多元函數(shù)微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

多元函數(shù)微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一.空間曲線的切線和法平面切線當(dāng)M沿曲線L趨向于時,割線的極限位置MT法平面過而垂直于切線的平面1.設(shè)曲線導(dǎo)數(shù)不全為零即第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一切向量切線方程法平面方程2.設(shè)曲線將x視為參數(shù),切線方程法平面方程第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一3.設(shè)曲線因為它確定隱函數(shù)y=y(x),z=z(x),所以利用隱函數(shù)微分法及情形2即可解決.例1求曲線在點(1,1,1)處的切線和法平面.法平面方程切線方程第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一例2求曲線在點(1,1,1)處的切線和法平面.方程兩邊對x求導(dǎo):在(1,1,1)點解得:法平面方程切線方程第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一二.曲面的切平面與法線若曲面上過點的任意曲線的切線都位于同一平面.切平面過且與切平面垂直的直線法線1.設(shè)曲面方程為在該點偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且不全為零.是曲面上過的任一曲線:因為兩邊對t求導(dǎo)第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一切平面法線2.設(shè)曲面方程為設(shè)當(dāng)作第一種情形計算.切平面的法向量第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一例4.在哪一點處的法線垂直于.例3.求在點(2,1,4)處的切平面和法線.在點(2,1,4):切平面方程法線方程第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一三.多元函數(shù)的極值定義:設(shè)z=f(x,y)在點的某鄰域內(nèi)有定義,如果在該鄰域內(nèi)則稱z=f(x,y)在點有極大值;反之,為極小值.極值極值點例如:極大值f(0,0)=1.極小值f(0,0)=0;第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一定理1(極值必要條件)設(shè)z=f(x,y)在點具有偏導(dǎo)數(shù)且有極值,則駐點注:(1).由偏導(dǎo)數(shù)及一元函數(shù)極值易證;(2).(3).駐點不一定是極值點.例如:(0,0)是函數(shù)z=xy的駐點,但f(0,0)既不是極大值也不是極小值.第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一定理2(極值充分條件)設(shè)z=f(x,y)在點的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且記則時,是極值,且A<0時極大,A>0時極小.時,不一定是極值.時,不是極值;第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一例5.求的極值.駐點(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)在(1,0):f(1,0)=-5是極小值;在(1,2)及(-3,0):,不是極值;在(-3,2):f(-3,2)=31是極大值.注意:在多元函數(shù)中,我們只討論可導(dǎo)函數(shù)的極值.第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一最大值和最小值問題:(1).在閉區(qū)域上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值,此時可以仿照一元函數(shù)的方法來比較求出.(2).在實際問題中,若問題的性質(zhì)決定了最大值(最小值)一定在D內(nèi)取得而函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點,則該點處的函數(shù)值就是最大值(最小值).例6.用鐵板作一容積為V的無蓋長方箱,尺寸怎樣時,用料最省?設(shè)長寬高分別為x,y,z,而V=xyz駐點即為所求第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一例7.把寬為24cm的長方形鐵板兩邊折起來做成斷面為等腰梯形的水槽.怎樣折才能使斷面面積最大?設(shè)折起來的邊長為x,傾角為24-xx可以解得駐點:即為所求四.條件極值對自變量有附加條件的極值例6就可以看作條件極值問題.前面的極值叫做無條件極值第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一條件極值計算法:方法一.化為無條件極值;方法二.拉格朗日乘數(shù)法:條件簡單時,如例6條件復(fù)雜或多個時例如,求在條件下的極值1.作函數(shù)拉格朗日乘數(shù)3.解出駐點(條件駐點);4.判斷是否為條件極值點.判別法不要求,會用實際問題性質(zhì)判斷即可注:該方法可推廣到自變量多于兩個,條件多于一個的情形.第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一例6.解法二:解出條件駐點:求在條件下的極值因為是唯一的駐點,所以即為所求第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)(x,y,z)為橢圓上一點,則x,y,z滿足及距離解得:最長距離最短距離例8.拋物面被平面截成一個