八年級(jí)數(shù)學(xué)-全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識(shí)講解【名校試題詳細(xì)解答】

已知已知一邊一角全等三角形章復(fù)習(xí)與鞏（基礎(chǔ)）【習(xí)標(biāo)1.了全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3．會(huì)作角的平分線，了解角的平分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，會(huì)利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證.【識(shí)絡(luò)【點(diǎn)理要一全三形判與質(zhì)一般三角形

直角三角形判定

邊角邊（）角邊角（）角角邊（）邊邊邊（）

兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（）性質(zhì)備注

對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的高相等）判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等要二全三形證思角邊角HL找另一邊SSS角的對(duì)邊找任一角角的另一邊SAS角的鄰邊邊的一角ASA找邊的對(duì)角AAS邊ASA角找任一邊AAS要三角分的質(zhì)1.角平線性定角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相.2.角平線判定角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線.

3.三形角分三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相.4.與平線關(guān)輔線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線.要四全三形明法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方.．證明段等方：(1)證明條線段所在的兩個(gè)三形全.(2)利角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相.(3)等性.．證明相的法(1)利平行線的性質(zhì)進(jìn)行證.(2)證兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全.(3)利角平分線的判定進(jìn)行證.(4)同（等角）的余角（補(bǔ)角）相.(5)對(duì)角相等．證明條段位關(guān)（行垂）的法可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證.．輔助的加(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角.證三形等的維法（1）直接利用全等三角形判定證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l（2）如果要證明相等的兩條線或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性.【型題類一全三形性和定1兩個(gè)大小不同的等腰直角三形三角板如圖1所示放置2是它抽象出的幾何圖形，，C，E在一條直線上連結(jié)．(1)請(qǐng)找出圖2中的等三角形并給予證（明結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母(2)證明：DC⊥BE.

【路撥eq\o\ac(△,】)ABE△ACD，已經(jīng)有兩邊，夾角可以通過(guò)等量代換找到證ABE≌eq\o\ac(△,；)通全等三角形的性，通過(guò)導(dǎo)角可證垂.【案解】解）eq\o\ac(△,≌)ABE△ACD證明：∠BAC＝∠EAD＝90°∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋即∠BAE∠CAD又AB，AE＝AD，eq\o\ac(△,≌)ABE（SAS）（2）由（）得∠＝∠CDA,又∠COE＝∠AOD∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD則有∠DCE＝180°－90°＝90°所以DC⊥BE.【結(jié)華我們可以試著從變換的角看ABE與△ACD后一個(gè)三角形是前一個(gè)三角形繞著點(diǎn)時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得的，對(duì)應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)的角度90°即DC舉反：【變式】如圖，已知AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC∠B∠C求證BD＝CE.【案證明：∵AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋，∠DAB∠EAC.在△與△EAC中，

∴eq\o\ac(△,≌)△EAC（ASA）∴BD＝CE.類二巧輔線造等角．公邊構(gòu)全三角：2、如：在四邊形中，AD∥CB，AB∥CD.求證：∠B＝∠D.【路撥∠B與∠不含任何兩個(gè)三角形中，只有添加輔助線A，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可構(gòu)造出全等三角形.【案解】證明：連接AC，∵AD∥CB，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝在△ABC與△CDA中CA

∴eq\o\ac(△,≌)△CDA（ASA）∴∠B＝∠D【結(jié)華添加公邊作為輔助線的時(shí)候不能割裂所給的條件果∠＝則接對(duì)角線BD.舉反：【變式】在中，AB求證：∠B＝∠C

【案證明：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC在Rt△ABD與Rt△ACD中

ADAD∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.．長(zhǎng)線：3、己知：在Δ中AD為線求證：＜

12

【案解】證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD∵AD為中，∴BD＝CD在△與△EDB中DB

AD∴eq\o\ac(△,≌)△EDB（SAS）∴AC在△中，＋BE，即AB＋AC＞2AD∴AD

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.【結(jié)華用倍長(zhǎng)中線可將線段AC，2AD轉(zhuǎn)到同一個(gè)三角形中把散的條件集中起來(lái)倍中線法實(shí)際上是繞著中點(diǎn)D旋180°.舉反：

【變式】若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7,則第三邊的中線長(zhǎng)x的值范圍()A.1＜＜6B.5＜7C.2＜x＜12D.法確定【案A；提示：倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形－5x

＋5，所以選A選.作以平線對(duì)軸翻變構(gòu)全三角：4、在ΔABC中，＞AC.求證：∠B＜∠C【案解】證明：作∠的分線，交BC于，把△ADC著AD折疊，使點(diǎn)與E點(diǎn)合在△與△ADE中AE

AD∴eq\o\ac(△,≌)ADC△ADE（SAS）∴∠AED＝∵∠AED是△的角，∴∠AED＞∠B，∠＜【結(jié)華作以角平分線為對(duì)稱軸的折變換構(gòu)造全等三角.．用長(zhǎng)或短)構(gòu)全三形5、如圖所示，已知△ABC中AB，AD是BAC的分線M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB＜AB．【路撥因?yàn)锳B＞AC，所以可在AB上取線段AE，這時(shí)＝AB，如果連接EM，△BME中，顯然有－ME＜BE．這表明只要證明ME，則結(jié)論成立．【案解】證明：∵AB，則在AB上截AE＝AC連接ME在△中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊在△和△AME中

AE(所作，EAM(角平分線的定義，

AMAM(公共邊，∴△AMC≌△AME∴MC＝ME（全等三角形的對(duì)應(yīng)相等又∵BE＝AB，∴BE＝AB，∴MB－MC－AC．【結(jié)華充分利用角平分線的對(duì)稱，截長(zhǎng)補(bǔ)短是關(guān).類三全三形態(tài)問(wèn)6、如圖1⊥BD于點(diǎn)B，ED⊥BD點(diǎn)，是BD上點(diǎn)．且BC＝DE，CD．（1）試判斷AC與CE的置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖（2把△沿線BD左平移，CDE頂點(diǎn)與重，此時(shí)第（1）問(wèn)中AC與BE的置關(guān)系成立嗎？（注意字母的變化）【案解】證明）AC⊥CE理由如下：,在△和△CDE中,∴eq\o\ac(△,≌)△CDE（SAS∴∠ACB＝∠E．又∵＋∠ECD＝90°，∴∠ACB＋＝90°．∴AC⊥CE．（2）∵△ABC各點(diǎn)的位置沒(méi)，在平移過(guò)程中，一直還有BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，

AB

，∴也直有△ABC≌△

C

(SAS)．∴∠ACB＝∠E．而∠＋∠

EC

＝90°，∴∠ACB＋∠

EC

＝90°．故有AC⊥

C

，即與BE的置關(guān)系仍成立．【結(jié)華變還是不變，就在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，本質(zhì)條件（本題中的兩三角形全等）變還是沒(méi)變．本質(zhì)條件變了，結(jié)論就會(huì)變；本質(zhì)條件不變，僅僅是圖形的位置變了。結(jié)論仍然不變．舉反：

【變式】如(，△ABC中BC＝AC中＝CD現(xiàn)把兩個(gè)三角形的C點(diǎn)合，且使∠BCA＝∠ECD，連接，AD求證BE＝AD若將△DEC點(diǎn)C旋