2021年廣東省潮州市饒平華僑中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021年廣東省潮州市饒平華僑中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)x、y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則+的最小值為(

)A．3+2 B．3﹣2 C．8 D．10參考答案：A【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得a+2b=1，然后利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0）為，聯(lián)立，解得B（1，1），由圖可知，當(dāng)直線過B時(shí)直線在y軸上的截距最大，z有最大值為a+2b=1，∴+=（+）（a+2b）=3+．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號成立．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了基本不等式求最值，是中檔題．2.已知向量、，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，則向量和的夾角是（）A． B． C． D．π參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】由（﹣）⊥，則（）=0，即有=，再由向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，即可得到夾角．【解答】解：由于||=，||=2，且（﹣）⊥，則（）=0，即有=，則2=×＞，則有cos＜＞=，即有向量和的夾角為．故選A．【點(diǎn)評】本題考查平面向量及運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.參考答案：A4.已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.定義運(yùn)算：，則的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.函數(shù)f（x）=lnx﹣的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A．（1，2） B．（，1） C．（2，3） D．（e，+∞）參考答案：C【分析】利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，化簡求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=lnx﹣的定義域?yàn)椋簒＞0，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0．f（3）=ln3﹣＞1﹣=0．f（2）f（3）＜0，由函數(shù)零點(diǎn)判定定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（2，3）．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．7.已知不等式組表示的平面區(qū)域恰好被圓C：所覆蓋，則實(shí)數(shù)k的值是（

）A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：D8.如圖，在ΔABC中，，，，則=（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．F3

【答案解析】D

解析：∵在△ABC中，AD⊥AB，∴=0,=（+）=?+?=?=?=（﹣）?=?﹣?=,故選D．【思路點(diǎn)撥】將轉(zhuǎn)化成（+），化簡后得?，然后轉(zhuǎn)化成?=（﹣）?，再進(jìn)行化簡可得結(jié)論．9.一個(gè)長方體被一平面截去一部分后,所剩幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（

）A．36

B．48

C.64

D．72參考答案：B10.(

)A.{x|x＜-1或x＞2}

B.{x|x≤-1或x＞2}

C.{x|x＜-1或x≥2}

D.{x|x≤-1或x≥2}參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)p：f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上是遞增的，q：m≥﹣4，則p是q的條件．參考答案：充要【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：要使f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即f′（x）=恒成立，∴m在（0，+∞）恒成立，∵當(dāng)x＞0時(shí)，，∴，即m≥﹣4，∴p：m≥﹣4，∵q：m≥﹣4，∴p是q的充分必要條件．故答案為：充要條件12.過點(diǎn)P（－1，2）且與曲線y=3x2－4x＋2在點(diǎn)M（1，1）處的切線平行的直線方程是______.參考答案：y=2x+4略13.在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m=

．參考答案：3考點(diǎn)：幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：畫出數(shù)軸，利用x滿足|x|≤m的概率為，直接求出m的值即可．解答： 解：如圖區(qū)間長度是6，區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，所以m=3．故答案為：3．點(diǎn)評：本題考查幾何概型的求解，畫出數(shù)軸是解題的關(guān)鍵．14.設(shè)實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：15.已知向量滿足，則|b|=

。參考答案：略16.設(shè)，若，則_________參考答案：17.設(shè)函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)，直線都不是曲線的切線，則的取值范圍是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

命題：實(shí)數(shù)滿足（其中）；命題：實(shí)數(shù)滿足.（Ⅰ）若，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，當(dāng)a=1時(shí)，1＜x＜3，即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．由得解得2＜x≤3，即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3．若p∧q為真，則p真且q真，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是（2，3）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：a＜x＜3a，則?p：x≤a或x≥3a，q：2＜x≤3，則?q：x≤2或x＞3，?p是?q的充分不必要條件，則?p??q，且?q??p，∴解得1＜a≤2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]．19.（本小題滿分16分）

已知，且正整數(shù)n滿足

（1）求n；

（2）若是否存在，若不存在，試說明理由：

（3）參考答案：20.20（本小題滿分12分）

討論函數(shù)的單調(diào)性．參考答案：解：函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

………….(1分)

………….(4分)①

若即時(shí)，則故在區(qū)間上單調(diào)遞增；.(6分)②若已知，即，則當(dāng)時(shí)，

當(dāng)或時(shí)，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；….(9分)③

若，即時(shí)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增

…….(12分)略21.據(jù)統(tǒng)計(jì)，我國每年交通事故死亡人數(shù)已經(jīng)超過了10萬人，我國汽車保有量不到全世界2%，但是交通事故死亡人數(shù)則占全球的20%，其中一個(gè)很重要的原因是國內(nèi)很多駕駛員沒有養(yǎng)成正確的駕駛習(xí)慣，沒掌握事故發(fā)生前后正確的操作方法．某地交通管理部門從當(dāng)?shù)啬绸{校當(dāng)期一班、二班學(xué)員中各隨機(jī)抽取9名學(xué)員參加交通法規(guī)知識(shí)抽測，測試成績繪制的莖葉圖如下，其中有一個(gè)成績模糊，用x表示．（Ⅰ）平均抽測的一班、二班學(xué)員的平均分相同，求x的值，并寫出這個(gè)平均分；（Ⅱ）若在參加測試的成績不低于90分分學(xué)員中任取兩人，求這兩個(gè)來自同一班的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；莖葉圖．【分析】（Ⅰ）由平均抽測的一班、二班學(xué)員的平均分相同，利用莖葉圖列出方程，由此能求出x和一班、二班學(xué)員的平均分．（Ⅱ）成績不低于90分分學(xué)員一班有2人，二班有3人，由此能求出在參加測試的成績不低于90分分學(xué)員中任取兩人，這兩個(gè)來自同一班的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵平均抽測的一班、二班學(xué)員的平均分相同，∴（93+90+x+81+83+85+73+77+63+69）=（90+94+97+84+72+76+63+68）=80，解得x=6，一班、二班學(xué)員的平均分都是80．（Ⅱ）成績不低于90分分學(xué)員一班有2人，二班有3人，在參加測試的成績不低于90分分學(xué)員中任取兩人，基本事件總數(shù)n==10，這兩個(gè)來自同一班包含的基本事件個(gè)數(shù)m==4，∴這兩個(gè)來自同一班的概率p=．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．22.已知函數(shù)f（x）=（a∈R），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x﹣1．（1）求實(shí)數(shù)a的值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）試比較20142015與20152014的大小，并說明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2對任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）由求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)，再由切線的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函數(shù)解析式和導(dǎo)數(shù)，分別求出f′（x）＞0、f′（x）＜0對應(yīng)的x的范圍，即求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）解法一：根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性得：＞，由對數(shù)的運(yùn)算律、單調(diào)性化簡即可，解法二：將化為：，由二項(xiàng)式定理化簡=，再由放縮法和裂項(xiàng)相消法進(jìn)行化簡；（3）先將kx＞f（x）+2分離出k：，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，再求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）并化簡，再構(gòu)造函數(shù)并二次求導(dǎo)，通過特殊函數(shù)值的符號，確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，列出表格判斷出g（x）的單調(diào)性，從而求出g（x）的最大值，再由自變量的范圍確定出g（x）的最大值的范圍，從而求出滿足條件的k的最小值．【解答】解：（1）依題意，（x＞0），所以=，由切線方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0，此時(shí)（x＞0），，令f′（x）＞0得，1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；令f′（x）＜0得，1﹣lnx＜0，解得x＞e，所以f（x）的增區(qū)間為（0，e），減區(qū)間為（e，+∞）．（2）解法一：由（1）知，函數(shù)f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以f＞f，即＞，則2015ln2014＞2014ln2015，所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014解法二：=，因?yàn)?=1+1+++…+＜2+＜2+＜2+（1﹣）+（）+…+（﹣）=3﹣＜3，所以，所以20142015＞20152014．（3）若kx＞f（x）+2對任意x＞0恒成立，則，記g（x）=，只需k＞g（x）max．又=，記h（x）=1﹣2x﹣2lnx（x＞0），則，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．又h（1）=﹣1＜0，=1﹣+ln2＞1﹣+ln2=ln＞0，所以存在唯一，使得h（x0）=0，即1﹣2x0﹣2lnx0=0，當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）、g′（x）、g（x）的變化情況如下：x（0，x0）x0（x0，+∞）h（x）+0﹣g′（x）+0﹣g（x）↗極大值↘

所以g（x）max=g（x0）=，