時一定要注意找好法向量，就可以讓立體幾何問題變得簡單化。案列1：如圖1所示，從一個四方體

上割掉一個角，取這個角，以AC邊為

x軸，AS邊作為z軸，建立直角坐標系，

由圖可知AC，AB邊均垂直于AS邊，底邊

三角形ABC為等邊三角形，SA=3，AB

=2．試求直線AB與平面SBC之間所

成的角的正弦值大?。飧鶕?jù)題意可以建立空間直角坐標系．∵AS=3，底邊三角形ABC為邊長為2的等邊三角形，圖1

SC，則可列∴A(0，0，0)，B(3，1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，3)設平面的法向量等于(x，y，z)，法向量垂直于向量

SB與向量方程組，再設x等于1，求得法向量n的為,1(,3223)． ∵直線AB與平面SBC所成的夾角的正弦值等于法向量與直線AB之間所成的角的余弦值?！嘤邢蛄渴絬uur

ABn=|uuurAB|·|n|·cosα．又∵uuur

ABn·=(3，1，0)·(1，3，233)，法向量n=433， ∴cosα=3/4，即直線與平面SBC之間的角正弦值為3/4

注：為求直線與平面之間的夾角，先求出平面的法向量，再利用法向量去求直線與平面之間的夾角就會顯得更加具體，避免了復雜的且抽象的空間想象。2.2解決距離的問題

利用向量去求高中數(shù)學立體幾何問題中的距離問題一般比較復雜，題型比較多。比如會有點到點的距離、點到線的距離、點到面的距離、線到面的距離、面到面的距離以及異面直線之間的距離。其中點到點的距離與點到線距離是最基礎的高中立體幾何問題，需要全部學生都掌握的內容，比較難的部分是點到面的距離和先到線之間的距離。在解決點到免得距離問題時需要找到平面的法向量和這個點與平面內一點所構成的向量，然后利用公式即可解決點到面的距離問題。 例2：如圖2,在三棱椎P?ABC中,平

面ABC,D,E,F分別是棱AB、BC、CP的

中點,AB=AC=1,PA=2,

(I)求直線PA與平面DEF所成角

的大小;

(II)求點P到平面DEF的距離[2]。 解(I)以A為坐標原點,建立如圖

空間直角坐標系易知:A(0,0,0), 圖2 B(1,0,0),P(0,0,2),D(1/2,0,0),E(1/2,1/2,0),F(0,1/2,1),所以

AP=(0,0,2),

DE=(0,1/2,0),

DF=(?1/2,1/2,1).設n=(x,y,z)是平面DEF的一個法向量,則n?

DE0即12y01yz0取x=1,1xn?DF022則n=(1,0,1/2),設PA與平面DEF所成的角為θ,則sin

PA?n2155所以arcsin5

PA?n?554(II)n=(1,0,1/2)是平面DEF的一個法向量(已求),

PE=(0,1/2,1)?(0,0,2)=(0,1/2,?1),n1115

PE?2所以點P到平面DEF的距離dn54 注：熟練的運用公式去求點到面的距離之后可以將公式推廣到直線與平面之間的距離以及平行平面之間的距離。 對于高中數(shù)學立體幾何而言，其中的難點在于異面直線之間的距離的求法，尤其是在結合函數(shù)問題之后。在此我們僅討論向量在高中數(shù)學立體幾何中的應用。如何的利用向量去求異面直線之間的距離呢，如下作圖說明：

如圖3,d是異面直線a與b的距離,是直

線a與b的一個法向量A、B分別是直線a,b上的點,顯然:d

PAcos，又cosPA?n圖3

PA?n

PA?n所以dn[3]。3、利用向量解決高中立體幾何問題的解題步驟

將向量引入高中數(shù)學立體幾何中解決問題，一般有兩種思考模式。第一種是直接用向量的代數(shù)式計算。但這種方式運算量大，極易出錯，所以一般情況下并不建議學生直接利用這種方法去計算。第二種方法是先建立向量的坐標進行計算，這種方式思維量較少，運算量小，出錯的概率小，但是對于解題構思的技巧性要求較高，對學生的專業(yè)水平和解題技巧都有較高的要求。在這里僅作用向量坐標進行運算的解題步驟。 （1）建立直角坐標系。要求讓盡可能多的已知點落在坐標內，或者讓經過一直點的線可以有三條兩兩垂直的線，如果沒有就考慮找兩條互相垂直的線再做出第三條垂直于這兩條直線的線，建立向量的空間坐標系。需要注意的是在運算和表達的過程中要保證所寫的點與建立的坐標系相對應；

（2）將所有可能知道坐標的點的坐標都寫出來，并且仔細核對；

（3）寫出已知的向量坐標或者利用已知點或直線求出向量，該過程需要注意向量的方向；

（4）依據(jù)問題找到合適的解決方法，需要仔細的想明白每一個向量公式表達的意思和運用的情況。4、向量在高中數(shù)學立體幾何中應用的教學策略

4.1強化空間向量的教學

向量法是解決高中數(shù)學立體幾何問題的有效工具，其不僅能夠在對立體幾何問題的理解上幫助學生，更能幫助學生能更好的理清解題思路。這是一種可以有效的完成代數(shù)和幾何問題的有效途徑，實現(xiàn)數(shù)與形的結合，使學生能更加有效的解決幾何問題。尤其是當學生面對綜合性較強的立體幾何問題時，利用向量法可以有效的幫助學生降低題目難度，幫助學生理清解題思路，幫助學生將立體幾何問題轉化為代數(shù)問題，避免了學生進行抽象的空間思維和邏輯推理過程，讓學生只需要通過代數(shù)計算就可以明白其中的原理，用最快的方式解決問題。所以，教師在向學生講授向量時就應該注意要強化對學生“向量”部分內容的教學，讓學生建立起數(shù)與形相互轉化的思維，對數(shù)與形的轉換有一個清晰明確的人是。體驗由向量將立體幾何問題轉化為代數(shù)問題的過程，幫助學生塑造數(shù)形像統(tǒng)一結合的思維模式。這樣學生在解決實際問題的時候就可以將立體幾何問題轉化成為代數(shù)問題，進而解決立體幾何問題。必要時學生也可以通過向量將部分代數(shù)問題快速的轉化為幾何問題而瞬間找到答案。4.2幫助學生加強對公式的了解

將向量引入高中數(shù)學立體幾何問題的過程中，也將很多向量的運算法則和公式引入了高中數(shù)學的立體幾何中。很多學生可能會熟悉向量運算的基本運算規(guī)律，但是對于一些常用的變形公式，其掌握程度就會比較差，在解決實際問題時，往往會遇到忘記公式，記錯公式或者干脆不用等問題。這對于將向量引入高中數(shù)學立體幾何應用的進程時相當不利的，對學生的發(fā)展和考核會造成極大的障礙。所以在日常教學過程中，教師不僅是要將這些公式展示給學生看，還必須向學生展示說明這些公式的來源、用法和限制條件、在實際解題過程中又會有怎樣的變化以及與其他公式或知識之間的聯(lián)系等。除此之外教師還可以對統(tǒng)一公式選用多種不同類型的題目，讓學生去練習。讓學生在不斷地訓練中獲取知識，加深對公式的理解，學會對這些公式的靈活運用和變通。讓學生在日常練習中不知不覺得就加強了對公式的理解。4.3對比向量法與綜合法的區(qū)別

對于高中學生而言，面對立體幾何的問題一般就有兩種解題思路，一種是利用綜合法，即在不借用其他工具的情況下，對立體幾何問題所涉及的元素進行討論研究。這種方式是比較傳統(tǒng)的解題方式。對學生的空間想象能力和邏輯思維能力以及轉化化歸的數(shù)學思想有著極高的要求，在平常的教學過程中采取這種解題思路有助于學生培養(yǎng)解決立體幾何問題的綜合能力。但是其缺點是解題所需要很強的技巧，缺乏一般的規(guī)律性，學生在利用這種方法進行學習和思考時往往會花費大量的時間，而不一定會有好的結果。這種方式會在一定程度上打擊學生學習的積極性。而向量法相對于綜合法而言，其使用的要求較低，有向量和向量的運算公式作為運算工具。況且在實際的利用過程中學生面對較復雜的立體幾何問題時可直接用向量代數(shù)法進行運算。這種解題方法需要教師對學生的數(shù)形結合的思想和轉化化歸的數(shù)學思想進行培養(yǎng)和提升。與綜合法相比，向量法對于學生的運算能力有著較高的要求。因為在利用向量將幾何問題轉化為代數(shù)問題之后需要進行大量的代數(shù)運算或者引用向量的計算公式。教師在實際教學過程中需要將這兩種方式進行對比教學，讓學生明白每一種解題思路的優(yōu)勢與缺點，讓學生在面對不同題型的時候準確把握題目類型，找到合適的解題方式，節(jié)省解題時間，減少錯誤率，提高學生的學習成績，增強學生關于解決高中立體幾何問題的信心?？偨Y：綜上所述，向量在高中數(shù)學立體幾何問題中的應用可以幫助學生解決立體幾何中關于“角”和“距離”的問題，學