多維隨機(jī)變量的特征值

多維隨機(jī)變量的特征值第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學(xué)期望若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,則Z=g(X，Y)的期望第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例1設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)解:例2隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，聯(lián)合密度函數(shù)為求Z=X+Y的數(shù)學(xué)期望第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一解：聯(lián)合密度函數(shù)為練習(xí)：181頁6、8第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一1.E(c)=c,c為常數(shù);2、E(cX)=cE(X),c為常數(shù);數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);5、隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)推廣E(A+B+…+Z)=E(A)+E(B)+…+E(Z);和的期望等于期望的和第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一若E(X),E(X2)存在，則E[X-E(X)]2記為D(X),或Var(X).稱 為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差可見

重要性質(zhì)

Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.

方差第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一方差的性質(zhì)(1)D(c)=0即P{X=C}=1D(X)=0;(2)D(aX)=a2D(X),a為常數(shù)；(3)若X，Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y);第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例3若X~b(n,p)二項(xiàng)分布,求期望和方差解:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則0-1分布相互獨(dú)立第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例4設(shè)隨機(jī)變量XU(0,6)，

YN(1,3)，ZExp(3),且X，Y，Z相互獨(dú)立，求隨機(jī)變量

U=X-2Y+3Z的數(shù)學(xué)期望、方差解E(X)=(0+6)/2=3D(X)=(6-0)2/12E(Y)=1,D(Y)=3;E(Z)=1/3,D(Z)=1/9第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一證明:X，Y相互獨(dú)立，E(XY)=E(X)E(Y)第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一證明:設(shè)(X,Y)~f(x,y)X、Y相互獨(dú)立第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一證明:設(shè)(X,Y)~f(x,y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)

一）協(xié)方差定義與性質(zhì)1.定義若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.為X與Y的協(xié)方差,易見COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).

當(dāng)COV(X,Y)=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。？“X與Y獨(dú)立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？書：170頁第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一二.協(xié)方差性質(zhì)

(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2COV(X,Y).第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例題設(shè)二維變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為

試求：Cov（X,Y）練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量Xb（12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差由公式COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).我們需要求解E(XY)、E(X)、E(Y)COV(aX+bY,cX+dY)=?第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一二）.相關(guān)系數(shù)

1.定義若X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且D(X)>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).

注：若記稱為X和Y的標(biāo)準(zhǔn)化，易知EX*=0，EY*=0.且第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X與Y不相關(guān)XY=0;例設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0<x<1,0<y<x上的均勻分布,求X與Y的相關(guān)系數(shù)D1x=y解第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一可見，若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一四.協(xié)方差矩陣1.定義設(shè)X1，…,Xn為n個(gè)r.v.,記cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1，…,Xn的協(xié)方差矩陣C。即作業(yè)：183頁17、19第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)系圖Var(X)=E(X2)-E2(X)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2COV(X,Y).期望E(X)方差E[X-E(X)]2協(xié)方差COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.相關(guān)系數(shù)第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一以上EX的結(jié)果說明了什么？解1)2)第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);證明：Cov(X+Y,Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y,Z)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).第25頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y).