2023屆安徽省蕪湖市中小學校數(shù)學高二下期末達標檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，則等于（）A． B． C． D．2．王老師在用幾何畫板同時畫出指數(shù)函數(shù)（）與其反函數(shù)的圖象，當改變的取值時，發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象時而無交點，并且在某處只有一個交點，則通過所學的導數(shù)知識，我們可以求出當函數(shù)只有一個交點時，的值為（）A． B． C． D．3．下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直分別為直角三角形的斜邊，直角邊，.若，，在整個圖形中隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）（）A． B．C． D．4．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，，有，則（）．A． B．C． D．5．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．6．在公差為的等差數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設是函數(shù)的導函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．8．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．-832 B．-672 C．-512 D．-1929．如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AF＝12A．66 B．33 C．610．過點，且與直線平行的直線的方程為（）A． B． C． D．11．已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是()A．1 B．2 C． D．12．正方體中，若外接圓半徑為，則該正方體外接球的表面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，以長方體的頂?shù)诪樽鴺嗽c，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為________14．已知點是拋物線上一點，是拋物線上異于的兩點，在軸上的射影分別為，若直線與直線的斜率之差為，是圓上一動點，則的面積的最大值為__________．15．的展開式中的系數(shù)為__________．16．設雙曲線的左、右焦點分別為，右頂點為A，若A為線段的一個三等分點，則該雙曲線離心率的值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設1，其中pR，n，（r＝0，1，2，…，n）與x無關．（1）若＝10，求p的值；（2）試用關于n的代數(shù)式表示：；（3）設，，試比較與的大?。?8．（12分）已知函數(shù)．（1）若在上的最大值是最小值的2倍，解不等式；（2）若存在實數(shù)使得成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）某園林基地培育了一種新觀賞植物，經過了一年的生長發(fā)育，技術人員從中抽取了部分植株的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分組做出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在[50,60),[90,100]的數(shù)據).1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的2）在選取的樣本中,從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機抽取3株,設隨機變量表示所抽取的3株高度在[80,90)內的株數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)恰有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當，且時，證明：.（常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）.21．（12分）在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于不同的兩點．（1）如果直線過拋物線的焦點，求的值；（2）如果，證明直線必過一定點，并求出該定點．22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，且t＞0），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cosθ．（1）將曲線M的參數(shù)方程化為普通方程，并將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）求曲線M與曲線C交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：集合，,，，故選B.考點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質及集合的運算.2、B【解析】

當指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)只有一個公共點時，則在該點的公切線的斜率相等，列出關于的方程.【詳解】設切點為，則，解得：故選B.【點睛】本題考查導數(shù)的運算及導數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結合思想的應用，要注意根據指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的凹凸性，得到在其公共點處公切線的斜率相等.3、D【解析】

首先計算出圖形的總面積以及陰影部分的面積，再根據幾何概型的概率計算公式計算可得.【詳解】解：因為直角三角形的斜邊為，，，所以，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為.所以圖形總面積，，所以.故選：【點睛】本題考查面積型幾何概型的概率計算問題，屬于基礎題.4、A【解析】由對任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上單獨遞減，所以，選A.點睛：利用函數(shù)性質比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小，首先根據函數(shù)的性質構造某個函數(shù)，然后根據函數(shù)的奇偶性轉化為單調區(qū)間上函數(shù)值，最后根據單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行5、D【解析】

先求出函數(shù)的定義域，確定內層函數(shù)的單調性，再根據復合函數(shù)的單調性得出答案．【詳解】由題可得，即，所以函數(shù)的定義域為，又函數(shù)在上單調遞減，根據復合函數(shù)的單調性可知函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，故選D．【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調性和應用、復合函數(shù)的單調性、二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．6、A【解析】試題分析：若，則，，所以，是遞增數(shù)列；若是遞增數(shù)列，則，，推不出，則“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.考點：充分條件、必要條件的判定.7、C【解析】分析：求導，代值即可.詳解：，則.故選：C.點睛：對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤．8、A【解析】

求出展開式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即可.【詳解】含的項的系數(shù)即求展開式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即含的項的系數(shù)是．故選A.【點睛】本題考查二項式定理，屬于中檔題．9、C【解析】如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(xiàn)(a,0,0)，AG＝(a，a,0)，AC＝(0,2a,2a)，BG＝(a，－a，0)，BC＝(0,0,2a)，設平面AGC的法向量為n1＝(x1，y1,1)，由AG?n1=0AC?nsinθ＝BG?n1|BG10、A【解析】

求出直線的斜率，根據兩直線平行斜率的性質，可以求出所求直線的斜率，寫出點斜式方程，最后化為一般方程.【詳解】因為的斜率為2，所以所求直線的方程的斜率也為2，因此所求直線方程為，故本題選A.【點睛】本題考查了求過一點與已知直線平行的直線的方程.本題也可以這樣求解：與直線平行的直線可設為，過代入方程中，，所以直線方程為，一般來說，與直線平行的直線可設為；與直線垂直的直線可設為.11、C【解析】

試題分析：由于垂直，不妨設，，，則，，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．考點：平面向量數(shù)量積的運算．12、C【解析】

設正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，求得其外接圓的半徑，求得的值，進而求得球的半徑，即可求解球的表面積，得到答案．【詳解】如圖所示，設正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，設其外接圓的半徑為，則，即，由，得，所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的表面積為，故選C．【點睛】本題主要考查了求得表面積與體積的計算問題，同時考查了組合體及球的性質的應用，其中解答中根據幾何體的結構特征，利用球的性質，求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據的坐標，求的坐標，確定長方體的各邊長度，再求的坐標.【詳解】點的坐標是，，，，，故答案為:.【點睛】本題考查向量坐標的求法，意在考查基本概念和基礎知識，屬于簡單題型.14、10【解析】分析：由題意知，設的斜率為k，則PA的斜率為k-1，分別表述出直線PA，PB，與拋物線聯(lián)立即可求出A和B的橫坐標，即求出，要使面積最大，則D到AB的距離要最大，即高要過圓心，從而即可求出答案.詳解：由題意知，則，設的斜率為k，則PA的斜率為k-1，且設，則PB：，聯(lián)立消去y得：，由韋達定理可得，即，同理可得故，要使面積最大，則D到AB的距離要最大，即高要過圓心，則高為5..故答案為：10.點睛：對題目涉及的變量巧妙的引進參數(shù)(如設動點坐標、動直線方程等)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關系進行整體代換，達到“設而不求，減少計算”的效果.15、-10【解析】分析：利用二項式展開式通項即可得出答案.詳解：，當時，.故答案為：-10.點睛：求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可．16、3.【解析】分析：由題根據A為線段的一個三等分點，建立等式關系即可.詳解：由題可知：故雙曲線離心率的值為3.點睛：考查雙曲線的離心率求法，根據題意建立正確的等式關系為解題關鍵，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).(3).【解析】分析：（1）先根據二項式展開式通項公式得，解得p的值；（2）先由得,再得,等式兩邊對求導，得；最后令得結果，（3）先求，化簡不等式為比較與的大小關系，先計算歸納得大小關系，利用數(shù)學歸納法給予證明.詳解：（1）由題意知，所以.（2）當時，，兩邊同乘以得：，等式兩邊對求導，得：令得：，即（3），猜測：當時，，，，此時不等式成立；②假設時，不等式成立，即：，則時，所以當時，不等式也成立；根據①②可知，，均有.點睛：有關組合式的求值證明，常采用構造法逆用二項式定理.對二項展開式兩邊分別求導也是一個常用的方法，另外也可應用組合數(shù)性質進行轉化：，.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）根據在上的最大值是最小值的2倍求出a的值，再解不等式.(2)先分離參數(shù)得，再求右邊式子的最小值，得到a的取值范圍.詳解：（1）∵，∴，，∴，解得，不等式，即，解得或，故不等式的解集為．（2）由，得，令，問題轉化為，又故，則，所以實數(shù)的取值范圍為．點睛：（1）本題主要考查不等式的解法和求絕對值不等式的最值，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力.(2)本題易錯，得到，問題轉化為，不是轉化為,因為它是存在性問題.19、(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析：（1）由莖葉圖及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y；（2）由題意可知，高度在[80,90)內的株數(shù)為5，高度在[90,100]內的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內的株數(shù)的可能取值為1,2,3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望.詳解：(1)由題意可知，樣本容量，.(2)由題意可知，高度在[80,90)內的株數(shù)為5，高度在[90,100]內的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內的株數(shù)的可能取值為1,2,3，則,,.123故.點睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據處理能力，考查化歸與轉化思想.20、（1）（2）證明見解析【解析】

1，等價于方程在恰有一個變號零點．即在恰有一個變號零點．令，利用

函數(shù)圖象即可求解．

2要證明：只需證明，即證明要證明，即證明利用導數(shù)即可證明．【詳解】Ⅰ，，，函數(shù)恰有一個極值點，方程在恰有一個變號零點．在恰有一個變號零點．令，則．可得時，，函數(shù)單調遞增，時，，函數(shù)單調遞減．函數(shù)草圖如下，可得，．實數(shù)a的取值范圍為：2要證明：證明．證明，即證明．令則，時，，函數(shù)遞增，時，，遞減．，即原不等式成立．要證明，即證明．，故只需證明即可．令，則．時，，函數(shù)遞減，時，，函數(shù)遞增．，又，故原不等式成立．綜上，，【點睛】本題考查了函數(shù)的極值、單調性，考查了函數(shù)不等式的證明、分析法證明不等式，屬于中檔題．21、（Ⅰ）-3（Ⅱ）過定點，證明過程詳見解析.【解析】

Ⅰ根據拋物線的方程得到