大一下學期高等數(shù)學期中考試試卷及答案word版本

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大一其次學期高等數(shù)學期中考試試卷

一、填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分），請將合適的答案填在空中。

1、已知球面的一條直徑的兩個端點為()532，，-和()314-，，，則該球面的方程為______________________

2、函數(shù)ln(ux=在點(1,0,1)A處沿點A指向點(3,2,2)B-方向的方向?qū)?shù)為

3、曲面22zxy=+與平面240xyz+-=平行的切平面方程為

4、

22

22222

(,)(0,0)

(1cos())sinlim

()e

xyxyxyxyxy+→-+=+

5、設二元函數(shù)yxxyz3

2

+=，則

=???y

xz

2_______________二、挑選填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）。以下每道題有四個答案，其中惟獨一個答案是正確的，請選出合適的答案填在空中，多選無效。

1、旋轉(zhuǎn)曲面1222=--zyx是（）

（A）．xOz坐標面上的雙曲線繞Ox軸旋轉(zhuǎn)而成；（B）．xOy坐標面上的雙曲線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)而成；（C）．xOy坐標面上的橢圓繞Oz軸旋轉(zhuǎn)而成；（D）．xOz坐標面上的橢圓繞Ox軸旋轉(zhuǎn)而成．

2、微分方程23cos2xxxyy+=+''的一個特解應具有形式（）其中3212211,,,,,,dddbaba都是待定常數(shù).(A).212211sin)(cos)(xdxbxaxxbxax++++;

(B).322

12211sin)(cos)(dxdxdxbxaxxbxax++++++;(C).322

12211)sincos)((dxdxdxbxabxax+++++;

(D).322111)sin)(cos(dxdxdxxbxax+++++

3、已知直線π

22122

:

-=

+=

-z

yxL與平面42:=-+zyxππ,則（）(A).L在π內(nèi);(B).L與π不相交;(C).L與π正交;(D).L與π斜交.4、下列說法正確的是（）

(A)兩向量ar與br平行的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使得baλ=rr

；

(B)二元函數(shù)()yxfz,=的兩個二階偏導數(shù)22xz??,22y

z

??在區(qū)域D內(nèi)延續(xù)，則在該

區(qū)域內(nèi)兩個二階混合偏導必相等；

(C)二元函數(shù)()yxfz,=的兩個偏導數(shù)在點()00,yx處延續(xù)是函數(shù)在該點可微的

充分條件；

(D)二元函數(shù)()yxfz,=的兩個偏導數(shù)在點()00,yx處延續(xù)是函數(shù)在該點可微的須要條件.

5、設),2,2(yxyxfz-+=且2Cf∈（即函數(shù)具有延續(xù)的二階延續(xù)偏導數(shù)），則

=???y

xz

2（）(A)122211322fff--;(B)12221132fff++;(C)12221152fff++;(D)12221122fff--.

三、計算題（本大題共29分）

1、（本題13分）計算下列微分方程的通解。(1)（6分）221xyyxy+++='

(2)（7分）xxeyyy223=+'-''

2、（本題8分）設utuvzcos2+=，teu=，tvln=，求全導數(shù)dt

dz。

3、（本題8分）求函數(shù)()()yyxeyxfx2,22++=的極值。

四、應用題（本題8分）

1、某工廠生產(chǎn)兩種型號的機床，其產(chǎn)量分離為x臺和y臺，成本函數(shù)為

xyyxyxc-+=222),

(（萬元），若市場調(diào)查分析，共需兩種機床8臺，求

如何支配生產(chǎn)使其總成本最少？最小成本為多少？

五、綜合題（本大題共21分）

1、（本題10分）已知直線?????==+011xczbyl：，?????==-0

1

2yczaxl：，求過1l且平行于2

l的平面方程．

2、（本題11分）設函數(shù)(,,)lnln3lnfxyzxyz=++在球面

22225(0,0,0)xyzRxyz++=>>>上求一點，使函數(shù)(,,)fxyz取到最大值．

六、證實題（本題共12分）

1、設函數(shù)??

?

??=xyx

z

Fxuk,

，其中k是常數(shù)，函數(shù)F具有延續(xù)的一階偏導數(shù)．試證實:zuzyuyxux??+??+????

???=xyx

zFkxk,

其次學期高等數(shù)學期中考試試卷答案

一、填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）

1.、()()()211132

22=-+++-zyx

2、12

．

3、2450xyz+--=．

4、0

5、232xy+；

二、挑選填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）1（A）2（B）3（C）4（C）5（A）

三、計算題（本大題共29分）

1、（1）解：將原微分方程舉行分別變量，得：

xxyy

d)1(1d2

+=+上式兩端積分得cxxxxyyy++=+==+??2)d1(arctan1d2

2

即：cxxy++=2

arctan2

其中c為隨意常數(shù)．（2）解：題設方程對應的齊次方程的特征方程為,0232=+-rr特征根為,11=r

,22=r于是，該齊次方程的通解為,221xeCxCY+=因2=λ是特征方程的單

根，故可設題設方程的特解：.)(210*xebxbxy+=代入題設方程,得

,22022xbbxb=++比較等式兩端同次冪的系數(shù),得,2

1

0=b,11-=b

于是，求得題沒方程的一個特解*y.)12

1(2xexx-=

從而，所求題設方程的通解為.)12

1(2221xxxexxeCeCy-++=2、解：

()

utvutuvu

uzsincos22-=+??=??，

()

uvutuvvvz2cos2=+??=??，ut

zcos=??依復合函數(shù)求導法則，全導數(shù)為

dt

dttzdtdvvzdtduuzdtdz???+???+???=()

1cos1

2sin2?+?+-=utuveutvt

()

t

ttteteteettcosln2

sinln2++-=

3、解：解方程組()()()()?????=+==+++=0

22,01422,22

2yeyxfyyxeyxfx

yxx，得駐點???

??-1,21。因為()()

124,22+++==yyxeyxfAxxx，()()142+==yexyfBxxy，

()xyyeyxfC22,==在點??

???-1,21

處，02>=eA，0=B，eC2=，

224eBAC=-，所以函數(shù)在點???

??-1,21處取得微小值，微小值為

21,21ef-=??

?

??-。

四、應用題（本題8分）1、解：即求成本函數(shù)()yxc,在條件8=+yx下的最小值

構(gòu)造輔助函數(shù)())8(2,

22-++-+=yxxyyxyxFλ

解方程組???

??=-+='=++-='=+-='080402yxFyxFyxFyxλλλ

解得3,5,7==-=yxλ

這唯一的一組解，即為所求，當這兩種型號的機床分離生產(chǎn)5臺和3臺時，總成本最小，最小成本為：2835325)3,5(22=?-?+=c（萬）五、綜合題（本大題共21分）

1、解：直線1l與2l的方向向量分離為{}????

??-=???????=bccb1100011101，，，，，，sρ，

{}?

??

???=???????-=ac

ca101

0101012，

，，，，，sρ，作??????--=?=221111cbcca

，，ssnρρρ，

取直線1l上的一點()cP，，001，則過點1P且以???

???--=2111cbcca

，，nρ為法向量的平面01=+--c

z

byax，

就是過1l且平行于2l的平面方程．

2、解：設球面上點為(,,)xyz．

令2222(,,,)lnln3ln(5)LxyzxyzxyzRλλ=+++++-，

2222111

20,20,20,503xyzLxLyLzLxyzRxyz

λλλλ=

+==+==+==++-=

由前三個式子得2

2

2

3

zxy==，代入最后式子得,xyRz===．由題意得

(,,)fxyz在球面上的最大值一定存在，因此唯一的穩(wěn)定點(,)RR就是最大

值點，最大值為5(,))fRR=．六、證實題（本題共12分）1、證實：

??

???-?????'+?????-?????'+?????=??-22211,,,xyxyxzFxxzxyx

zFxxyxzFkxxuk

k

k??

???'-?????'-?????=xyx

zFyxxyx

zFzxxyx

zFkxkkk,,,

22

12

1

???

??'=??????'=??-xyxzFxxxyxz

Fxyukk,1,21

2

??

?

??'=??????'=??-xyx

zFxxxyx

zFxzukk,1,11

1所以，z

uzyuyxux

??+??+????

???

??????'-?????'