一元二次方程的根的分布

一元二次方程的根的分布第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日求函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)方法：（1）方程f(x)=0的根個數(shù)（2）函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個數(shù)（3）轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個數(shù)想一想,怎樣確定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)呢？第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點(diǎn)的判別方法：思考:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn)，是否一定有f(a)·f(b)<0？第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日下面我們將主要結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分兩種情況系統(tǒng)地介紹一元二次方程實(shí)根分布的條件及其運(yùn)用一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容。但解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用。一元二次方程根的分布強(qiáng)調(diào)：為簡化情況，我們在此只研究a>0的一元二次方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時，先化為正。即把一元二次方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

ax2+bx+c=0(a>0)第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側(cè)。同理，一元二次方程根的K分布，是指兩根相對于K的分布。一元二次方程根的基本分布

——零分布和K分布第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日1：零分布（1）有兩正根（2）有兩負(fù)根（3）一正一負(fù)2：k分布（1）有兩個大于k的根（2）有兩個小于k的根（3）一個大于k，一個小于k（4）有一個根在區(qū)間(k1,k2)內(nèi)（5）區(qū)間(k1,k2)內(nèi)有兩個根3：數(shù)形結(jié)合思想

一元二次方程根的分布第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日情形一、方程ax2+bx+c=0（a>0）根的零分布第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例1：x2+（m-3)x+m=0有兩正根，

求m的范圍。第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例2：x2+（m-3)x+m=0有兩個負(fù)根求m的范。

第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日xy1x2x0>aO0>c0>D第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例3：x2+（m-3)x+m=0有一個正根，一個負(fù)根且正根絕對值較大，求m的范圍。

第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日xyk2>-ab1x2x0>aO0>DkxyK2>-ab1x2x0>aO0>Dk情形二、方程ax2+bx+c=0（a>0）根的K分布第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例1：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍。

的兩個根都大于第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日xy02>-ab1x2x0>aO0>Dk第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例2：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

的兩個根都小于1第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例3：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

且一個根大于1，另一個根小于1f(1)=2m-2<0

第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例4：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍兩個根有且僅有一個在（0，2）內(nèi)f(0)f(2)=m(3m-2)<0當(dāng)m=0時，二根分別為0與3，不合題意；當(dāng)m=時，二根分別為2與，符合題意；m的范圍為第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日結(jié)論5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根滿足

第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例5：x2+（m-3)x+m=0

求m的范圍

兩個根都在（0，2）內(nèi)第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日結(jié)論6、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根滿足

x1<k1<k2<x2yxk2ok1第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例6：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

一個根小于2，一個根大于4第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例7：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

一個根在（-2，0）內(nèi)，另一個根在（0，4）內(nèi)第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日例8：x2+（m-3)x+m=0

求m的范圍

一個根在（-2，0）內(nèi)，另一個根在（1，3）內(nèi)第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個正根兩個負(fù)根一正根一負(fù)根一根為零一正一負(fù)，且負(fù)的絕對值大

C＝0

課堂小結(jié)第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個根都小于k兩個根都大于k一個根小于k,一個根大于k

yxkoyxkoyxkof(k)<0第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日兩個根都在（k1,k2)內(nèi)兩個根有且僅有一個在（k1,k2)內(nèi)x1<k1<

k2<x2

yxk2ok1yxk2ok1yxk2ok1一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布第30頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)形結(jié)合解決二次方程根的分布問題需考慮的條件:(1)相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù);(2)判別式△;(3)對稱軸第31頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日1、

若一元二次方程kx2+(2k-1)x+k-3=0有一根為零，則