條件分布律條件分布函數(shù)條件概率密度課件

條件分布律條件分布函數(shù)條件概率密度課件定義3.6.1

稱P(ξ<x|η=y)為已知(η=y)發(fā)生的條件下ξ

的條件分布函數(shù),并記作Fξ|η(x|y).設(shè)(ξ,η)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),它的密度函數(shù)為p(x,y),我們不能象離散型隨機(jī)變量那樣,利用來計(jì)算條件分布,因?yàn)閷?duì)連續(xù)型隨機(jī)變量來說,我們要利用連續(xù)性來計(jì)算條件分布若p(u,v)及pη(v)是連續(xù)函數(shù),又pη(y)>0則有顯然,這時(shí)Fξ|η(x|y)關(guān)于

x

的導(dǎo)數(shù)存在,且有我們稱pξ|η(x|y)為在已知(η=y)發(fā)生的條件下ξ

的條件概率密度.完全類似地可以定義Fη

|ξ(y|x)及pη

|ξ(y|x)注意y是常數(shù),對(duì)每一fY(y)>0的y處,只要相仿論述.僅是x的函數(shù),

類似于乘法公式：符合定義的條件,都能定義相應(yīng)的函數(shù).類似于全概率公式類似于Bayes公式例3.6.1

若(ξ,η)是

N(a1,a2,σ12,σ22,ρ)分布的二維正態(tài)隨機(jī)變量,試求條件概率密度pξ|η(x|y)

及

pη|ξ(y

|x).解:由對(duì)稱性可得注意觀察上面兩式不難發(fā)現(xiàn),二維正態(tài)分布的兩個(gè)條件分布也都是正態(tài)分布,其中例3.6.2

已知(X,Y)服從圓域x2+y2r2

上的均勻分布,求r解x-r=例3同理，邊緣分布不是均勻分布！當(dāng)

–r<y<r

時(shí)，y—這里y

是常數(shù)，當(dāng)Y=y時(shí)，當(dāng)

–r<x<r

時(shí)，—這里x

是常數(shù)，當(dāng)X=x時(shí)，x定義3.6.2

如果隨機(jī)變量ξ

在

(η=y)發(fā)生的條件下的條件密度函數(shù)為pξ|η(x|y),

若則稱為ξ

在

(η=y)發(fā)生的條件下的條件數(shù)學(xué)期望,或簡(jiǎn)稱為條件期望.同離散型情形相同,連續(xù)型隨機(jī)變量的條件期望也具有下述性質(zhì):條件數(shù)學(xué)期望證明:設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y),記

g(y)=E(X|Y=y),則g(Y)=E(X|Y)（重期望公式）其中括號(hào)中的積分不是別的,正是條件期望所以重期望公式是概率論中較為深刻的一個(gè)結(jié)論,它在實(shí)際中很有用.例3.6.3

設(shè)電力公司每月可以供應(yīng)某工廠的電力X服從(10,30)(單位:104kW)上的均勻分布,而該工廠每月實(shí)際需要的電力Y服從(10,20)(單位:104kW)上的均勻分布.如果工廠能從電力公司得到足夠的電力,則每104kW電可以創(chuàng)造30萬(wàn)元的利潤(rùn),若工廠從電力公司得不到足夠的電力,則不足部分由工廠通過其他途徑解決,由其他途徑得到的電力每104kW電只有10萬(wàn)元的利潤(rùn).試求該廠每個(gè)月的平均利潤(rùn).解:從題意知,每月供應(yīng)電力X~U(10,30),而工廠實(shí)際需要電力Y~U(10,20).若設(shè)工廠每個(gè)月的利潤(rùn)為Z萬(wàn)元,則按題意可得在X=x

給定時(shí),Z

僅是Y

的函數(shù),于是當(dāng)10x<20時(shí),Z

的條件期望為當(dāng)20x30時(shí),Z

的條件期望為然后用X的分布對(duì)條件期望E(Z|X=x)再作一次平均,即得所以該廠每月的平均利潤(rùn)為433萬(wàn)元.例3.6.4

隨機(jī)個(gè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望設(shè)X1，X2，…,是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量N

只取正整數(shù)值，且N

與{Xn}獨(dú)立，證明：證明：由重期望公式知利用此題的結(jié)論，我們可以解很多實(shí)際問題，如：（1）設(shè)一天內(nèi)到達(dá)某商場(chǎng)的顧客數(shù)N

是公取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，且E（N）=35000.又設(shè)進(jìn)入此商場(chǎng)的第i

個(gè)顧客的購(gòu)物金額為Xi

，可以認(rèn)為諸Xi

是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且E(Xi)=82(元)。假設(shè)N

與Xi

相互獨(dú)立是合理的，則此商場(chǎng)一天的平均營(yíng)業(yè)額為（2）一只昆蟲一次產(chǎn)卵數(shù)N

服從參數(shù)為λ

的泊松分布，每個(gè)卵能成活的概率是p,可設(shè)Xi

服從0—1分布，而{Xi=1}表示第個(gè)卵子成活，則一只昆蟲一次產(chǎn)卵后的平均成活卵數(shù)為算出罪犯的身高.這個(gè)公式是

公安人員根據(jù)收集到的罪犯腳印，通過公式

由腳印估計(jì)罪犯身高

如何推導(dǎo)出來的?估身高顯然，兩者之間是有統(tǒng)計(jì)關(guān)系的，故設(shè)一個(gè)人身高為X,腳印長(zhǎng)度為Y.

由于影響人類身高與腳印的隨機(jī)因素是大量的、相互獨(dú)立的，且各因素的影響又是微小的,可以疊加的.故應(yīng)作為二維隨機(jī)變量(X,Y)來研究.由中心極限定理知(X,Y)可以近似看成服從二維正態(tài)分布其中參數(shù)因區(qū)域、民族、生活習(xí)慣的不同而有所變化，但它們都能通過統(tǒng)計(jì)方法而獲得.密度為現(xiàn)已知罪犯的腳印長(zhǎng)度為Y,要估計(jì)其身高就需計(jì)算條件期望,條件

的密度函數(shù),因此

這正是正態(tài)分布

如果按中國(guó)人的相應(yīng)參數(shù)代入上式，即可得出以腳印長(zhǎng)度作自變量的身高近似公式.由上面的公式可以看到，身高是腳印Y的線性函數(shù)，如果把畫在平面上的直角坐標(biāo)系中，它是一條直線，常常稱為是回歸直線。一般而言，由或可以得到平面上的兩條曲線，它們稱為是回歸曲線或簡(jiǎn)稱為回歸。（第一類回歸曲線）設(shè)(ξ,η)是一個(gè)隨機(jī)向量，我們已經(jīng)知道E{ξ|η}是η

的函數(shù)。我們說，E{ξ|η}是ξ

的最佳估計(jì)。事實(shí)上，設(shè)g(η)是ξ的任一估計(jì)，那么這種估計(jì)的誤差|ξ-g(η)|越小越好。但|ξ-g(η)|是隨機(jī)變量，一般就要求它的平均值或者如果(ξ,η)的密度函數(shù)是p(x,y),就有第一類回歸由方差的性質(zhì)（3）知，當(dāng)時(shí)達(dá)到最小，從而當(dāng)時(shí)，也使所以，在已知(η=y)發(fā)生的條件下，用E{ξ|η=y}作為對(duì)ξ的估計(jì)或預(yù)測(cè)是最佳的，這時(shí)均方誤差達(dá)到最小。我們稱或?yàn)榈谝活惢貧w。如果密度函數(shù)p(x,y)未知或過分復(fù)雜第二類回歸考慮η

的線性函數(shù)類確定常數(shù)a,b,使為此，只要令即解上述方程組可以求得于是，在線性函數(shù)類中使得均方誤差達(dá)到最小的線性估計(jì)或預(yù)測(cè)是：通常稱上式為線性回歸或第二類回歸。對(duì)于正態(tài)分布來說，第