二項(xiàng)分布與普哇松分布及其應(yīng)用

二項(xiàng)分布與普哇松分布及其應(yīng)用第1頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二項(xiàng)分布與普哇松分布及其應(yīng)用

一．二項(xiàng)分布（binomialdistribution）的概念及應(yīng)用條件二．二項(xiàng)分布的應(yīng)用三．Poisson分布的概念及應(yīng)用條件四.Poisson分布的應(yīng)用第2頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一．二項(xiàng)分布（binomialdistribution）的概念及應(yīng)用條件

1．概念拋一枚均勻硬幣,正面朝上的出現(xiàn)次數(shù)X:X01P0.50.5X的分布稱作為二點(diǎn)分布,如果將此試驗(yàn)重復(fù)若干次，如10次，正面朝上的出現(xiàn)次數(shù)X可以為0,1,2,…,10第3頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日從一個(gè)人群中隨機(jī)抽樣，假定已知這個(gè)人群中某病的患病率為0.10，則隨機(jī)抽出一人，患病人數(shù)的分布服從二點(diǎn)分布，X01p0.90.1第4頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日將此過(guò)程重復(fù)若干次，如n次，即抽取了n人，則患病人數(shù)的分布即為二項(xiàng)分布。

X0123……np?????第5頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日應(yīng)用條件：①每個(gè)觀察單位只能有2個(gè)互相對(duì)立的一個(gè)結(jié)果，如陽(yáng)性與陰性，生存與死亡，發(fā)病與未發(fā)病。②

每次試驗(yàn)的條件不變。③

n個(gè)觀察單位的結(jié)果相互獨(dú)立。第6頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例1設(shè)小白鼠接受某種毒物一定劑量時(shí)。其死亡率為80%，對(duì)于每只小白鼠來(lái)說(shuō)，死亡概率0.8，生存概率0.2。如果每組有甲乙丙三只小白鼠第7頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第8頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2．二項(xiàng)分布的概率

設(shè)陽(yáng)性結(jié)果發(fā)生的概率為π，則n個(gè)觀察單位有x個(gè)呈陽(yáng)性的概率第9頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3．二項(xiàng)分布的累計(jì)概率最多有k例陽(yáng)性的概率p(x≤k)=P(X=0)+P(X=1)+……+P(X=k)最少有k例陽(yáng)性的概率p(x≥k)=P(X=k)+P(X=k+1)+……+P(X=n)第10頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2（藥效的判斷問(wèn)題）已知某種疾病患者自然痊愈率為0.25，為了鑒定一種新藥是否有效，醫(yī)生把它給10個(gè)病人服用，且事先規(guī)定一個(gè)決策規(guī)則：若這10個(gè)病人中至少有4人治好此病，則認(rèn)為這種藥有效，提高了痊愈率，反之，則認(rèn)為此藥無(wú)效。求新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率。第11頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

4．二項(xiàng)分布的性質(zhì)

(1)π=0.5時(shí)分布對(duì)稱，π≠0.5分布偏態(tài)第12頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第13頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第14頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第15頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

(2)

π不接近0或1，n較大時(shí)，近似正態(tài)，一般地要求nπ>5且n(1-π)>5第16頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

(3)

均數(shù)μ=nπ標(biāo)準(zhǔn)差σ=(4)

陽(yáng)性率的均數(shù)μp=π

標(biāo)準(zhǔn)差σp=

（率的標(biāo)準(zhǔn)誤）第17頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例3在某鎮(zhèn)按人口的1/20隨機(jī)抽取329人，作血清登革熱血凝抑制抗體反應(yīng)檢驗(yàn)，得陽(yáng)性率p=8.81%,則此陽(yáng)性率的抽樣誤差

第18頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二．二項(xiàng)分布的應(yīng)用

1.總體率的區(qū)間估計(jì)①查表法n≤50②正態(tài)近似法np>5n(1-p)>5p±uasp第19頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例4在血吸蟲病流行區(qū)中，某縣根據(jù)隨機(jī)原則抽查4000人， 其血吸蟲感染率為15%，如全縣人口為205000人，試以99%的可信區(qū)間估計(jì)該縣血吸蟲感染人數(shù)至少有多少？至多有多少？總體率的99%可信區(qū)間即0.1354~0.1646至少0.1354×205000=27757至多0.1646×205000=33743

第20頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2．率的假設(shè)檢驗(yàn)

①樣本率與總體率比較比較的目的是推斷該樣本所代表的未知總體率π與已知的總體率π0是否相等。②兩樣本率比較的u檢驗(yàn)第21頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日①樣本率與總體率比較

方法一：直接計(jì)算概率法

例5據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，新生兒染色體異常率一般為1%，某醫(yī)院觀察了當(dāng)?shù)?00名新生兒，只有1例異常，問(wèn)該地新生兒染色體異常率是否低于一般？H0:π=0.01H1:π<0.01α=0.05P=p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)p>0.05不拒絕H0第22頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日問(wèn)題:P=P(x≤1),而不是P=P(x≤2)P=P(x≤1),而不是P=P(x=1)3.P=P(x≤1),而不是P=P(x≥1)第23頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例用一種新藥治療某種寄生蟲病,受試者50人在服藥后1人發(fā)生某種嚴(yán)重反應(yīng),這種反應(yīng)在此病患者中也曾有發(fā)生，但過(guò)去普查結(jié)果約為每5000人中僅有1人出現(xiàn)。問(wèn)此新藥是否提高了這種反應(yīng)的發(fā)生率?第24頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

方法二：正態(tài)近似法（n較大）第25頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例6根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，一般胃潰瘍病患者有20%發(fā)生胃出血癥狀，現(xiàn)某醫(yī)院觀察65歲以上潰瘍病人304例，有31.6%發(fā)生胃出血癥狀,問(wèn)老年胃潰瘍病患者是否較容易出血?H0:π=0.2H1:π>0.2α=0.05

p<0.05拒絕H0，認(rèn)為……第26頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

②兩樣本率比較的u檢驗(yàn)第27頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例7某山區(qū)小學(xué)男生80人，其中肺吸蟲感染23人，感染率為28.75%,女生85人感染13人,感染率為15.29%,問(wèn)男女生的肺吸蟲感染率有無(wú)差別?H0:π0=π1H1:π0≠π1α=0.05pc=(23+13)/(80+85)=0.2182查u界值表得0.01<p<0.05第28頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三．Poisson分布的概念及應(yīng)用條件

Poisson分布常用于研究單位容積內(nèi)某事件的發(fā)生數(shù)，如:

某交換臺(tái)在某一段時(shí)間內(nèi)所接到的呼喚次數(shù)某公共汽車站在一固定時(shí)間內(nèi)來(lái)到的乘客數(shù)在物理學(xué)中，放射性分裂落到某區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)數(shù)顯微鏡下落在某區(qū)域中的微生物的數(shù)目在工業(yè)生產(chǎn)中，每米布的疵點(diǎn)數(shù)紡織機(jī)上的斷頭數(shù)等等都服從Poisson分布。

第29頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日醫(yī)學(xué)研究中，單位容積中大腸桿菌數(shù)粉塵在單位容積的數(shù)目放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)放射質(zhì)點(diǎn)數(shù)一定人群中患病率較低的非傳染性疾病患病數(shù)（或死亡數(shù)）的分布。第30頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1．概率x=0，1，2，……μ是總體均數(shù)第31頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

2．分布特征①

非對(duì)稱，但μ增大時(shí)趨于對(duì)稱第32頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第33頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第34頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日②

均數(shù)與方差均為μ③

分布的可加性，可使μ>20,使得可用正態(tài)近似第35頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.應(yīng)用條件平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無(wú)關(guān)獨(dú)立增量性：在某個(gè)觀察單位X的取值與前面n個(gè)觀察單位上X的取值獨(dú)立.普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1第36頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四．Poisson分布的應(yīng)用

1.區(qū)間估計(jì)①查表法x≤50例8將一個(gè)面積為100cm2的培養(yǎng)皿置于某病室中，1小時(shí)后取出，培養(yǎng)24小時(shí),查得8個(gè)菌落,求該病室平均1小時(shí)100cm2細(xì)菌數(shù)的95%可信區(qū)間.X=8,查表得,μ的95%可信區(qū)間是(3.4,15.8)第37頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日②正態(tài)近似法x>50例9用計(jì)數(shù)器測(cè)得某放射性物質(zhì)半小時(shí)內(nèi)發(fā)出的脈沖數(shù)為360個(gè)，試估計(jì)該放射性物質(zhì)每30分鐘平均脈沖數(shù)的95%可信區(qū)間。第38頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2．假設(shè)檢驗(yàn)①樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較比較的目的是推斷該樣本所代表的未知總體均數(shù)μ是否等于已知的μ0（理論值、標(biāo)準(zhǔn)值或經(jīng)大量觀察所得的穩(wěn)定值）方法一：直接計(jì)算概率法第39頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例9據(jù)以往大量觀察得某溶液中平均每毫升有細(xì)菌3個(gè)。某研究者想了解該溶液放在5°C冰箱中3天，溶液中細(xì)菌數(shù)是否會(huì)增長(zhǎng)?，F(xiàn)采取已放在5°C冰箱中3天的該溶液1毫升，測(cè)得細(xì)菌5個(gè)。問(wèn)該溶液放在5°C冰箱中3天是否會(huì)增長(zhǎng)？H0：不會(huì)增長(zhǎng)，即μ=3溶液中細(xì)菌數(shù)服從Poisson分布P=P（X≥5）=1-P（X=0）-…-P（X=4）=0.1847所以……第40頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例10已知接種某疫苗時(shí)，一般嚴(yán)重反應(yīng)率為1‰，現(xiàn)用一批該種疫苗接種150人，有2人發(fā)生嚴(yán)重反應(yīng)，問(wèn)該批疫苗的嚴(yán)重反應(yīng)率是否高于一般。H0:μ=μ0=0.001×150=0.15H1:μ>0.15α=0.05p(x≥2)=1-p(x=0)-p(x=1)=0.0102<α所以拒絕H0注:此題也可用二項(xiàng)分布計(jì)算得p=0.0101529第41頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日方法二:正態(tài)近似法（μ≥20）例11某溶液原來(lái)平均每毫升有細(xì)菌80個(gè),現(xiàn)欲研究某低劑量輻射能否殺菌。研究者以此低劑量輻射該溶液后取1毫升，培養(yǎng)得細(xì)菌40個(gè)。試作統(tǒng)計(jì)分析。H0:輻射后溶液中平均每毫升細(xì)菌數(shù)μ0=80H1:μ<80α=0.05u=-4.47,p<0.05拒絕H0,認(rèn)為……第42頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日②兩樣本均數(shù)比較的u檢驗(yàn)應(yīng)用條件：μ1>20μ2>20檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

第43頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例11分別從兩個(gè)水源各取10次樣品，從每個(gè)樣品取出1ml水作細(xì)菌培養(yǎng),甲水源共生長(zhǎng)890個(gè)菌落，乙水源共生長(zhǎng)785個(gè)菌落,問(wèn)兩水源菌落數(shù)有無(wú)差別？H0:兩水源菌落數(shù)相等，即μ1=μ2H1:μ1≠μ2α=0.05

=2.566查表得p=0.0102所以拒絕H0，認(rèn)為兩水源菌落數(shù)有差別，以甲水源較高。第44頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例12某車間在改革生產(chǎn)工藝前，測(cè)取三次粉塵濃度，每升空氣中分別有38、39、36顆粉塵；改革工藝后，測(cè)取兩次，分別有25、18顆粉塵。問(wèn)工藝改革前后粉塵數(shù)量有無(wú)差別？H0:μ1=μ2H1:μ1≠μ2α=0.05查表得p=0.0066所以拒絕H0。

第45頁(yè)，共47頁(yè)，202