配套課件 數(shù)字信號(hào)處理(第四版)-高西全

緒論

1．?dāng)?shù)字信號(hào)處理的基本概念

幾乎在所有的工程技術(shù)領(lǐng)域中都會(huì)涉及到信號(hào)處理問(wèn)題，其信號(hào)表現(xiàn)形式有電、磁、機(jī)械以及熱、光、聲等。信號(hào)處理一般包括數(shù)據(jù)采集以及對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析、變換、綜合、估值與識(shí)別等。

這里的信號(hào)類別有4種：第1種是連續(xù)信號(hào)(即模擬信號(hào))，它的幅度和時(shí)間都取連續(xù)變量；第2種是時(shí)域離散信號(hào)，其幅度取連續(xù)變量，而時(shí)間取離散值；第3種是幅度離散信號(hào)，其時(shí)間變量取連續(xù)值，幅度取離散值，如振幅鍵控信號(hào)；第4種是數(shù)字信號(hào)，它的幅度和時(shí)間都取離散值。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)字信號(hào)處理的對(duì)象是數(shù)字信號(hào)，模擬信號(hào)處理的對(duì)象是模擬信號(hào)。但是，如果系統(tǒng)中增加數(shù)/模轉(zhuǎn)換器和模/數(shù)轉(zhuǎn)換器，那么，數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)也可以處理模擬信號(hào)。這里關(guān)鍵的問(wèn)題是兩種信號(hào)處理系統(tǒng)對(duì)信號(hào)處理的方式不同，數(shù)字信號(hào)處理是采用數(shù)值計(jì)算的方法完成對(duì)信號(hào)的處理，而模擬信號(hào)處理則是通過(guò)一些模擬器件，例如晶體管、運(yùn)算放大器、電阻、電容、電感等，完成對(duì)信號(hào)的處理。例如，圖0.0.1(a)所示的是一個(gè)簡(jiǎn)單的模擬高通濾波器，它是由電阻R和電容C組成的，而圖0.0.1(b)所示的則是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字高通濾波器，它是由一個(gè)加法器、一個(gè)乘法器和一個(gè)延時(shí)器組成的。因此，簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)字信號(hào)處理就是用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，這里“處理”的實(shí)質(zhì)是“運(yùn)算”，處理對(duì)象則包括模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)。圖0.0.1高通濾波器簡(jiǎn)型

2．?dāng)?shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)方法數(shù)字信號(hào)處理的主要對(duì)象是數(shù)字信號(hào)，且是采用數(shù)值運(yùn)算的方法達(dá)到處理目的的。因此，其實(shí)現(xiàn)方法不同于模擬信號(hào)的實(shí)現(xiàn)方法，基本上可以分成兩種，即軟件實(shí)現(xiàn)方法和硬件實(shí)現(xiàn)方法。軟件實(shí)現(xiàn)方法指的是按照原理和算法，自己編寫程序或者采用現(xiàn)成的程序在通用計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)；硬件實(shí)現(xiàn)是按照具體的要求和算法，設(shè)計(jì)硬件結(jié)構(gòu)圖，用乘法器、加法器、延時(shí)器、控制器、存儲(chǔ)器以及輸入輸出接口等基本部件實(shí)現(xiàn)的一種方法。顯然,軟件實(shí)現(xiàn)靈活，只要改變程序中的有關(guān)參數(shù)，例如只要改變圖0.0.1(b)中的參數(shù)a，數(shù)字濾波器可能就是低通、帶通或高通濾波器，但是運(yùn)算速度慢，一般達(dá)不到實(shí)時(shí)處理，因此，這種方法適合于算法研究和仿真。硬件實(shí)現(xiàn)運(yùn)算速度快，可以達(dá)到實(shí)時(shí)處理要求，但是不靈活。用單片機(jī)實(shí)現(xiàn)的方法屬于軟硬結(jié)合實(shí)現(xiàn)，現(xiàn)在單片機(jī)發(fā)展很快，功能也很強(qiáng)，配以數(shù)字信號(hào)處理軟件，既靈活，速度又比軟件方法快，這種方法適用于數(shù)字控制等。采用專用的數(shù)字信號(hào)處理芯片(DSP芯片)是目前發(fā)展最快、應(yīng)用最廣的一種方法。因?yàn)镈SP芯片比通用單片機(jī)有更為突出的優(yōu)點(diǎn)，它結(jié)合了數(shù)字信號(hào)處理的特點(diǎn)，內(nèi)部配有乘法器和累加器，結(jié)構(gòu)上采用了流水線工作方式以及并行結(jié)構(gòu)、多總線，且配有適合數(shù)字信號(hào)處理的指令，是一類可實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)算的微處理器。DSP芯片已由最初的8位發(fā)展為16位、32位，且性能優(yōu)良的高速DSP不斷面市，價(jià)格也在不斷下降?？梢哉f(shuō)，用DSP芯片實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理，正在變成或已經(jīng)變成工程技術(shù)領(lǐng)域中的主要實(shí)現(xiàn)方法。綜上所述，如果從數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)際應(yīng)用情況和發(fā)展考慮，數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)方法分成軟件實(shí)現(xiàn)和硬件實(shí)現(xiàn)兩大類。而硬件實(shí)現(xiàn)指的是選用合適的DSP芯片，配有適合芯片語(yǔ)言及任務(wù)要求的軟件，實(shí)現(xiàn)某種信號(hào)處理功能的一種方法。這種系統(tǒng)無(wú)疑是一種最佳的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)。對(duì)于更高速的實(shí)時(shí)系統(tǒng)，DSP的速度也不滿足要求時(shí)，應(yīng)采用可編程超大規(guī)模器件或開發(fā)專用芯片來(lái)實(shí)現(xiàn)。

3．?dāng)?shù)字信號(hào)處理的特點(diǎn)由于數(shù)字信號(hào)處理是用數(shù)值運(yùn)算的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的處理的，因此，相對(duì)模擬信號(hào)處理，數(shù)字信號(hào)處理主要有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）靈活性數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱數(shù)字系統(tǒng))的性能取決于系統(tǒng)參數(shù)，這些參數(shù)存儲(chǔ)在存儲(chǔ)器中，很容易改變，因此系統(tǒng)的性能容易改變，甚至通過(guò)參數(shù)的改變，系統(tǒng)可以變成各種完全不同的系統(tǒng)。靈活性還表現(xiàn)在數(shù)字系統(tǒng)可以分時(shí)復(fù)用，用一套數(shù)字系統(tǒng)分時(shí)處理幾路信號(hào)。數(shù)字系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)智能系統(tǒng)的功能，可以根據(jù)環(huán)境條件、用戶需求，自動(dòng)選擇最佳的處理算法。軟件無(wú)線電的基本思想就是:將寬帶A/D變換器及D/A變換器盡可能地靠近射頻天線，建立一個(gè)具有“A/D-DSP-D/A”模型的通用的、開放的硬件平臺(tái)，在這個(gè)硬件平臺(tái)上盡量利用軟件技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)電臺(tái)的各種功能模塊。

2）高精度和高穩(wěn)定性數(shù)字系統(tǒng)的特性不易隨使用條件變化而變化，尤其使用了超大規(guī)模集成的DSP芯片，使設(shè)備簡(jiǎn)化，進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。運(yùn)算位數(shù)又由8位提高到16、32位，在計(jì)算精度方面，模擬系統(tǒng)是不能和數(shù)字系統(tǒng)相比擬的，為此，許多測(cè)量?jī)x器為滿足高精度的要求只能采用數(shù)字系統(tǒng)。

3）便于大規(guī)模集成數(shù)字部件具有高度的規(guī)范性，對(duì)電路參數(shù)要求不嚴(yán)，容易大規(guī)模集成和大規(guī)模生產(chǎn)，價(jià)格不斷降低，這也是DSP芯片和超大規(guī)?？删幊唐骷l(fā)展迅速的主要因素之一。由于采用了大規(guī)模集成電路，數(shù)字系統(tǒng)體積小、重量輕、可靠性強(qiáng)。

4）可以實(shí)現(xiàn)模擬系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的諸多功能數(shù)字信號(hào)可以存儲(chǔ)，數(shù)字系統(tǒng)可以進(jìn)行各種復(fù)雜的變換和運(yùn)算。這一優(yōu)點(diǎn)更加使數(shù)字信號(hào)處理不再僅僅限于對(duì)模擬系統(tǒng)的逼近，它可以實(shí)現(xiàn)模擬系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的諸多功能。例如，電視系統(tǒng)中的畫中畫、多畫面以及各種視頻特技，包括畫面壓縮、畫面放大、畫面坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、演員特技制作；變聲變調(diào)的特殊的配音制作；解卷積；圖像信號(hào)的壓縮編碼；高級(jí)加密解密；數(shù)字濾波器嚴(yán)格的線性相位特性,等等。

4．?dāng)?shù)字信號(hào)處理涉及的理論、實(shí)現(xiàn)技術(shù)與應(yīng)用正是由于以上的優(yōu)點(diǎn)，數(shù)字信號(hào)處理的理論和技術(shù)一出現(xiàn)就受到人們的極大關(guān)注，發(fā)展非常迅速。國(guó)際上一般把1965年作為數(shù)字信號(hào)處理這一門新學(xué)科的開端，40多年以來(lái)，這門學(xué)科基本上形成了自己一套完整的理論體系，其中也包括各種快速的和優(yōu)良的算法。而且隨著各種電子技術(shù)及計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理的理論和技術(shù)還在不斷豐富和完善，新的理論和新技術(shù)層出不窮。可以說(shuō)，數(shù)字信號(hào)處理是發(fā)展最快、應(yīng)用最廣泛、成效最顯著的新學(xué)科之一，目前已廣泛地應(yīng)用在語(yǔ)音、雷達(dá)、聲納、地震、圖像、通信、控制、生物醫(yī)學(xué)、遙感遙測(cè)、地質(zhì)勘探、航空航天、故障檢測(cè)、自動(dòng)化儀表等領(lǐng)域。數(shù)字信號(hào)處理涉及的內(nèi)容非常豐富廣泛。其所應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具涉及微積分、隨機(jī)過(guò)程、高等代數(shù)、數(shù)值分析、復(fù)變函數(shù)、數(shù)值方法和各種變換等；數(shù)字信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)包括網(wǎng)絡(luò)理論、信號(hào)與系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等；數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)技術(shù)又涉及計(jì)算機(jī)、DSP技術(shù)、微電子技術(shù)、專用集成電路設(shè)計(jì)和程序設(shè)計(jì)等方面；應(yīng)用領(lǐng)域包括通信、雷達(dá)、人工智能、模式識(shí)別、航空航天、圖像處理、語(yǔ)音處理等。由此可見，要從事數(shù)字信號(hào)處理理論研究和應(yīng)用開發(fā)工作，需要學(xué)習(xí)的知識(shí)很多。本書作為數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)教材，主要講述數(shù)字信號(hào)處理的基本原理和基本分析方法，作為今后學(xué)習(xí)上述專門知識(shí)和技術(shù)的基礎(chǔ)。第1章時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)1.1引言1.2時(shí)域離散信號(hào)1.3時(shí)域離散系統(tǒng)1.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法

——線性常系數(shù)差分方程1.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法習(xí)題與上機(jī)題1.1引言信號(hào)通常是一個(gè)自變量或幾個(gè)自變量的函數(shù)。如果僅有一個(gè)自變量，則稱為一維信號(hào)；如果有兩個(gè)以上的自變量，則稱為多維信號(hào)。本書僅研究一維數(shù)字信號(hào)處理的理論與技術(shù)。物理信號(hào)的自變量有多種，可以是時(shí)間、距離、溫度、位置等，本書一般把信號(hào)看做時(shí)間的函數(shù)。針對(duì)信號(hào)的自變量和函數(shù)值的取值情況，信號(hào)可分為以下三種。如果信號(hào)的自變量和函數(shù)值都取連續(xù)值，則稱這種信號(hào)為模擬信號(hào)或者稱為時(shí)域連續(xù)信號(hào)，例如語(yǔ)言信號(hào)、溫度信號(hào)等；如果自變量取離散值，而函數(shù)值取連續(xù)值，則稱這種信號(hào)稱為時(shí)域離散信號(hào)，這種信號(hào)通常來(lái)源于對(duì)模擬信號(hào)的采樣;如果信號(hào)的自變量和函數(shù)值均取離散值，則稱為數(shù)字信號(hào)。我們知道，計(jì)算機(jī)或者專用數(shù)字信號(hào)處理芯片的位數(shù)是有限的，用它們分析與處理信號(hào)，信號(hào)的函數(shù)值必須用有限位的二進(jìn)制編碼表示，這樣信號(hào)本身的取值不再是連續(xù)的，而是離散值。這種用有限位二進(jìn)制編碼表示的時(shí)域離散信號(hào)就是數(shù)字信號(hào)，因此，數(shù)字信號(hào)是幅度量化了的時(shí)域離散信號(hào)。例如：

，這是一個(gè)模擬信號(hào)，如果對(duì)它按照時(shí)間采樣間隔T=0.005s進(jìn)行等間隔采樣，便得到時(shí)域離散信號(hào)x(n)，即

={，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，0.9，-0.6364，}顯然,時(shí)域離散信號(hào)是時(shí)間離散化的模擬信號(hào)。如果用四位二進(jìn)制數(shù)表示該時(shí)域離散信號(hào)，便得到相應(yīng)的數(shù)字信號(hào)x［n］，即

x［n］={，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，}顯然，數(shù)字信號(hào)是幅度、時(shí)間均離散化的模擬信號(hào)，或者說(shuō)是幅度離散化的時(shí)域離散信號(hào)。信號(hào)有模擬信號(hào)、時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)之分，按照系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)的類型，系統(tǒng)也分為模擬系統(tǒng)、時(shí)域離散系統(tǒng)和數(shù)字系統(tǒng)。當(dāng)然，也存在模擬網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的混合系統(tǒng)。數(shù)字信號(hào)處理最終要處理的是數(shù)字信號(hào)，但為簡(jiǎn)單，在理論研究中一般研究時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)。時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)之間的差別，僅在于數(shù)字信號(hào)存在量化誤差，本書將在第9章中專門分析實(shí)現(xiàn)中的量化誤差問(wèn)題。本章作為全書的基礎(chǔ)，主要學(xué)習(xí)時(shí)域離散信號(hào)的表示方法和典型信號(hào)、時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析方法，最后介紹模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。1.2時(shí)域離散信號(hào)實(shí)際中遇到的信號(hào)一般是模擬信號(hào)，對(duì)它進(jìn)行等間隔采樣便可以得到時(shí)域離散信號(hào)。假設(shè)模擬信號(hào)為xa(t)，以采樣間隔T對(duì)它進(jìn)行等間隔采樣，得到：（1.2.1）

這里,x(n)稱為時(shí)域離散信號(hào)，式中的n取整數(shù)，將代入上式,得到：顯然,x(n)是一個(gè)有序的數(shù)字，因此時(shí)域離散信號(hào)也可以稱為序列。注意這里n取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無(wú)定義。時(shí)域離散信號(hào)有三種表示方法：

1.用集合符號(hào)表示序列數(shù)的集合用集合符號(hào){·}表示。時(shí)域離散信號(hào)是一個(gè)有序的數(shù)的集合，可表示成集合:

x(n)={xn,n=

,－2,－1,0,1,2,

}例如，一個(gè)有限長(zhǎng)序列可表示為x(n)={1,2,3,4,3,2,1;n=0,1,2,3,4,5,6}也可簡(jiǎn)單地表示為x(n)＝{1,2,3,4,3,2,1}集合中有下劃線的元素表示n=0時(shí)刻的采樣值。

2.用公式表示序列例如：x(n)=a|n|

0<a<1,－∞<n<∞

3用圖形表示序列例如,時(shí)域離散信號(hào)x(n)=sin(πn/5)，n=－5,－4,

,0,

,4,5,圖1.2.1就是它的圖形表示。這是一種很直觀的表示方法。為了醒目，常常在每一條豎線的頂端加一個(gè)小黑點(diǎn)。圖1.2.1

x(n)=sin(πn/5)的波形圖實(shí)際中要根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用三種表示方法，對(duì)于一般序列，包括由實(shí)際信號(hào)采樣得下面介紹用MATLAB語(yǔ)言表示序列。

MATLAB用兩個(gè)參數(shù)向量x和n表示有限長(zhǎng)序列x(n)，x是x(n)的樣值向量，n是位置向量（相當(dāng)于圖形表示方法中的橫坐標(biāo)n），n與x長(zhǎng)度相等，向量n的第m個(gè)元素n(m)表示樣值x(m)的位置。位置向量n一般都是單位增向量，產(chǎn)生語(yǔ)句為：n=ns:nf;其中ns表示序列x(n)的起始點(diǎn)，nf表示序列x(n)的終止點(diǎn)。這樣將有限長(zhǎng)序列x(n)記為{x(n)；n=ns:nf}。例如，x(n)＝{－0.0000，－0.5878，－0.9511，－0.9511，－0.5878，0.0000，0.5878，0.9511，0.9511，0.5878，0.0000}，相應(yīng)的n=－5,－4,－3,

,5，所以序列x(n)的MATLAB表示如下:

n=－5:5;

x=［－0.0000，－0.5878，－0.9511，－0.9511，－0.5878，0.0000，0.5878，0.9511，0.9511，0.5878，0.0000］

這里x(n)的11個(gè)樣值是正弦序列的采樣值，即

x(n)=sin(πn/5)

n=－5,－4,

,0,

,4,5所以，也可以用計(jì)算的方法產(chǎn)生序列向量：n=－5:5;x=sin(pi*n/5);這樣用MATLAB計(jì)算產(chǎn)生x(n)并繪圖的程序如下：%fig121.m：sin(pi*n/5)信號(hào)產(chǎn)生及圖1.2.1繪圖程序n=－5:5; %位置向量n從－5到5x=sin(pi*n/5);

%計(jì)算序列向量x(n)的11個(gè)樣值subplot(3,2,1);stem(n,x,'.');line(［－5,6］,［0,0］)axis(［－5,6,－1.2,1.2］);xlabel('n');ylabel('x(n)')運(yùn)行程序輸出波形如圖1.2.1所示。1.2.1常用的典型序列

1．單位采樣序列δ(n)

（1.2.2）單位采樣序列也稱為單位脈沖序列，特點(diǎn)是僅在n=0時(shí)取值為1，其它均為零。它類似于模擬信號(hào)和系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時(shí)，取值無(wú)窮大，t≠0時(shí)取值為零，對(duì)時(shí)間t的積分為1。單位采樣序列和單位沖激信號(hào)如圖1.2.2所示。圖1.2.2單位采樣序列和單位沖激信號(hào)

2．單位階躍序列u(n)(1.2.3)單位階躍序列如圖1.2.3所示。它類似于模擬信號(hào)中的單位階躍函數(shù)u(t)。δ(n)與u(n)之間的關(guān)系如下列式所示：（1.2.4）（1.2.5）圖1.2.3單位階躍序列令n－k=m，代入式(1.2.5)得（1.2.6）

3．矩形序列RN(n)

（1.2.7）式中，N稱為矩形序列的長(zhǎng)度。當(dāng)N=4時(shí)，R4(n)的波形如圖1.2.4所示。矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式：（1.2.8）圖1.2.4矩形序列

4．實(shí)指數(shù)序列

x(n)=anu(n)

a為實(shí)數(shù)如果|a|<1,x(n)的幅度隨n的增大而減小，稱x(n)為收斂序列；如果|a|>1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖1.2.5所示。圖1.2.5實(shí)指數(shù)序列

5．正弦序列

式中,稱為正弦序列的數(shù)字域頻率(也稱數(shù)字頻率)，單位是弧度(rad)，它表示序列變化的速率，或者說(shuō)表示相鄰兩個(gè)序列值之間變化的弧度數(shù)。如果正弦序列是由模擬信號(hào)xa(t)采樣得到的，那么（1.2.9）

因此得到數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為

(1.2.9)式具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號(hào)采樣得到的序列，模擬角頻率Ω與序列的數(shù)字域頻率ω成線性關(guān)系。由于采樣頻率Fs與采樣周期T互為倒數(shù)，因而有上式表示數(shù)字域頻率是模擬角頻率對(duì)采樣頻率的歸一化頻率。本書中用ω表示數(shù)字域頻率，Ω和f表示模擬角頻率和模擬頻率。（1.2.10）

6．復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列用下式表示:式中,ω0為數(shù)字域頻率。設(shè)σ=0，用極坐標(biāo)和實(shí)部虛部表示如下式：由于n取整數(shù)，下面等式成立：上面公式中M取整數(shù)，所以對(duì)數(shù)字域頻率而言，正弦序列和復(fù)指數(shù)序列都是以2π為周期的周期信號(hào)。在以后的研究中，在頻率域只分析研究就夠了。

7．周期序列如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：（1.2.11）則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N。例如：式中數(shù)字頻率是π/4，n取整數(shù)，可以寫成下式：因此,

是周期為8的周期序列，波形如圖1.2.6所示。下面討論一般正弦序列的周期性。圖1.2.6正弦序列設(shè)那么如果則要求N=(2π/ω0)k。式中，k與N均取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)，滿足這些條件，正弦序列才是以N為周期的周期序列。具體正弦序列有以下三種情況：

（1）當(dāng)2π/ω0為整數(shù)時(shí)，k=1，正弦序列是以2π/ω0為周期的周期序列。例如，

，該正弦序列周期為16。（2）2π/ω0不是整數(shù)，是一個(gè)有理數(shù)時(shí)，設(shè)2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互為素?cái)?shù)的整數(shù)，取k=Q，那么N=P，則該正弦序列是以P為周期的周期序列。例如,sin(4πn/5),2π/ω0=5/2,k=2,該正弦序列是以5為周期的周期序列。（3）2π/ω0是無(wú)理數(shù)，任何整數(shù)k都不能使N為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。例如，ω0=1/4,sin(ω0n)即不是周期序列。對(duì)于復(fù)數(shù)指數(shù)序列的周期性也有和上面同樣的分析結(jié)果。以上介紹了幾種常用的典型序列，對(duì)于任意序列，可以用單位采樣序列的移位加權(quán)和表示，即（1.2.12）這種任意序列的表示方法，在信號(hào)分析中是一個(gè)很有用的公式。例如,x(n)的波形如圖1.2.7所示，可以用（1.2.12）式表示成：圖1.2.7用單位采樣序列移位加權(quán)和表示序列1.2.2序列的運(yùn)算序列的簡(jiǎn)單運(yùn)算有加法、乘法、移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換。

1．加法和乘法序列之間的加法和乘法，是指它的同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加和相乘，如圖1.2.8所示。圖1.2.8序列的加法和乘法

2．移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換序列x(n)如圖1.2.9(a)所示，其移位序列x(n－n0)(當(dāng)n0=2時(shí))如圖1.2.9(b)所示。當(dāng)n0>0時(shí),稱為x(n)的延時(shí)序列；當(dāng)n0<0時(shí)，稱為x(n)的超前序列。x(－n)則是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列，如圖1.2.9(c)所示。x(mn)是x(n)序列每隔m點(diǎn)取一點(diǎn)形成的序列，相當(dāng)于n軸的尺度變換。當(dāng)m=2時(shí)，其波形如圖1.2.9(d)所示。圖1.2.9序列的移位、翻轉(zhuǎn)和尺度變換1.3時(shí)域離散系統(tǒng)設(shè)時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過(guò)規(guī)定的運(yùn)算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運(yùn)算關(guān)系用T［·］表示，輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示：

（1.3.1）其框圖如圖1.3.1所示。在時(shí)域離散系統(tǒng)中，最重要和最常用的是線性時(shí)不變系統(tǒng)，這是因?yàn)楹芏辔锢磉^(guò)程都可用這類系統(tǒng)表征，且便于分析、設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。

圖1.3.1時(shí)域離散系統(tǒng)1.3.1線性系統(tǒng)系統(tǒng)的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即那么線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個(gè)公式：（1.3.2）（1.3.3）（1.3.2）式表征線性系統(tǒng)的可加性；（1.3.3）式表征線性系統(tǒng)的比例性或齊次性，式中a是常數(shù)。將以上兩個(gè)公式結(jié)合起來(lái)，可表示成（1.3.4）上式中a和b均是常數(shù)。

【例1.3.1】證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數(shù)）所代表的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。證明因此，該系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。用同樣方法可以證明所代表的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。1.3.2時(shí)不變系統(tǒng)如果系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的運(yùn)算關(guān)系T［·］在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中不隨時(shí)間變化，或者說(shuō)系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)的響應(yīng)與信號(hào)加于系統(tǒng)的時(shí)間無(wú)關(guān)，則這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)，用公式表示如下：（1.3.5）式中n0為任意整數(shù)。檢查一個(gè)系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)，就是檢查其是否滿足（1.3.5）式。

【例1.3.2】檢查y(n)=ax(n)+b所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)，式中a和b是常數(shù)。解因此該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。

【例1.3.3】檢查y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。解因此該系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。此例從物理概念上可以理解成該系統(tǒng)是一個(gè)放大器，其放大量是n，它隨n變化，因此是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。依同樣方法可以證明所代表的系統(tǒng)也是時(shí)變系統(tǒng)。1.3.3線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系

線性時(shí)不變系統(tǒng):同時(shí)滿足線性和時(shí)不變特性的系統(tǒng)稱為時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)。時(shí)域離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng):設(shè)n0為初始觀察時(shí)刻,則可將系統(tǒng)的輸入分為兩部分,稱n0以前的輸入為歷史輸入信號(hào),稱n0及n0以后的輸入為當(dāng)前輸入信號(hào)(簡(jiǎn)稱輸入信號(hào))。僅由n0時(shí)刻的初始狀態(tài)或歷史輸入信號(hào)引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng);僅由當(dāng)前輸入信號(hào)引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng);將零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和稱為系統(tǒng)的完全響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)的輸入x(n)=δ(n)，系統(tǒng)輸出y(n)的初始狀態(tài)為零，定義這種條件下的系統(tǒng)輸出為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，用h(n)表示。換句話說(shuō)，單位脈沖響應(yīng)即系統(tǒng)對(duì)于δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)。用公式表示為（1.3.6）h(n)和模擬系統(tǒng)中的單位沖激響應(yīng)h(t)相類似，都代表系統(tǒng)的時(shí)域特征。設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，按照（1.2.12）式表示成單位脈沖序列移位加權(quán)和為那么系統(tǒng)輸出為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)式中的符號(hào)“*”代表卷積運(yùn)算，（1.3.7）式表示線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積。計(jì)算卷積有三種方法：圖解法，解析法，利用MATLAB語(yǔ)言的工具箱函數(shù)計(jì)算法。下面先介紹圖解法。（1.3.7）

1）圖解法觀察（1.3.7）式，計(jì)算卷積的基本運(yùn)算是翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和相加，這類卷積稱為序列的線性卷積。如果兩個(gè)序列的長(zhǎng)度分別為N和M，那么卷積結(jié)果的長(zhǎng)度為N＋M－1。下面用例題說(shuō)明如何用圖解法求卷積。

【例1.3.4】已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解首先將h(n)用h(m)表示，并將波形翻轉(zhuǎn)，得到h(－m)，如圖1.3.2（c）所示。然后將h(－m)移位n，得到h(n－m)，n>0,序列右移；n<0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，如圖1.3.2（d）所示。接著將h(m)和h(n－m)相乘后，再相加,得到y(tǒng)(n)的一個(gè)值。對(duì)所有的n重復(fù)這種計(jì)算,最后得到卷積結(jié)果，如圖1.3.2(f)所示,y(n)表達(dá)式為

y(n)={1,2,3,4,3,2,1}其實(shí)這種圖解法可以用列表法代替，上面的圖解過(guò)程如表1.3.1所示。圖1.3.2例1.3.4線性卷積表1.3.1圖解法（列表法）

2)解析法如果已知兩個(gè)卷積信號(hào)的解析表達(dá)式，則可以直接按照卷積式進(jìn)行計(jì)算，下面舉例說(shuō)明。

【例1.3.5】設(shè)x(n)=an(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解要計(jì)算上式，關(guān)鍵是根據(jù)求和號(hào)內(nèi)的兩個(gè)信號(hào)乘積的非零值區(qū)間確定求和的上、下限。因?yàn)閚≥m時(shí)，u(n-m)才能取非零值；0≤m≤3時(shí)，R4(m)取非零值,所以，求和區(qū)間中m要同時(shí)滿足下面兩式：m≤n0≤m≤3這樣求和限與n有關(guān)系，必須將n進(jìn)行分段然后計(jì)算。

n<0時(shí)，y(n)=00≤n≤3時(shí)，乘積的非零值范圍為0≤m≤n，因此n≥4時(shí)，乘積的非零區(qū)間為0≤m≤3，因此寫成統(tǒng)一表達(dá)式為

3）用MATLAB計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的卷積

MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了conv函數(shù)，該函數(shù)用于計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的卷積（或計(jì)算兩個(gè)多項(xiàng)式相乘）。

C=conv(A,B)計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列向量A和B的卷積。如果向量A和B的長(zhǎng)度分別為N和M，則卷積結(jié)果向量C的長(zhǎng)度為N＋M－1。如果向量A和B為兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，則C就是這兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的系數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，conv函數(shù)默認(rèn)A和B表示的兩個(gè)序列都是從0開始，所以不需要位置向量。當(dāng)然,默認(rèn)卷積結(jié)果序列C也是從0開始，即卷積結(jié)果也不提供特殊的位置信息。例1.3.4中的兩個(gè)序列滿足上述條件，直接調(diào)用conv函數(shù)求解例1.3.4的卷積計(jì)算程序ep134.m如下：

%ep134.m：例1.3.4的卷積計(jì)算程序

xn=［1111］;hn=［1111］;

yn=conv(xn,hn);運(yùn)行結(jié)果：

yn=［1,2,3,4,3,2,1］顯然，當(dāng)兩個(gè)序列不是從0開始時(shí)，必須對(duì)conv函數(shù)稍加擴(kuò)展。設(shè)兩個(gè)位置向量已知的序列：{x(n)；nx=nxs:nxf}，{h(n)；nh=nhs:nhf}，要求計(jì)算卷積：y(n)=h(n)*x(n)以及y(n)的位置向量ny。下面編寫計(jì)算這種卷積的通用卷積函數(shù)convu。根據(jù)卷積原理知道，y(n)的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)分別為：nys=nhs+nxs，nyf=nhf+nxf。調(diào)用conv函數(shù)寫出通用卷積函數(shù)convu如下：

function［y,ny］=convu(h,nh,x,nx)

%convu通用卷積函數(shù)，y為卷積結(jié)果序列向量，%ny是y的位置向量,h和x是有限長(zhǎng)序列，

%nh和nx分別是h和x的位置向量

nys=nh(1)+nx(1);nyf=nh(end)+nx(end);

%end表示最后一個(gè)元素的下標(biāo)

y=conv(h,x);ny=nys:nyf;如果h(n)=x(n)=R5(N+2)，則調(diào)用convu函數(shù)計(jì)算y(n)=h(n)*x(n)的程序如下：

h=ones(1,5);nh=－2:2;

x=h;nx=nh;［y,ny］=convu(h,nh,x,nx)運(yùn)行結(jié)果：

y=［123454321］

ny=［－4－3－2－101234］線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律。它們分別用公式表示如下：（1.3.9）（1.3.8）（1.3.10）以上三個(gè)性質(zhì)請(qǐng)讀者自己證明。（1.3.8）式表示卷積服從交換律。（1.3.9）和（1.3.10）式分別表示卷積的結(jié)合律和分配律。設(shè)h1(n)和h2(n)分別是兩個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，x(n)表示輸入序列。按照（1.3.9）式的右端，信號(hào)通過(guò)h1(n)系統(tǒng)后再通過(guò)h2(n)系統(tǒng)，等效于按照（1.3.9）式左端，信號(hào)通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h1(n)*h2(n)，如圖1.3.3(a)、(b)所示。該式還表明兩系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，其等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)的卷積。按照（1.3.10）式，信號(hào)同時(shí)通過(guò)兩個(gè)系統(tǒng)后相加，等效于信號(hào)通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個(gè)系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)之和，如圖1.3.3(c)、(d)所示。換句話說(shuō)，系統(tǒng)并聯(lián)的等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個(gè)系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)之和。圖1.3.3卷積的結(jié)合律和分配律需要再次說(shuō)明的是，關(guān)于系統(tǒng)級(jí)聯(lián)、并聯(lián)的等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與原來(lái)兩系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系，是基于線性卷積的性質(zhì)，而線性卷積是基于線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足線性疊加原理。因此,對(duì)于非線性或者非時(shí)不變系統(tǒng)，這些結(jié)論是不成立的。再考察（1.3.11）式，它也是一個(gè)線性卷積式，它表示序列x(n)與單位脈沖序列的線性卷積等于序列本身x(n)，（1.3.11）如果序列與一個(gè)移位的單位脈沖序列δ(n－n0)進(jìn)行線性卷積，就相當(dāng)于將序列本身移位n0(n0是整常數(shù))，如下式表示：上式中求和項(xiàng)只有當(dāng)m=n－n0時(shí)才有非零值，因此得到：（1.3.12）

【例1.3.6】在圖1.3.4中，h1(n)系統(tǒng)與h2(n)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，設(shè)求系統(tǒng)的輸出y(n)。圖1.3.4例1.3.6框圖解先求第一級(jí)的輸出m(n)，再求y(n)。1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性一般因果系統(tǒng)定義:

如果系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列，而和n時(shí)刻以后的輸入序列無(wú)關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，或稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。如果n時(shí)刻的輸出還取決于n時(shí)刻以后的輸入序列，在時(shí)間上違背了因果性，系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)，則系統(tǒng)被稱為非因果系統(tǒng)。因此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。線性時(shí)不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足下式：（1.3.13）滿足（1.3.13）式的序列稱為因果序列，因此因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)必然是因果序列。因果系統(tǒng)條件（1.3.13）式從概念上也容易理解，因?yàn)閱挝幻}沖響應(yīng)是輸入為δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，在n=0時(shí)刻以前即n<0時(shí)，沒有加入信號(hào)，輸出只能等于零，因此得到因果性條件（1.3.13）式。所謂穩(wěn)定系統(tǒng)，是指對(duì)有界輸入，系統(tǒng)輸出也是有界的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和，用公式表示為（1.3.14）證明先證明充分性。因?yàn)檩斎胄蛄衳(n)有界，即因此如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足（1.3.14）式，那么輸出y(n)一定也是有界的，即下面用反證法證明其必要性。如果h(n)不滿足(1.3.14)式，即,那么總可以找到一個(gè)或若干個(gè)有界的輸入來(lái)引起無(wú)界的輸出，例如：令n=0,有上式說(shuō)明n=0時(shí)刻的輸出為無(wú)界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，證明了（1.3.14）式條件的必要性。

【例1.3.7】設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程為試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：因?yàn)閥(n)只與x(n)有關(guān),與n時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān),所以,根據(jù)一般因果系統(tǒng)的定義,該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。如果|x(n)|<A,則,所以,根據(jù)一般穩(wěn)定系統(tǒng)定義,該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。值得注意:如果不加判斷,直接利用線性時(shí)不變系統(tǒng)因果穩(wěn)定性的充分必要條件求證,就會(huì)得出如下錯(cuò)誤的結(jié)論:

令x(n)=δ(n),代入系統(tǒng)差分方程得到，當(dāng)n<0時(shí),h(n)==1≠0,由此得出結(jié)論,該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。又因?yàn)?所以,該系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。之所以得出錯(cuò)誤結(jié)論,是因?yàn)榫€性時(shí)不變系統(tǒng)因果穩(wěn)定性的充分必要條件只適用于線性時(shí)不變系統(tǒng)。但對(duì)該系統(tǒng)顯然是非線性系統(tǒng),不能用線性時(shí)不變系統(tǒng)因果穩(wěn)定性的充分必要條件求證。此例說(shuō)明,應(yīng)用性質(zhì)和定理時(shí),一定要注意其適用范圍。

【例1.3.8】設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解由于n<0時(shí)，h(n)=0，因此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。只有當(dāng)|a|<1時(shí),才有因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是|a|<1；否則，|a|≥1時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，h(n)的模值隨n加大而減小，此時(shí)序列h(n)稱為收斂序列。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，h(n)的模值隨n加大而增大，則稱為發(fā)散序列。

【例1.3.9】設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=u(n)，求對(duì)于任意輸入序列x(n)的輸出y(n)，并檢驗(yàn)系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。解因?yàn)楫?dāng)n－k<0時(shí)，u(n-k)=0;n－k≥0時(shí)，u(n－k)=1,因此，求和限為k≤n，所以（1.3.15）上式表示該系統(tǒng)是一個(gè)累加器，它將輸入序列從加上之時(shí)開始，逐項(xiàng)累加，一直加到n時(shí)刻為止。下面分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性：由于因此該系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)。自然地，該系統(tǒng)是一個(gè)因果系統(tǒng)。根據(jù)以上介紹的穩(wěn)定概念，可以檢查系統(tǒng)是否穩(wěn)定，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)是否滿足絕對(duì)可和的條件。實(shí)際中，如何用實(shí)驗(yàn)信號(hào)測(cè)定系統(tǒng)是否穩(wěn)定是一個(gè)重要問(wèn)題，顯然，不可能對(duì)所有有界輸入都檢查是否得到有界輸出?？梢宰C明［19］,只要用單位階躍序列作為輸入信號(hào)，如果輸出趨于常數(shù)（包括零），則系統(tǒng)一定穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。不必要對(duì)所有有界輸入都進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。1.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法

——線性常系數(shù)差分方程描述一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個(gè)黑盒子，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系，這種方法稱為輸入輸出描述法。對(duì)于模擬系統(tǒng)，我們知道由微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)，則用差分方程描述或研究輸出輸入之間的關(guān)系。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，經(jīng)常用的是線性常系數(shù)差分方程。本節(jié)主要介紹這類差分方程及其解法。1.4.1線性常系數(shù)差分方程一個(gè)N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：（1.4.1）式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ai和bi均為常數(shù)，式中y(n－i)和x(n－i)項(xiàng)只有一次冪，也沒有相互交叉相乘項(xiàng)，故稱為線性常系數(shù)差分方程。差分方程的階數(shù)是用方程y(n－i)項(xiàng)中i的取值最大與最小之差確定的。在（1.4.2）式中，y(n－i)項(xiàng)i最大的取值為N，i的最小的取值為零，因此稱為N階的差分方程。（1.4.2）或者1.4.2線性常系數(shù)差分方程的求解已知系統(tǒng)的輸入序列，通過(guò)求解差分方程可以求出輸出序列。求解差分方程的基本方法有以下三種：（1）經(jīng)典解法。這種方法類似于模擬系統(tǒng)中求解微分方程的方法，它包括齊次解與特解，由邊界條件求待定系數(shù)，較麻煩，實(shí)際中很少采用。（2）遞推解法。這種方法簡(jiǎn)單，且適合用計(jì)算機(jī)求解，但只能得到數(shù)值解，對(duì)于階次較高的線性常系數(shù)差分方程不容易得到封閉式（公式）解答。（3）變換域方法。這種方法是將差分方程變換到z域進(jìn)行求解，方法簡(jiǎn)便有效，這部分內(nèi)容放在第2章學(xué)習(xí)。當(dāng)然還可以不直接求解差分方程，而是先由差分方程求出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，再與已知的輸入序列進(jìn)行卷積運(yùn)算，得到系統(tǒng)的輸出。但是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如果不是預(yù)先知道，仍然需要求解差分方程，求其零狀態(tài)響應(yīng)解。本節(jié)只介紹遞推法，其中包括如何用MATLAB求解差分方程。觀察（1.4.1）式，求n時(shí)刻的輸出，要知道n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列值，還要知道n時(shí)刻以前的N個(gè)輸出信號(hào)值。因此求解差分方程在給定輸入序列的條件下，還需要確定N個(gè)初始條件。以上介紹的三種基本解法都只能在已知N個(gè)初始條件的情況下，才能得到唯一解。如果求n0時(shí)刻以后的輸出，n0時(shí)刻以前的N個(gè)輸出值y(n0－1)、y(n0－2)、、y(n0－N)就構(gòu)成了初始條件。（1.4.1）式表明，已知輸入序列和N個(gè)初始條件，則可以求出n時(shí)刻的輸出；如果將該公式中的n用n+1代替，可以求出n+1時(shí)刻的輸出，因此（1.4.1）式表示的差分方程本身就是一個(gè)適合遞推法求解的方程。

【例1.4.1】設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求輸出序列y(n)。解該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個(gè)初始條件。

（1）設(shè)初始條件:（2）設(shè)初始條件:該例表明，對(duì)于同一個(gè)差分方程和同一個(gè)輸入信號(hào)，因?yàn)槌跏紬l件不同，得到的輸出信號(hào)是不相同的。對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，用遞推解法求解，總是由初始條件向n>0的方向遞推，是一個(gè)因果解。但對(duì)于差分方程，其本身也可以向n<0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進(jìn)行限制。下面就是向方向n<0遞推的例題。

【例1.4.2】設(shè)差分方程為求輸出序列y(n)。將n－1用n代替，得到：這確實(shí)是一個(gè)非因果的輸出信號(hào)。用差分方程求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，由于單位脈沖響應(yīng)是當(dāng)系統(tǒng)輸入δ(n)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此只要令差分方程中的輸入序列為δ(n)，N個(gè)初始條件都為零，其解就是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。實(shí)際上例題1.4.1（1）中求出的y(n)就是該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，例題1.4.2求出的y(n)則是一個(gè)非因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。最后要說(shuō)明的是，一個(gè)線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性非時(shí)變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。如果系統(tǒng)是因果的，一般在輸入x(n)=0(n<n0)時(shí)，則輸出y(n)=0(n<n0)，系統(tǒng)是線性非時(shí)變系統(tǒng)。下面介紹用MATLAB求解差分方程。MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的filter函數(shù)實(shí)現(xiàn)線性常系數(shù)差分方程的遞推求解，調(diào)用格式如下：

yn=filter(B,A.xn)計(jì)算系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)向量xn的零狀態(tài)響應(yīng)輸出信號(hào)向量yn，yn與xn長(zhǎng)度相等，其中，B和A是（1.4.2）式所給差分方程的系數(shù)向量，即B=[b0,b1,,bM],A=[a0,a1,,aN]其中a0=1，如果a0≠1，則filter用a0對(duì)系數(shù)向量B和A歸一化。

yn=filter(B,A.xn，xi)計(jì)算系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)向量xn的全響應(yīng)輸出信號(hào)yn。所謂全響應(yīng)，就是由初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)和由輸入信號(hào)xn引起的零狀態(tài)響應(yīng)之和(在2.4.3節(jié)介紹)。其中,xi是等效初始條件的輸入序列，所以xi是由初始條件確定的。MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的filtic就是由初始條件計(jì)算xi的函數(shù),其調(diào)用格式如下：

xi=filtic(B,A,ys,xs)其中，ys和xs是初始條件向量：ys=［y(－1)，y(－2)，y(－3)，，y(－N)］，xs=［x(－1)，x（－2），x(－3)，，x(－M)］。如果xn是因果序列，則xs=0，調(diào)用時(shí)可缺省xs。例1.4.1的MATLAB求解程序ep141.m如下：%ep141.m：調(diào)用filter解差分方程y(n)－ay(n－1)=x(n)a=0.8;ys=1;

%設(shè)差分方程系數(shù)a=0.8,

%初始狀態(tài):y(－1)=1xn=［1,zeros(1,30)］;%x(n)=單位脈沖序列,長(zhǎng)度N=31B=1;A=［1,-a］;%差分方程系數(shù)xi=filtic(B,A,ys);

%由初始條件計(jì)算等效初始條件的輸入序列xiyn=filter(B,A,xn,xi);%調(diào)用filter解差分方程,求系統(tǒng)輸出信號(hào)y(n)n=0:length(yn)-1;subplot(3,2,1);stem(n,yn,'.')title('(a)');xlabel('n');ylabel('y(n)')程序中取差分方程系數(shù)a=0.8時(shí)，得到系統(tǒng)輸出y(n)如圖1.4.1（a）所示，與例1.4.1的解析遞推結(jié)果完全相同。如果令初始條件y(－1)=0(僅修改程序中ys=0)，則得到系統(tǒng)輸出y(n)=h(n)，如圖1.4.1（b）所示。圖1.4.1例1.4.1求解程序輸出波形1.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法在緒論中已介紹了數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)相對(duì)于模擬信號(hào)處理技術(shù)的許多優(yōu)點(diǎn)，因此人們往往希望將模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣和量化編碼形成數(shù)字信號(hào)，再采用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)進(jìn)行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)。這種處理方法稱為模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。其原理框圖如圖1.5.1所示。圖中的預(yù)濾與平滑所起的作用在后面介紹。本節(jié)主要介紹采樣定理和采樣恢復(fù)。圖1.5.1模擬信號(hào)數(shù)字處理框圖1.5.1采樣定理及A/D變換器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣可以看做一個(gè)模擬信號(hào)通過(guò)一個(gè)電子開關(guān)S。設(shè)電子開關(guān)每隔周期T合上一次，每次合上的時(shí)間為τ<<T，在電子開關(guān)輸出端得到其采樣信號(hào)。該電子開關(guān)的作用等效成一寬度為τ，周期為T的矩形脈沖串pT(t)，采樣信號(hào)就是xa(t)與pT(t)相乘的結(jié)果。采樣過(guò)程如圖1.5.2(a)所示。如果讓電子開關(guān)合上時(shí)間τ→0，則形成理想采樣，此時(shí)上面的脈沖串變成單位沖激串，用pδ(t)表示。p+(t)中每個(gè)單位沖激處在采樣點(diǎn)上，強(qiáng)度為1，理想采樣則是xa(t)與pδ(t)相乘的結(jié)果，采樣過(guò)程如圖1.5.2(b)所示。用公式表示為（1.5.1）上式中δ(t)是單位沖激信號(hào)，在上式中只有當(dāng)t=nT時(shí)，才可能有非零值，因此寫成下式：（1.5.2）圖1.5.2對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣下面研究理想采樣前后信號(hào)頻譜的變化，從而找出為了使采樣信號(hào)能不失真地恢復(fù)原模擬信號(hào)，采樣速率Fs(Fs=T－1)與模擬信號(hào)最高頻率fc之間的關(guān)系。我們知道在傅里葉變換中，兩信號(hào)在時(shí)域相乘的傅里葉變換等于兩個(gè)信號(hào)分別的傅里葉變換的卷積，按照（1.5.2）式，推導(dǎo)如下：設(shè)對(duì)（1.5.1）式進(jìn)行傅里葉變換，得到（1.5.3）式中，Ωs=2π/T，稱為采樣角頻率，單位是rad/s。因此（1.5.4）（1.5.5）上式表明理想采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率Ωs重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說(shuō)理想采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜以Ωs為周期，進(jìn)行周期性延拓而成的。在圖1.5.3中，設(shè)xa(t)是帶限信號(hào)，最高頻率為Ωc，其頻譜Xa(jΩ)如圖1.5.3(a)所示。pδ(t)的頻譜Pδ(jΩ)如圖1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式，的頻譜如圖1.5.3(c)所示，圖中原模擬信號(hào)的頻譜稱為基帶頻譜。如果滿足Ωs≥2Ωc，或者用頻率表示該式，即滿足Fs≥2fc，基帶譜與其它周期延拓形成的譜不重疊，如圖1.5.3(c)所示情況，可以用理想低通濾波器G(jΩ)從采樣信號(hào)中不失真地提取原模擬信號(hào)，如圖1.5.4所示。但如果選擇采樣頻率太低，或者說(shuō)信號(hào)最高截止頻率過(guò)高，使Fs<2fc,Xa(jΩ)按照采樣頻率Fs周期延拓時(shí)，形成頻譜混疊現(xiàn)象，用圖1.5.3(d)表示。這種情況下，再用圖1.5.4所示的理想低通濾波器對(duì)Xa(t)進(jìn)行濾波，得到的是失真了的模擬信號(hào)。下面用公式表示：（1.5.6）這里需要說(shuō)明的是，一般頻譜函數(shù)是復(fù)函數(shù)，相加應(yīng)是復(fù)數(shù)相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱Fs/2為折疊頻率，只有當(dāng)信號(hào)最高頻率不超過(guò)Fs/2時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，否則超過(guò)Fs/2的頻譜會(huì)折疊回來(lái)而形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊在Fs/2附近最嚴(yán)重。圖1.5.3采樣信號(hào)的頻譜圖1.5.4采樣恢復(fù)總結(jié)上述內(nèi)容，采樣定理敘述如下：（1）對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號(hào)，采樣信號(hào)的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以采樣頻率Ωs為周期進(jìn)行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。（2）設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)屬帶限信號(hào)，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)xa(t)。否則,Ωs<2Ωc會(huì)造成采樣信號(hào)中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無(wú)失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。實(shí)際中對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，需根據(jù)模擬信號(hào)的截止頻率，按照采樣定理的要求選擇采樣頻率，即Ωs≥2Ωc，但考慮到理想濾波器G（jΩ)不可實(shí)現(xiàn)，要有一定的過(guò)渡帶，為此可選Ωs=(3~4)Ωc。另外，可以在采樣之前加一抗混疊的低通濾波器，濾去高于Ωs/2的一些無(wú)用的高頻分量，以及濾除其它的一些雜散信號(hào)。這就是在圖1.5.1中采樣之前加預(yù)濾的原因。上面我們通過(guò)對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行理想采樣分析推導(dǎo)出采樣定理。采樣定理表示的是采樣信號(hào)的頻譜與原模擬信號(hào)xa(t)的頻譜之間的關(guān)系，以及由采樣信號(hào)不失真地恢復(fù)原模擬信號(hào)的條件。要進(jìn)一步說(shuō)明的是，采樣信號(hào)用（1.5.2）式表示，它是用一串延時(shí)的單位沖激加權(quán)和表示的。按照該式，在t=nT時(shí)，即在每個(gè)采樣點(diǎn)上，采樣信號(hào)的強(qiáng)度（幅度）準(zhǔn)確地等于對(duì)模擬信號(hào)的采樣值xa(nT)，而在t≠nT非采樣點(diǎn)上采樣信號(hào)的幅度為零。時(shí)域離散信號(hào)（序列）x(n)只有在n為整數(shù)時(shí)才有定義，否則無(wú)定義，因此采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)不相同。但如果序列是通過(guò)對(duì)模擬信號(hào)采樣得到的，即x(n)=xa(nT)，序列值等于采樣信號(hào)在t=nT時(shí)的幅度，在第2章將通過(guò)分析時(shí)域離散信號(hào)的頻譜，得到此時(shí)序列的頻譜依然是模擬信號(hào)頻譜的周期延拓，因此由模擬信號(hào)通過(guò)采樣得到序列時(shí)，依然要服從采樣定理，否則一樣也會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象。將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)由模/數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog/DigitalConverter,A/DC）完成，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的原理框圖如圖1.5.5所示。通過(guò)按等間隔T對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，得到一串采樣點(diǎn)上的樣本數(shù)據(jù)，這一串樣本數(shù)據(jù)可看做時(shí)域離散信號(hào)（序列）。設(shè)A/DC有M位，那么用M位二進(jìn)制數(shù)表示這一串樣本數(shù)據(jù)，即形成數(shù)字信號(hào)。因此，采樣以后到形成數(shù)字信號(hào)的這一過(guò)程是一個(gè)量化編碼的過(guò)程。例如：模擬信號(hào)xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz,選采樣頻率Fs=200

Hz，將t=nT代入xa(t)中，得到采樣數(shù)據(jù)：圖1.5.5模/數(shù)轉(zhuǎn)換器原理框圖當(dāng)

時(shí)，得到序列x(n)如下：

x(n)={,0.382683,0.923879,－0.382683,－0.923879,}如果A/DC按照M=6進(jìn)行量化編碼，即上面的采樣數(shù)據(jù)均用6位二進(jìn)制碼表示，其中一位為符號(hào)位，則數(shù)字信號(hào)用表示：

={,0.01100,0.11101,1.01100,1.11101,}用十進(jìn)制數(shù)表示的為={,0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625,}顯然量化編碼以后的和原x(n)不同。這樣產(chǎn)生的誤差稱為量化誤差，這種量化誤差的影響稱為量化效應(yīng)，這部分內(nèi)容將在第9章介紹。1.5.2將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)我們已經(jīng)知道模擬信號(hào)xa(t)經(jīng)過(guò)理想采樣，得到采樣信號(hào),xa(t)和之間的關(guān)系用（1.5.2）式描述。如果選擇采樣頻率Fs滿足采樣定理，的頻譜沒有頻譜混疊現(xiàn)象，可用一個(gè)傳輸函數(shù)為G（jω)的理想低通濾波器不失真地將原模擬信號(hào)xa(t)恢復(fù)出來(lái)，這是一種理想恢復(fù)。下面先分析推導(dǎo)該理想低通濾波器的輸入和輸出之間的關(guān)系，以便了解理想低通濾波器是如何由采樣信號(hào)恢復(fù)原模擬信號(hào)的，然后再介紹在實(shí)際中數(shù)字信號(hào)如何轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)。下面由（1.5.6）式表示的低通濾波器的傳輸函數(shù)G(jΩ）推導(dǎo)其單位沖激響應(yīng)g(t)：因?yàn)棣竤=2πFs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：（1.5.7）理想低想濾波器的輸入、輸出分別為和ya(t)，將（1.5.7）式表示的g(t)和（1.5.2）式表示的代入上式，得到：（1.5.8）由于滿足采樣定理，ya(t)=xa(t)，因此得到：（1.5.9）式中，當(dāng)n=

,－1,0,1,2,時(shí)，xa(nT)是一串離散的采樣值，而xa(t)是模擬信號(hào)，t取連續(xù)值，g(t)的波形如圖1.5.6所示。其特點(diǎn)是:t=0時(shí)，g(0)=1;t=nT(n≠0)時(shí)，g(t)=0。在（1.5.9）式中，g(t)保證了在各個(gè)采樣點(diǎn)上，即t=nT時(shí)，恢復(fù)的xa(t)等于原采樣值，而在采樣點(diǎn)之間，則是各采樣值乘以g(t－nT)的波形伸展疊加而成的。

圖1.5.6內(nèi)插函數(shù)g(t)波形這種伸展波形疊加的情況如圖1.5.7所示。g(t)函數(shù)所起的作用是在各采樣點(diǎn)之間內(nèi)插，因此稱為內(nèi)插函數(shù)，而（1.5.9）式則稱為內(nèi)插公式。這種用理想低通濾波器恢復(fù)的模擬信號(hào)完全等于原模擬信號(hào)xa(t)，是一種無(wú)失真的恢復(fù)。但由于g(t)是非因果的，因此理想低通濾波器是非因果不可實(shí)現(xiàn)的。下面介紹實(shí)際的數(shù)字信號(hào)到模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換。

圖1.5.7理想恢復(fù)實(shí)際中采用D/AC（Digital/AnalogConverter）完成數(shù)字信號(hào)到模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換。D/AC包括三部分，即解碼器、零階保持器和平滑濾波器，D/AC方框圖如圖1.5.8所示。解碼器的作用是將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域離散信號(hào)xa(nT)，零階保持器和平滑濾波器則將xa(nT)變成模擬信號(hào)。圖1.5.8D/AC方框圖由時(shí)域離散信號(hào)xa(nT)恢復(fù)模擬信號(hào)的過(guò)程是在采樣點(diǎn)內(nèi)插的過(guò)程。理想低通濾波的方法是用g(t)函數(shù)作內(nèi)插函數(shù)，還可以用一階線性函數(shù)作內(nèi)插。零階保持器是將前一個(gè)采樣值進(jìn)行保持，一直到下一個(gè)采樣值來(lái)到，再跳到新的采樣值并保持，因此相當(dāng)于進(jìn)行常數(shù)內(nèi)插。零階保持器的單位沖激函數(shù)h(t)以及輸出波形如圖1.5.9所示。對(duì)h(t)進(jìn)行傅里葉變換，得到其傳輸函數(shù)：（1.5.10）圖1.5.9零階保持器的輸出波形其幅度特性和相位特性如圖1.5.10所示。由該圖看到,零階保持器是一個(gè)低通濾波器，能夠起到將時(shí)域離散信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)的作用。圖中虛線表示理想低通濾波器的幅度特性。零階保持器的幅度特性與其有明顯的差別，主要是在|Ω|>π/T區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時(shí)域上，就是恢復(fù)出的模擬信號(hào)是臺(tái)階形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對(duì)時(shí)間波形起平滑作用，這也就是在圖1.5.1模擬信號(hào)數(shù)字處理框中，最后加平滑濾波器的原因。雖然這種零階保持器恢復(fù)的模擬信號(hào)有些失真，但簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。實(shí)際中，將解碼器與零階保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。圖1.5.10零階保持器的頻率特性習(xí)題與上機(jī)題

1.用單位脈沖序列δ(t)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。題1圖

2．給定信號(hào)：（1）畫出x(n)序列的波形，標(biāo)上各序列值；（2）試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；（3）令x1(n)=2x(n－2)，試畫出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，試畫出x2(n)波形；（5）令x3=x(2－n)，試畫出x3(n)波形。

3．判斷下面的序列是否是周期的;若是周期的，確定其周期。（1）A是常數(shù)（2）

4．對(duì)題1圖給出的x(n)要求：（1）畫出x(－n)的波形；（2）計(jì)算，并畫出xe(n)波形；（3）計(jì)算，并畫出x0(n)波形；（4）令x1(n)=xe(n)+x0(n),將x1(n)與x(n)進(jìn)行比較，你能得到什么結(jié)論？

5．設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的。（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)

（2）y(n)=2x(n)+3（3）y(n)=x(n－n0)

n0為整常數(shù)（4）y(n)=－(－n)（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）（8）y(n)=x(n)sin(ωn)

6．給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并說(shuō)明理由。（1）（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）（4）y(n)=x(n－n0)（5）y(n)=ex(n)

7．設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示，要求畫出y(n)輸出的波形。題7圖

8.設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況，分別求出輸出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)

9．證明線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律，即證明下面等式成立：（1）x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2）x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n)（3）x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)

10．設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測(cè)數(shù)據(jù)，設(shè)x(n)={x0,x1,x2,

,xk,

}，試?yán)眠f推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。遞推時(shí)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。

11．設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。12.設(shè)系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，初始條件y(－1)=0，試分析該系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變系統(tǒng)。

13．有一連續(xù)信號(hào)xa(t)=cos(2πft+φ)，式中，f=20Hz,φ=π/2。（1）求出xa(t)的周期；（2）用采樣間隔T=0.02s對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣，試寫出采樣信號(hào)的表達(dá)式；（3）畫出對(duì)應(yīng)的時(shí)域離散信號(hào)（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。

14.已知滑動(dòng)平均濾波器的差分方程為（1）求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)；（2）如果輸入信號(hào)波形如題14圖所示，試求出y(n)并畫出它的波形。題14圖

15*.已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號(hào)分別為x(n)={1,2,3,4,2,1}用遞推法計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

16*.已知兩個(gè)系統(tǒng)的差分方程分別為（1）y(n)=0.6y(n－1)－0.08y(n－2)+x(n)

（2）y(n)=0.7y(n－1)－0.1y(n－2)+2x(n)－x(n－2)分別求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)。

17*.已知系統(tǒng)的差分方程為y(n)=－a1y(n－1)－a2y(n－2)+bx(n)其中,a1=－0.8,a2=0.64,b=0.866。（1）編寫求解系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)(0≤n≤49)的程序，并畫出h(n)(0≤n≤49)；（2）編寫求解系統(tǒng)零狀態(tài)單位階躍響應(yīng)s(n)(0≤n≤100）的程序，并畫出s(n)(0≤n≤100）。

18*.在題18圖中，有四個(gè)分系統(tǒng)T1、T2、T3和T4，四個(gè)分系統(tǒng)分別用下面的單位脈沖響應(yīng)或者差分方程描述：編寫程序計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n),0≤n≤99。題18圖第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言

2.2時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系2.5序列的Z變換2.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性習(xí)題與上機(jī)題2.1引言我們知道，信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻域分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號(hào)一般用連續(xù)變量時(shí)間的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。在頻率域，則用信號(hào)的傅