差分方程講解老師

差分方程講解老師第1頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一一.數(shù)列的概念二.數(shù)列差分的概念三.差分表的性質(zhì)§1數(shù)列的差分第2頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一一.數(shù)列的概念一個(gè)數(shù)列就是實(shí)數(shù)的任何(有限或無限的)有序集.這些數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)或元素.用an來表示數(shù)列的第n項(xiàng),稱之為數(shù)列的通項(xiàng).§1數(shù)列的差分定義1.1一個(gè)數(shù)列是一個(gè)函數(shù),其定義域?yàn)槿w正整數(shù)(有時(shí),為方便計(jì),是全體非負(fù)整數(shù)集合),其值域包含在全體實(shí)數(shù)集中.第3頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)列的表示:1.列舉法:§1數(shù)列的差分第4頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)列的表示:2.通項(xiàng)法:§1數(shù)列的差分第5頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)列的表示:§1數(shù)列的差分3.圖象法:序列的項(xiàng)通過標(biāo)出點(diǎn)(n,an)圖示.直觀,具有可視化的效果.4.描述法:第6頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)列的一些例子1.假如你開了一個(gè)10000元的銀行帳戶,銀行每月付給2%的利息.假如你既不加進(jìn)存款也不取錢,那么每個(gè)月后的存款余額就構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.§1數(shù)列的差分第7頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§1數(shù)列的差分2.兔子出生以后兩個(gè)月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一對(一雌一雄).假如養(yǎng)了初生的小兔一對,則每個(gè)月小兔的對數(shù)也構(gòu)成一個(gè)數(shù)列(假設(shè)生下的小兔都不死)斐波那契(Fibonacci意大利約1170-1250本名Leonardo)1,1,2,3,5,8,13,21,34,…第8頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一二.數(shù)列差分的概念數(shù)列相鄰項(xiàng)的差,稱為數(shù)列的差分.§1數(shù)列的差分定義1.2對任何數(shù)列A

{a1,a2,},其差分算子(讀作delta)定義如下:a1

a2

a1,a2

a3

a2,a3

a4

a3,,一般地,對任何n有an

an1

an,第9頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用這個(gè)算子,從原來的數(shù)列A構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列A,從數(shù)列A可得到數(shù)列2A{2an},這里2an(an)

an1

anan2

an1

an1

an

an2

2an1

an,稱之為數(shù)列A的二階差分,二階差分2an的差分3an稱為三階差分,二階及二階以上的差分稱為高階差分,而稱an為一階差分.§1數(shù)列的差分第10頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一差分的物理和幾何意義:在物理方面,一階差分表示物體運(yùn)動(dòng)的平均速度,二階差分表示平均加速度.在幾何方面,一階差分表示數(shù)列圖形中相鄰兩點(diǎn)連線的斜率.§1數(shù)列的差分例.外出汽車旅行,每小時(shí)記錄下里程表的讀數(shù).設(shè)A

{an}

{22322,22352,22401,22456,22479,22511},A

{an}

{30,49,55,23,32},第11頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一例.假設(shè)我們有數(shù)列{an}

{3n5},并考慮由表給出的關(guān)于n

1,2,3,的數(shù)列.我們按函數(shù)值列表,并考慮相鄰項(xiàng)的差.§1數(shù)列的差分3333333-21471013161912345678n第12頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§1數(shù)列的差分第13頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一定理1.1若c和b為常數(shù)且對所有n

1,2,3,有ancnb,則:1.對所有n,數(shù)列{an}的差分為常數(shù);2.當(dāng)畫an關(guān)于n的圖形時(shí),這些點(diǎn)都落在一條直線上.§1數(shù)列的差分定理1.2若an

c,其中c是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù),則有一個(gè)an的線性函數(shù)(即存在常數(shù)b使

ancnb).第14頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§1數(shù)列的差分例.對二次多項(xiàng)式數(shù)列,當(dāng)時(shí)造差分表.n12345633591523024682222第15頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一定理1.3若數(shù)列{an}由一個(gè)二次多項(xiàng)式定義,則該數(shù)列具有性質(zhì):其二階差分為常數(shù),2anc.§1數(shù)列的差分定理1.4若數(shù)列{an}具有性質(zhì):對一切n有2anc,c為一個(gè)常數(shù),則該數(shù)列的項(xiàng)遵從二次變化模式,而且表達(dá)其通項(xiàng)的公式是一個(gè)二次多項(xiàng)式.注:一般地,由k次多項(xiàng)式定義的數(shù)列的k1階差分為零,反之,若數(shù)列{an}的k1階差分為零,則存在一個(gè)生成該數(shù)列的k次多項(xiàng)式.第16頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一例考慮數(shù)列{an}{1,3,6,10,15,21,},則有{an}{2,3,4,5,6,}以及{2an}{1,1,1,1,1,}.令anAn2BnC,§1數(shù)列的差分第17頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一例求數(shù)列{an}{n2}{12,22,32,42,52,62,}前n項(xiàng)和Sn,即n個(gè)正整數(shù)平方和.由于{Sn}{(n1)2}{22,32,42,52,},{2Sn}{2n3}{5,7,9,11,}以及{3Sn}{2,2,2,2,}令SnAn3Bn2CnD.§1數(shù)列的差分第18頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一由S11,S25,S314,S430得

A

B

CD1,8A

4B

2CD5(23A

22

B

2CD5),

27A

9B

3CD14(33A

32B

3CD14),64A

16B4CD30(43A

42B4CD30),§1數(shù)列的差分解關(guān)于A,B,C和D的方程組可得

A1/3,B1/2,C1/6,D0,則第19頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一三.差分表的性質(zhì)和應(yīng)用§1數(shù)列的差分定義1.3數(shù)列A

{an}在第k項(xiàng)處是增的,若ak

ak1(或用算子記號,ak0).數(shù)列A在第k項(xiàng)處是減的,若ak

ak1(或ak

0).數(shù)列A在第k項(xiàng)處達(dá)到相對極大,若ak

ak1而ak

ak1(或用算子記號,ak1

0而ak0).數(shù)列A在第k項(xiàng)處達(dá)到相對極小,若ak

ak1而ak

ak1(或ak1

0而ak0).第20頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§1數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列A在第k項(xiàng)處上凹,若akak1(或用二階差分的算子記號,2ak10).數(shù)列A在第k項(xiàng)處下凹,若akak1(或2ak10).注意:在k1處的二階差分決定了k項(xiàng)處的凹性.決定凹性的另一種看法是:當(dāng)一階差分增加時(shí)數(shù)列上凹,而當(dāng)一階差分減小時(shí)數(shù)列下凹.定義1.4數(shù)列A在第k項(xiàng)處有一個(gè)拐點(diǎn),倘若2ak和2ak1有不同的正負(fù)號.第21頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§1數(shù)列的差分第22頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§1數(shù)列的差分例討論數(shù)列

{n24n3}的性質(zhì)構(gòu)造an

n24n3的前7個(gè)數(shù)列值的差分表,并用該表確定數(shù)列在何處增加、減少,達(dá)到相對極大或極小,上凹、下凹以及是否有拐點(diǎn).n101221123032435258726159724第23頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§1數(shù)列的差分第24頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一一.差分方程的基本概念二.齊次線性差分方程的解析解§2一階線性差分方程第25頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一一.差分方程的基本概念§2一階線性差分方程定義2.1

差分方程是一種方程,該方程表明數(shù)列中的任意項(xiàng)如何用前一項(xiàng)或幾項(xiàng)來計(jì)算.初始條件是該數(shù)列的第一項(xiàng).出現(xiàn)在差分方程中的項(xiàng)的最大下標(biāo)減去最小下標(biāo)得到的數(shù)稱為差分方程的階.第26頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§2一階線性差分方程定義2.2如果差分方程中包含數(shù)列變量(即包含an)的項(xiàng)不包含數(shù)列變量的乘積,不包含數(shù)列變量的冪,也不包含數(shù)列變量的諸如指數(shù),對數(shù)或三角函數(shù)在內(nèi)的函數(shù),那么我們稱該差分方程是線性的.否則差分方程就是非線性的.注意這種限制只適用于包含數(shù)列變量的項(xiàng),而不能用于不包含數(shù)列變量的其它項(xiàng).線性的非線性的第27頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§2一階線性差分方程定義2.3線性差分方程稱為齊次的,如果它只包含數(shù)列變量的項(xiàng).如果略掉非齊次方程中不包含數(shù)列變量的項(xiàng),就得到一個(gè)齊次方程,稱之為與原方程相應(yīng)的齊次方程.齊次的第28頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§2一階線性差分方程對于差分方程的研究主要是差分方程的求解(當(dāng)可以求解的時(shí)候)以及討論解的性質(zhì).能夠給出解析解的差分方程是為數(shù)很少的一部分,大多數(shù)差分方程是不能給出解析解的,此時(shí),只能對其解的性質(zhì)給出一定的討論,討論解的性質(zhì)(解的變化趨勢,是周期的還是非周期的或混沌的)有兩種方法:一是數(shù)值計(jì)算方法,二是定性或定性定量結(jié)合的方法.第29頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§2一階線性差分方程差分方程的解具有不同的形式:數(shù)值,圖形,公式定義2.4

數(shù)值解是從一個(gè)或多個(gè)初值出發(fā)迭代差分方程得到的一張數(shù)值表.第30頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§2一階線性差分方程例如,在銀行帳戶上以7%的利息積累起來的錢數(shù)是由差分方程an1

an0.07an來確定,其中an表示n個(gè)月后銀行中的存款數(shù).月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.00074.900021144.90080.143031225.04385.753041310.79691.755751402.55298.178661500.730105.0510716.5.781112.405081718.186120.273091838.459128.6920101967.151137.7010第31頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§2一階線性差分方程定義2.5差分方程的一個(gè)解析解是一個(gè)函數(shù),當(dāng)把它代入差分方程時(shí)就得到一個(gè)恒等式,而且還滿足任何給定的初始條件.差分方程an1

an0.07an若把函數(shù)ak

(0.07)kc,其中c為任意常數(shù),代入差分方程就得到一個(gè)恒等式:第32頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§2一階線性差分方程定義2.6差分方程的一個(gè)通解是一個(gè)函數(shù),當(dāng)代入特定值后就得到相應(yīng)于不同初值的特解.ak

(0.07)kc稱為差分方程an1

an0.07an的通解,因?yàn)榇隿的特定值就給出與不同的初值a0相應(yīng)的特解.第33頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§2一階線性差分方程數(shù)值解與解析解的比較:在求銀行模型的數(shù)值解時(shí)只需要一個(gè)差分方程和一個(gè)初值.這是數(shù)值解的一個(gè)強(qiáng)有力的性質(zhì)—求數(shù)值解時(shí)無須要求差分方程具有特殊的性質(zhì).只要從一個(gè)或多個(gè)初值開始進(jìn)行迭代計(jì)算就行了.另一方面,因?yàn)闆]有第k項(xiàng)的一個(gè)一般的公式,每一項(xiàng)必須從前一項(xiàng)或幾項(xiàng)算得.從一個(gè)數(shù)值解來預(yù)測解的長期性態(tài)可能是困難的.第34頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一§2一階線性差分方程解析解給出了一個(gè)我們可以直接計(jì)算數(shù)列中任何特定項(xiàng)的函數(shù).解析解的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是,當(dāng)我們求得一個(gè)解析解時(shí),通常也同時(shí)得到了通解.相比之下,用迭代計(jì)算求得的解只從屬于某個(gè)初始條件.第35頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一二.齊次線性差分方程的解析解§2一階線性差分方程定理2.1一階線性差分方程an1

ranb的解為an

bnc,若r1.若r1.第36頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)3差分形式的阻滯增長模型4按年齡分組的種群增長差分方程模型第37頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一1市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價(jià)格上漲供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩第38頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第39頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一xy0fgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型第40頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致第41頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量考察,的含義~消費(fèi)者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價(jià)格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋第42頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價(jià)格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直第43頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一模型的推廣生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件第44頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣第45頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一2減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分析體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起飲食（吸收熱量）引起體重增加代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第46頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),相當(dāng)于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第47頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。第48頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收20000千卡w=100千克不變第49頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃第50頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃基本模型第51頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。第52頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一運(yùn)動(dòng)t=24(每周跳舞8小時(shí)或自行車10小時(shí)),14周即可。2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量(千卡):跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(小時(shí))基本模型第53頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一3）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前)第54頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一3差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)t,xN,x=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與r大小無關(guān))離散形式x(t)~某種群t時(shí)刻的數(shù)量(人口)yk~某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k,

ykN？y*=N是平衡點(diǎn)第55頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程(1)的平衡點(diǎn)y*=N討論x*的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點(diǎn)第56頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一(1)的平衡點(diǎn)x*——代數(shù)方程x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性第57頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一01的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性x*穩(wěn)定x*不穩(wěn)定另一平衡點(diǎn)為x=0不穩(wěn)定第58頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一01/2101的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性第59頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一初值x0=0.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果b<3,xb=3.3,x兩個(gè)極限點(diǎn)b=3.45,x4個(gè)極限點(diǎn)b=3.55,x8個(gè)極限點(diǎn)0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第60頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂——x*不穩(wěn)定情況的進(jìn)一步討論單周期不收斂2倍周期收斂(*)的平衡點(diǎn)x*不穩(wěn)定，研究x1*,x2*的穩(wěn)定性第61頁，共69頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂的穩(wěn)定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第62頁，共69頁，2023年，2月20日，