九年級尖子生題庫

九年級尖子生題庫

1.

已知:如圖,拋物線y=-x?+bx+c與x軸、y軸分別相交于點A(-1,0)、B(0,3)兩點，其

頂點為D.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若該拋物線與x軸的另一個交點為E.求四邊形ABDE的面積；

(3)AAOB與4BDE是否相似？如果相似，請予以證明；如果不相似，請說明理由.

C,,,2\

(注：拋物線y=ax2+bx+c(a#0)的頂點坐標為-9)

、2a4a,

2.已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，四個頂點的坐標分別為

0(0,0),A(10,0),B(8,273),C(0,2JJ),點T在線段OA上(不與線段端點重合)，

將紙片折疊，使點A落在射線AB上(記為點A'),折痕經(jīng)過點T,折痕TP與射線AB交

于點P,設(shè)點T的橫坐標為3折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；

(1)求/OAB的度數(shù)，并求當(dāng)點A'在線段AB上時，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍;

（3）S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由.

3.（08浙江溫州）如圖，在中，NA=90°,AB=6,AC=8,D,E分別是

邊AB,AC的中點，點尸從點。出發(fā)沿方向運動，過點P作PQJ.8C于。，過點Q

作QA〃氏4交AC于

R，當(dāng)點。與點C重合時，點P停止運動.設(shè)BQ=x,QR=y.

（1）求點。到BC的距離DH的長；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點尸，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；

若不存在，請說明理由.

A

4.在△ABC中，NA=90。，AB=4,AC=3,M是A5上的動點(不與A,3重合)，過M

點作MN〃BC交AC于點N.以MN為直徑作。。，并在。。內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPM令A(yù)M

—x.

(1)用含X的代數(shù)式表示△MVP的面積S；

(2)當(dāng)x為何值時，。。與直線8c相切？

(3)在動點M的運動過程中，記△的P與梯形BCNM重合的面積為)，，試求y關(guān)于x

的函數(shù)表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

5、如圖1,已知雙曲線y=&(k>0)與直線y=k'x交于A,B兩點，點A在第一象限.試

x

解答下列問題：(1)若點A的坐標為(4,2).則點B的坐標為；若點A的橫坐標

為m,則點B的坐標可表示為；

k

(2)如圖2,過原點0作另一條直線1,交雙曲線y=-(k>0)于P,Q兩點，點P在第一

x

象限.①說明四邊形APBQ一定是平行四邊形；②設(shè)點A.P的橫坐標分別為m,n,

四邊形APBQ可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？若可能，直接寫出mn應(yīng)滿足的條件；

若不可能，請說明理由.

6.如圖1,在平面直角坐標系中，己知AAOB是等邊三角形，點A的坐標是（0,4）,

點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連結(jié)AP,并把AA0P繞著點A按逆時針方

向旋轉(zhuǎn).使邊A0與AB重合.得到AABD.（1）求直線AB的解析式；（2）當(dāng)點P運動到

點（石，0）時，求此時DP的長及點D的坐標；（3）是否存在點P,使aOPD的面積

V3

等于若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

4

7.如圖1,四邊形A8C。是正方形，G是CO邊上的一個動點（點G與C、￡＞不重合），以CG

為一邊在正方形ABCQ外作正方形CEFG,連結(jié)8G,DE.我們探究下列圖中線段BG、線

段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：

（1）①猜想如圖1中線段BG、線段OE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；

②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度

得到如圖2、如圖3情形.請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否

仍然成立,并選取圖2證明你的判斷.

(2)將原題中正方形改為矩形(如圖4—6),且BC-b,CE=ka,CG=kb(a豐b,

(3)在第(2)題圖5中，連結(jié)OG、BE,且o=3,b=2,求B仃+OG?的值.

2

8.如圖1所示，直角梯形0ABe的頂點A、C分別在y軸正半軸與無軸負半軸上.過點8、C

作直線/.將直線/平移，平移后的直線/與x軸交于點〃與y軸交于點與

(1)將直線/向右平移，設(shè)平移距離CC為Z(后0),直角梯形0A8C被直線/掃過的面積

(圖中陰影部份)為s,s關(guān)于，的函數(shù)圖象如圖2所示，OM為線段，為拋物

線的一部分，NQ為射線，N點橫坐標為4.

①求梯形上底AB的長及直角梯形0A8C的面積；

②當(dāng)2<f<4時，求S關(guān)于f的函數(shù)解析式；

(2)在第(1)題的條件下，當(dāng)直線/向左或向右平移時(包括/與直線BC重合)，在

耳繾紗上是否存在點P,使APDE為等腰直角三角形?若存在，請直接寫出所有滿

足條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由.

9.如圖，菱形ABCD的邊長為2,BD=2,E、F分別是邊AD,CD上的兩個動點，且滿足

AE+CF=2.

(1)求證：z^BDE絲ABCF；

(2)判斷4BEF的形狀，并說明理由；

(3)設(shè)4BEF的面積為S,求S的取值范圍.

B

10.如圖，拋物線4:>=一%2一2工+3交工軸于人、B兩點，交y軸于M點.拋物線4向右

平移2個單位后得到拋物線右，4交》軸于C、D兩點.

(1)求拋物線右對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)拋物線4或右在工軸上方的部分是否存在點N,使以A,C,M,N為頂點的四邊形

是平行四邊形.若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)若點P是拋物線L,上的一個動點(P不與點A、B重合)，那么點P關(guān)于原點的對稱

點Q是否在拋物線右上，請說明理由.

11.2008年5月1日，目前世界上最長的跨海大橋一一杭州灣跨海大橋通車了.通車后，蘇

南4地到寧波港的路程比原來縮短了120千米.己知運輸車速度不變時，行駛時間將從原

來的3時20分縮短到2時.

(1)求A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的路程.

(2)若貨物運輸費用包括運輸成本和時間成本，己知某車貨物從A地到寧波港的運輸成本

是每千米1.8元，時間成本是每時28元，那么該車貨物從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港

的運輸費用是多少元？

(3)A地準備開辟寧波方向的外運路線，即貨物從A地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港，再從

寧波港運到B地.若有一批貨物(不超過10車)從A地按外運路線運到B地的運費需8320

元，其中從4地經(jīng)杭州灣跨海大橋到寧波港的每車運輸費用與(2)中相同，從寧波港到8

地的海上運費對一批不超過10車的貨物計費方式是：一車800元，當(dāng)貨物每增加1車時，

每車的海上運費就減少20元，問這批貨物有幾車？

12.如圖I,把一張標準紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4,一?一'y

代,準紙：2開：如

開”紙、“8開”紙、“16開”紙….已知橋港紙的短邊長為a.k輩：瓢二盛贏

②本題中所求邊長或面積

都用含。的代數(shù)式表示.

(1)如圖2,把這張標準紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折_

疊：

第一步將矩形的短邊A8與長邊AO對齊折疊，點8落在AO上的點8'處，鋪平后得折

痕AE；

第二步將長邊AO與折痕AE對齊折疊，點。正好與點E重合，鋪平后得折痕AE.

則的值是,AD,AB的長分別是,.

(2)“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這

個比值；若不相等，請分別計算它們的比值.

(3)如圖3,由8個大小相等的小正方形構(gòu)成"L”型圖案，它的四個頂點E,F,G,H

分別在“16開”紙的邊AB,BC,CD,D4上，求OG的長.

(4)已知梯形MNPQ中，MN//PQ,NM=90°,MN=MQ=2PQ,且四個頂點

M,N,P,。都在“4開”紙的邊上，請直接寫出2個符合條件且大小不同的直角梯形的

面積.

13.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=7,CD=\,A3=8C=5.點M,N分別在邊

AD,BC上運動，并保持MN〃AB,MELAB,NF1AB,垂足分別為E,F.

(1)求梯形ABC。的面積；

(2)求四邊形MEFN面積的最大值.

(3)試判斷四邊形MEEV能否為正方形，若能，

求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理由.

14.如圖，點A(〃?，m-\-1),B(m+3,m-1)都在反比例函數(shù)y=&的圖象上.

(1)求機，k的值;y

(2)如果M為x軸上一點，N為y軸上一點,

0x

以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,

試求直線MN的函數(shù)表達式.G

山友情提示：本大題第（1）小題4分，第（2）小題7分.對

完成第（2）小題有困難的同學(xué)可以做下面的（3）選做

題.選做題2分，所得分數(shù)計入總分.但第（2）、（3）

小題都做的，第（3）小題的得分不重復(fù)計入總分.

（3）選做題：在平面直角坐標系中，點P的坐標

為（5,0）,點Q的坐標為（0,3）,把線段PQ向右平

移4個單位，然后再向上平移2個單位，得到線段尸

則點Pt的坐標為,點Qy的坐標為

15.我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋

圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.

如圖12,點A、B、C、。分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點。的坐標為（0,-3）,

AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1,0）,半圓半徑為2.

(1)請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍;

(2)你能求出經(jīng)過點C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；

(3)開動腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過點。的“蛋圓”切線的解析式.

16.將一矩形紙片O48C放在平面直角坐

標系中，。(0,0),A(6,0),C(0,3).動點。從點。出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿。。向

2

終點C運動，運動一秒時，動點尸從點A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點。運動.當(dāng)其中

3

一點到達終點時，另一點也停止運動.設(shè)點P的運動時間為/(秒).

(1)用含t的代數(shù)式表示OP,OQ；

(2)當(dāng)f=l時，如圖1,將△OPQ沿翻折，點。恰好落在邊上的點。處，求點。

的坐標；

(4)連結(jié)AC,將△OPQ沿P。翻折，得到△EPQ,如圖2.問：PQ與AC能否平

行？PE與AC

能否垂直？若能，求出相應(yīng)的r值；若不能，說明理由.

圖

圖12

17.如圖16,在平面直角坐標系中，直線y=-J5x-G與無軸交于點A,與y軸交于點C,

拋物線y=012一考2%+?。。0)經(jīng)過A,B,C三點.

(1)求過A,B,C三點拋物線的解析式并求出頂點尸的坐標；

(2)在拋物線上是否存在點P,使aABP為直角三角形，若存在，直接寫出P點坐標；

若不存在，請說明理由；

(3)試探究在直線AC上是否存在一點M，使得aMBF的周長最小，若存在，求出M點

的坐標；若不存在，請說明理由.

圖16

18.如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形A80C的邊80在x軸的負半軸上，邊0C在y

軸的正半軸上，且A3=l,0B=6矩形A30C繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)600后得到

矩形所。。.點A的對應(yīng)點為點E,點8的對應(yīng)點為點尸，點C的對應(yīng)點為點。，拋物

線y=ox?+法+0過點A,E,D.

(1)判斷點E是否在y軸上，并說明理由；

(2)求拋物線的函數(shù)表達式；

(3)在x軸的上方是否存在點P,點。，使以點QB,P,。為頂點的平行四邊形的面

積是矩形A80C面積的2倍，且點尸在拋物線上，若存在，請求出點P,點。的坐標；若

不存在，請說明理由.

19.已知：如圖14,拋物線y=—巳/+3與％軸交于點A,點8,與直線y=+b相

44

3

交于點8,點C,直線y=■-—尤+〃與y軸交于點E.

4

(1)寫出直線BC的解析式.

(2)求△ABC的面積.

(3)若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從A向8運動(不與A,B重合)，

同時，點N在射線8c上以每秒2個單位長度的速度從6向C運動.設(shè)運動時間為f秒，

請寫出的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出點M運動多少時間時，的面積

最大，最大面積是多少？

20.如圖,在平面直角坐標系xOy中，^OAB的頂點A的坐標為(10,0),頂點B在第一

且邳=3逐，sinZOAB=-^-

象限內(nèi),

(1)若點C是點B關(guān)于x軸的對稱點，求經(jīng)過0、C、A三點的拋物線的函數(shù)表達式;

(2)在(1)中，拋物線上是否存在一點P,使以P、0、C、A為頂點的四邊形為梯形？若存

在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由:

(3)若將點0、點A分別變換為點Q(-2k,0)、點R(5k,0)(k>l的常數(shù))，設(shè)過Q、

R兩點，且以QR的垂直平分線為對稱軸的拋物線與y軸的交點為N,其頂點為M,記4

QNM的面積為SAQMN，△QNR的面積SAQNR，求SAQMN.SAQNR的值?

y

B

<>A

21.在平面直角坐標系中AABC的邊AB在x軸上，且OA>OB,以AB為直徑的圓過點C若

C的坐標為（0,2）,AB=5,A,B兩點的橫坐標XA,XB是關(guān)于X的方程V一（加+2）x+〃一1=0的

兩根:

⑴求m,n的值

⑵若NACB的平分線所在的直線I交x軸于點D,試求直線I對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式

11

⑶過點D任作一直線/分別交射線CA,CB（點C除外）于點M,N,則」一+―L的值

CMCN

是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由

22.已知:如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸、y軸分別相交于點A(-1,0)、B(0,3)兩點,

其頂點為D.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若該拋物線與x軸的另一個交點為E.求四邊形ABDE的面積;

(3)4AOB與aBDE是否相似？如果相似，請予以證明；如果不相似，請說明理由.

(注：拋物線y=ax2+bx+c(a#0)的頂點坐標為-二，)

[2a4a

23.已知拋物線y=30r2+2bx+c,

(I)若a=6=l,c=-l,求該拋物線與x軸公共點的坐標;

(H)若a=b=l,且當(dāng)時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍;

(HI)若a+匕+c=0，且X]=0時，對應(yīng)的乃>0；x2=1時，對應(yīng)的%，試判斷當(dāng)0<xv1

時，拋物線與x軸是否有公共點？若有，請證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由.

24.

如圖①，四邊形AEFG和ABC。都是正方形，它們的邊長分別為a,b(0N2a),且點

產(chǎn)在A。上(以下問題的結(jié)果均可用a,匕的代數(shù)式表示).

⑴求S^DBF；

(2)把正方形AERJ繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得圖②，求圖②中的54。防；

(3)把正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，S&WF是否存在最大值、最小

值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由.

25.已知AB=2,AO=4,ZDAB=90°,AD//BC(如圖13).E是射線BC上的動

點(點E與點8不重合)，M是線段OE的中點.

(1)設(shè)BE=x,/XABM的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;

(2)如果以線段A8為直徑的圓與以線段OE為直徑的圓外切，求線段BE的長；

(3)聯(lián)結(jié)B。，交線段AM于點N,如果以4N,。為頂點的三角形與相似，

求線段BE的長.

B

備用圖

26.某縣社會主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學(xué)長期存在的飲水

困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所供水站.由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處.

如圖，甲，乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的A3段和CO段（村子和公路的寬均不計），

點M表示這所中學(xué).點5在點M的北偏西30°的3km處，點A在點M的正西方向，點。

在點M的南偏西60°的km處.

為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：

方案一：供水站建在點M處，請你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小

值；

方案二：供水站建在乙村（線段CO某處），甲村要求管道建設(shè)到A處，請你在圖①中，畫

出鋪設(shè)到點A和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（線段某處），請你在圖②中，畫出鋪設(shè)到乙村某處和點M處

的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值.

綜上，你認為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？

27.已知：如圖①，在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,點P由B出發(fā)沿BA方

向向點A勻速運動，速度為lcm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；

連接PQ.若設(shè)運動的時間為t(s)(0<t<2),解答下列問題：

(1)當(dāng)t為何值時，PQ〃BC?

(2)設(shè)4AQP的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時刻t,使線段PQ恰好把Rt^ACB的周長和面積同時平分？若存在，求

出此時t的值；若不存在，說明理由；

(4)如圖②，連接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,那么是否存在某一時

刻t,使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由.

k1

28.已知雙曲線y=—與直線y=—光相交于A、B兩點.第一象限上的點M(m,n)(在A點

x.4

k

左側(cè))是雙曲線丁二—上的動點.過點B作BD〃y軸于點D.過N(0,-n)作NC〃x軸交雙

x

曲線y="于點E,交BD于點C.

x

(1)若點D坐標是(-8,0),求A、B兩點坐標及k的值.

(2)若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4,求直線CM的解析式.

(3)設(shè)直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點，且MA=pMP,MB=qMQ,求p—q的值.

29.一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km.現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)

選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個

城市.問：

（1）能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預(yù)設(shè)的要求？

（2）至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預(yù)設(shè)的要求？

答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理

由.（下面給出了幾個邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用）

尖子生題庫答案

c=3

1.解：(1)由已知得：《解得

-l-b+c=0

c=3,b=2

...拋物線的線的解析式為y=—幺+2》+3

(2)由頂點坐標公式得頂點坐標為(1,4)

所以對稱軸為x=l,A,E關(guān)于x=l對稱，所以E(3,0)

設(shè)對稱軸與x軸的交點為F

所以四邊形ABDE的面積=SMB0+S梯形B0FD+5AoFE

=^AOBO+^(BO+DF)OF+^EFDF

=gxlx3+g(3+4)xl+gx2x4

=9

(3)相似

如圖，BD=y/BG2+DG2=Vl2+12=V2

BE=y/BO2+OE2=V32+32=372

DE=yjDF2+EF2="742=2#>

所以加始+臺爐=20,。爐=2()即：加刀+臺爐:力爐所以此力后是直角三角形

所以NA08=N08E=90°,且也=也=也，

BDBE2

所以A4O8口\DBE.

2.(1)VA,B兩點的坐標分別是A(10,0)和B(8,273),

tanNOAB=-V3,

10-8

/.ZOAB=60°

當(dāng)點A'在線段AB上時，：NOAB=60°,TA=TA',

...△A'TA是等邊三角形，且TP_LTA',

c11

ATP=(10-1)sin60°=y-(10-1),AZP=AP=-AT=-(10-1),

in

，S=SMTp=5A'PTP=^(10-t)2,

當(dāng)A'與B重合時，AT=AB=------=4,

sin60°

所以此時6<t<10.

(2)當(dāng)點A'在線段AB的延長線，且點P在線段AB(不與B重合)上時，

紙片重疊部分的圖形是四邊形(如圖(1),其中E是TA'與CB的交點),

當(dāng)點P與B重合時，AT=2AB=8,點T的坐標是(2,

又由(1)中求得當(dāng)A'與B重合時，T的坐標是(6,0)

所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時，2<t<6.

(3)S存在最大值

①當(dāng)6Wt<10時，S=—(10-t)2,八

QzkJ

*TA

在對稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小，

...當(dāng)t=6時，S的值最大是26.

②當(dāng)2Wt<6時，由圖①，重疊部分的面積5=$從口一$叢包

VAA'EB的高是A'Bsin600,

.?.S=》iO-t)2-1(10-t-4)2x^

=y^(-t2+4t+28)=—^(t—2>+4百

當(dāng)t=2時，S的值最大是4JJ；

③當(dāng)0<t<2,即當(dāng)點A'和點P都在線段AB的延長線是(如圖②，其中E是TA'與

CB的交點，F(xiàn)是TP與CB的交點)，

；NEFT=NFTP=NETF,四邊形ETAB是等腰形，；.EF=ET=AB=4,

,,.S=-EFOC=-x4x2V3=473

22

綜上所述，S的最大值是4此時t的值是0<tW2.

3.解：(1)?.?NA=RtN,AB=6,AC=8,/.BC=\O.

?.?點。為AB中點，.?.8O=LAB=3.

2

;NDHB=NA=90",NB=NB.

:.△BHDsMAC,

也=嗎.?■=嗎4C=』X8=在

ACBCBC105

(2)-：QR//AB,:.ZQRC=ZA=90°.

?：ZC=ZC,:./\RQCs△ABC,

RQ_QCy_10-x

"AB~BC'"6"10'

3

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=--x+6.

(3)存在，分三種情況：

①當(dāng)PQ=PR時,過點P作尸MJ_QR于M,則QM=RM.

Zl+Z2=90°,

.?.N1=NC.

B/r]---------—

HQ

84QM4

/.cosZl=cosC—-，??一，

105QP5

A

If3力%,,?，寸?/Ax

.2(5人

"12

J

D八C

312H0

②當(dāng)PQ=RQ時,——x+6=—，

55

A

x-6.

③當(dāng)PR=Q/?時,則式為PQ中垂線上的點，/二"

----------------

于是點H為EC的中點，H。

:.CR=-CE^-AC^2.

24

「QRBA

tanC==——，

CRCA

3,

—5x+6_6么_15<

?.——f,,x——.

282

1Q1

綜上所述，當(dāng)x為匕或6或」，時，△PQR為等腰三角形.

5

4.解：⑴,:MN//BC,.?NAMN=NB,ZANM=ZC.

：.XAMNsAABC.

此雪即」N

ABAC4：,BC

圖1

3

???AN=-x.2分

4

133

,,=~^^AMN'（0<X<4）.........3分

24o

（2）如圖2,設(shè)直線BC與。0相切于點

在RtZ\ABC中，BC=ylAB2+AC2=5.

由（1）知△AMNs△ABC.

...AMMN即％;MN

45

MN=-x,

4

OD——x.............5分

8

過M點作MQ1BC于。，則MQ=0。=.

8

在RtZXBMQ與RtZXBCA中，N8是公共角,

/./\BMQs/\BCA.

???BM=QM.

BCAC

u5

5X—x2525

二BM=―^-=—x,AB=BM+MA=—x+x^4.

32424

96

x=一

49

.??當(dāng)工=生時，。。與直線BC相切................................7分

49

(3)隨點M的運動，當(dāng)尸點落在直線BC上時，連結(jié)AP,則0,點為AP的中點.

■:MN〃BC,:?NAMN=/B,ZAOM=ZAPC.

：./\AM0s叢ABP.

國J絲」.AM=MB=2.

ABAP2

故以下分兩種情況討論:

3

①當(dāng)0<xW2時，y=S=-x2.

APMN8

33

當(dāng)X=2時，y最大=§X22=5............................8分

②當(dāng)2Vx<4時，設(shè)PN分別交BC于E,F.

A

V四邊形AMPN是矩形，

M￡NN

，PN//AM,PN=AM=x.

、B

P

???四邊形M8/W是平行四邊形.

圖4

???FN=BM=4—x.

PF=x-(4-x)=2x-4.

又XPEFs/\ACB.

?..(尸―丫，S"EF.

vA8)SMBC

SAPEF=m(X-2)一..................

...........................9分

%2-_2=-2

y=S\MNP-S"EF=7T(X)-7x+6x-6..................10分

oZo

嚀）+2.

當(dāng)2V冗<4時，v=—x2,+6x-6=—|}

88(

Q

：.當(dāng)x=§時，滿足2VxV4,y最大=2...............11分

Q

綜上所述，當(dāng)工=:時，y值最大，最大值是2...................12分

k

5.解：(1)(-4,-2)；(-m,--)

m

(2)①由于雙曲線是關(guān)于原點成中心對稱的,所以O(shè)P=OQ,OA=OB,所以四邊形APBQ

一定是平行四邊形

②可能是矩形，mn=k即可

不可能是正方形，因為Op不能與0A垂直.

解：(1)作BEJ_OA,

AAOB是等邊三角形

.\BE=OB-sin60"=2jL

；.B(2百，2)

?；A(0,4),設(shè)AB的解析式為>=自+4,所以26%+4=2,解得上=—程，的以直線AB的

解析式為

y=—旦+4

-3

(2)由旋轉(zhuǎn)知,AP=AD,ZPAD=60",

：.△APD是等邊三角形，PD=PA=‘AO?+是尸2=719

6.解:(1)作BE_LOA,二△AOB是等邊三角形二BE=OB-sin60°=20,：,

B(2V3,2)

?.?(0,4),設(shè)A13的解析式為丁=依+4,所以26攵+4=2,解得女=一4,

以直線AB的解析式為y=-弓光+4

(2)由旋轉(zhuǎn)知，AP=AD,ZPAD=60°,

△APD是等邊三角形，PD=PA=ylAO2+OP2=M

如圖，作BE_LAO,DH_LOA,GB_LDH,顯然AGBD中NGBD=30°

?.GD=-BD=―,DH=GH+GD=—+273=-

2222

百3-37

GB=—BD=-,OH=OE+HE=OE+BG=2+-=-

2222

⑶設(shè)OP=x,

會-2向土而由zc,-2造土而°、

解得：x=------------------所以P(-------------------,0)

33

7.解：

(1)①BG=DE,BGLDE

2分

②BG=DE,BG1DE仍然成

在圖(2)中證明如下

?.?四邊形A8C。、四邊形A3CO都是正方形

BC=CD,CG=CE,NBCD=NECG=90°

NBCG=ZDCE

ABCG=\DCE(SAS)........................................................................

/.BG=DEZCBG=NCDE

又；NBHC=NDHOZCBG+ZBHC=90°

，NCDE+ZDHO=90°4DOH=90°

BGIDE

(2)BG1DE成立,BG=DE不成立

簡要說明如下

?.?四邊形ABC。、四邊形CEFG都是矩形，

且AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a豐b,&>0)

餐嚕=9NBCD=NECG=90。

NBCG=NDCE

△BCG□\DCE1分

NCBG=NCDE

又NBHC=ZDHOZCBG+NBHC=90°

NCDE+ZDHO=90°，4DOH=90°

BGIDE.....................................................................................................1分

(3),/BG1DE：.BE2+DG2=OB2+OE1+OG2+OD2=BD2+GE2

又■：a=3,b—2,k——

2

65

BD2+GE2=22+32+l2+1分

BE2+DG2^—1分

4

8.解:

⑴①AB=2

2分

Q

OA=—=4,OC=4,S相彩OABL12................................................................

2

2分

②當(dāng)2</<4時，

直角梯形OABC被直線/掃過的面積=直角梯形048c面積一直角三角開

OOE面積

1,

S=12--(4-r)x2(4-/)=-r2+8r-4............................4分

(2)存

在..................................................................1分

O

[(一12,4),￡(-4,4),鳥(—§,4),舄(4,4),4(8,4)…(每個點對各得1分)

5分

對于第(2)題我們提供如下詳細解答(評分無此要求).下面提供參考解法二:

①以點D為直角頂點，作尸片_1_*軸

在R/AOOH11,0E=20。，.?.設(shè)。。=b,0E=2b.RtAODE=RtARPD,(圖示

陰影）

.?.。=4,2。=8,在上面二圖中分別可得到P點的生標為尸（一12,4）、P（-4,4）

Q

同理在②二圖中分別可得P點的生標為尸（一一，4）、尸（8,4）七點在0點下方不可能.

3

同理在③二圖中分別可得P點的生標為尸(一4,4)(與①情形二重合舍去)、P(4,4),

E點在A點下方不可能.

Q

綜上可得產(chǎn)點的生標共5個解，分別為尸(-12,4)、P(-4,4)、P(--14)、

3

P(8,4)、P(4,4).

下面提供參考解法二：

以直角進行分類進行討論(分三類)：

第一類如上解法⑴中所示圖

NP為直角：設(shè)直線DE：y=2x+2。,此時￡K-b,。)，E(0,2b)

的中點坐標為(-2b),直線DE的中垂線方程：y-b^--(x+-),令y=4得

222

P(y-8,4).由已知可得=即行—8)2+(4—26)2=病工^'化簡

QQk

得3/一328+64=0解得4=8,仇=2將之代入尸(二-8,4)/.P=(4,4)、

12321

6(-4,4)；

第二類如上解法②中所示圖

NE為直角：設(shè)直線OE：y=2x+24此時ZX-b,o),E(0,2b)

,直線PE的方程：y=~x+2b,令y=4得P(4Z?—8,4).由已知可得PE=0E即

J(4b-8)2+(4-26)2=加+破化筒得b1=(2b-8)2解之得，

48

4=4,2■將之代入R4b-8,4)，4=(8,4)、4(-；,4)

第三類如上解法③中所示圖

ND為直角:設(shè)直線OE：y=2x+2b,此時ZX-b,o),E(0,2b)

,直線P。的方程：y=-^(x+h),令y=4得P(—?！?,4).由已知可得PO=OE即

&2+4?="2+4活解得瓦=4,a=一4將之代入