2023年電大經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例題大全

2023經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例題大全（考試必備）

（-）單項(xiàng)選擇題

x

函數(shù)的定義域是（）.

1.y-lg(x+l)D

A.X>-\B.xwO°c.x〉0,D.x>-l

2.若函數(shù)的定義域是（0,1],則函數(shù)于3）的定義域是3c入

4(0,1]B.(-00,1)C.(-00,0]D(-oo,0)

3.綸/(x)='+l,敷/V(x))”A).

X

XX_1A—!—

A--------h1B.------C.------F1

l+x1+X1+x1+x

4.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是6C,).

A.y=x2-xB.y=ex+e_x^C.y=In-----￡).y=xsinx

x+1

5.下列結(jié)論中,（C）是對(duì)的的.

A.基本初等函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)B.偶函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

C.奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。D.周期函數(shù)都是有界函數(shù)

X

6.已知于8=------1,當(dāng)(A）時(shí)，于（4為無(wú)窮小量.

tanx

/?x-0B.x-1C.X-4-8D.x—>+co

sinx八

-----xw0

7.函數(shù)于(心=<x'在x0處連續(xù),則k=(C).

k,x=0

A.~2aB.-1aC.lD2

8.曲線y:s/我在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為（A).

1

A.y=xB.y=2xcy—xD.y=-x

2

9.若函數(shù)fX=x，則=(B

X

1c1

bC.一a

-Tx

1O.^f(x)=xcosx,則于"(4=(D).

A.cosx+xsinxB?cosx-xsinx

C.2sinx+xcosxD.一2sinx-xcosx

〃.下列函數(shù)在指定區(qū)間（-9,+吟上單調(diào)增長(zhǎng)的是（B。）.

A.sinxB.exC.x2^D.3x

12.設(shè)需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為q（p）=3—2jp,則需求彈性為Ep=（B

n3-24

A顯

3-277丁

。填空題

x+2,-5<x<0

1.函數(shù)于（4=<"1,的定義域是,答案:[-5,2)

0<x<2

2.若函數(shù)/（》+1）=》2+2X—5,則久玲=t,?：X2-6

10v+10-x

3.設(shè)f（x）=J^——，則函數(shù)的圖形關(guān)于.對(duì)稱.答案:y軸

x+sinx

4.Em.答案：1

JT^OOx

「二"—!sinx此

5.已知以4x-1------，當(dāng).時(shí)，其公為無(wú)窮小量.答案:x->0

x

1

6.函數(shù)的間斷點(diǎn)是一..答案:x=0

l-ev

7.曲線y=&在點(diǎn)（1,1）處的切線斜率是一「答案:>'⑴=0.5

8.已知f(x)=M2x,娜JQ)\，答案：0

p

9.需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為4（p）=100xe2，則需求彈性為Ep

答案：—2

2

（三）計(jì)算題

—3x+2

1?lim----------

s2%2-4

..x—1\_

解Um『二3彳+2二.d)d)lim------

12x2-4.^2(x-2)(x+2)12Q+2)4

「sin2x

2.1im-=—

a。JJx+1-1

sin2xFm(Jx+l+I)sin2x

解lim

xf0Vx+T-i^(Vx+T-ixVx+T+i)

=lim(Jx+1+l)lim'山"=2x2=4

x->0x-A)x

J3-元-Jl+x

3.lim

XTlx2-l

MRA/3—x—Jl+冗(A/3—x—Jl+x)(j3—x+Jl+冗)

解hm---------------=lim--------------尸=——7=-----

Ix~-13(x--])(J3二%+Vl+x)

(3-x-(l+x))-2(x-l)

rhm------7=~~i=^=hrm—------,=~

(x1—1)(A/3—x+Jl+x)A->,(x--1)(v3—x+Vl+x)

-2_______1__

=lim

Xfl(x+1)(A/3-x+Jl+x)2V2

,lim孚a；

x+x-2

].tan(x-l)

解limlim-------------

ex+x-2(x+2)(x-l)

「1tan(x-1)11]_

=lim------lvim----------=—xl

1x+2ex-133

5.lim(貯+工)

XTOxx+1

sin2xevsin%....e

----------十——)=lim----limsinx+hm—=0+1=1

Xx+1x->0xiox+1

cosx

6.已知丫=2久_，求y'(x).

1-x

-(l-x)sinx-(-l)cosx

x

解y(X)=(2=r\ni-

1-x(1-x)2

cosx-(l-x)sinx

二2'In2—

(1-x)2

7.己知y-Incosx2,求V(；

,o,1

解由于y=(Incosx")=------(一sin*2)2x=-2xtanx~

cosx

V(后)=-2后tan(后n)2

所以=-yl~7rx1=-

4

8.已知y=V1+ln2x，求dy.

1_3

解由于y=-(l+ln2x)3(l+ln2x)r

=—(1+In2x)32""=—(1+ln2x)3Inx

3x3x

2，

所以dy=—(1+In2x)3Inxdx

3x

9.i&y=cos—+e求dy.

222

解:由于y=-sin—(—)f-2e_2x=-xsin--2e-2x

222

x2

所以dy—(-xsin--2e-A)dx

10.由方程s\ny+xe,=0擬定y是x的隱函數(shù)，求y'(4.

解對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo),得

y'cosy+e，+xeyyr=0

(cosy+xey)yr=-ev

-ey

y'(x)=------------r-

cosy+xe)

〃.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=1+把)'預(yù)定求位.

340

解:方程兩邊對(duì)X求導(dǎo),得y=ev+xe-vy

，e,

y=--------

1-xey

當(dāng)x=。時(shí),y-1

所以我e1

=---------T=e

dxx=ol-0xe

12.由方程cos(x+y)+ev=x擬定y是x的隱函數(shù)，求Qy.

解在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo),得

[cos(x+y)]'+(e>')'=(*)'

-sin(x+y)[l+y']+e'y'=1

[ev-sin(x+y)]y'=l+sin(x+y)

,1+sinQ+y)

y~

e'-sin(x+y)

l+sin(x+y)

故dy=--------------:—dx

e'-sin(x+y)

(四)應(yīng)用題

1.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品,其固定成本為2023元,每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為6。元,對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律

為q=1000—10p(q為需求量，p為價(jià)格).試求:

(D成本函數(shù)，收入函數(shù);(2)產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大?

解(1)成本函數(shù)C(q)=60q+2023.

由于<7=1000-10/7,期〃=100—得q,

所以收入函數(shù)R(G=Pxq-6100--^^)q-100(7-

,,1

(2)由于利潤(rùn)函數(shù)L(q)=R(q)-C(q)—100^—JQ90q+2023)

12

=40q--q1-2023

且=(40q_^q2_2023)，=40—0.2q

令L，(q)=0,即40-0.2q=0,得q=200,它是L(q)在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).

所以,q=200是利潤(rùn)函數(shù)L(q)的最大值點(diǎn),即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤(rùn)最大.

2.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時(shí)的總成本函數(shù)為C(q)=20+4q+0.01片(元)，單位銷售價(jià)格為p=14~0.01q(7C

/件)，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)成最大?最大利潤(rùn)是多少.

解偽已切R=qp=q(14—0.01q)=14q-0.01q2

秘海因數(shù)L=R-C=14g-0.01/一20-44-0.01/=電―20-0.02/

W=10-0.047，令1/=10-0.04^=0，解出唯一駐點(diǎn)q=250

由于利潤(rùn)函數(shù)存在著最大值,所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)成最大,

且最大利潤(rùn)為

￡(250)=10x250-20-0.02x2502=2500-20-1250=1230(元)

2

3.已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的成本為C(q)=250+20q+5(萬(wàn)元).問(wèn):要使平均成本最少,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?

解（1）由于C（q）二生^+20+2

qq10

k,八250“q、,2501

q10q10

令。9）=0,即一粵J=。,得q\=50,qL0（舍去）,

q~10

%=50是Gq）在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).

所以,q戶0■大q）的最小值點(diǎn),即要使平均成本最少,應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品.

1.函數(shù)y=的定義域是（)(答案:B)

x-2

A.[—2,+8)B.[—2,2)D(2,+oo)C.(—co,—2)D(—2,4-oo)D.(—oo,2)U(2,+8)

2、若函數(shù)K4=C0S上,以lim-9一/（"）=（）。（答案:A）

449。\X

正兀兀

A.0B.---C.-sin—D.sin一

244

3.下列函數(shù)中,（）建xsin1的原函數(shù)。（答案:D）

12

4—cosx?B.2cosX?C.-2cosx2D.——cosx

22

4.設(shè)A為mxn矩陣,B為sxt矩陣,且ACB故意義，則C是（）矩陣。（冬森D）

A.mxtB.txmC.n^sD.sxn

X

xx+2X2-43=1

5.用消元法解線性方程*x2+x3=0得到的解為（）。（答案:O

.一%3=2

二、填空題：（3x5分）

6.已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C（q）=8（Mq廁當(dāng)產(chǎn)量q=50單位時(shí),該產(chǎn)品的平均成本為.。（答案:

3.6)

Y—3

7.函教/(x),的間斷點(diǎn)是=。(答案:XI-1,X2=2)

x-3x+2

I

8.j(XCOSX+l)tZx=（糠；2）

-1

1-11

9.矩陣20-1的秩為一。（答案：2）

1-34

%1-x2=0

10.若線性方程組《有非0解廁人=o（答案：=-1）

%+2X2=0

三、微積分計(jì)算題（10X2分）

-1

(l-x)+[l+ln(l-x)]ln(1_%)

解:=巨&

〃?設(shè)丫=-----------，求y(0)。y'

1-x(17)2(If

y'(0)=0

In2

/2Jex(\+ex>rdx。

0

In2

In2In2

解:"(l+/)2公=J(1+/評(píng)(1+短)=；(l+")3__19

000

四、代數(shù)計(jì)算題（15X2分）

3

13.設(shè)矩陣A5，求(/+A)L

-1

013

解:I+A=105

1-20

013100105010

a+Ai)=I05010013100

1-200010-2-50-11

1050101「100-106-5

―013100^010-53-3

1J[o01

0012-12-11

-106-5

.?.(/+A)T=-53-3

2-11

-3X2+2X3-0

，問(wèn)才取何值時(shí)方程組有非0解,并求一般解。

/4.設(shè)齊次線性方程組，2%—5X2+3/=o

3演一8X2+Zx3=0

21rio-1

解：A=-1->01-1

2-600Z—5

故當(dāng)a=5時(shí)方程組有非0解,一般解為、~=9(其中當(dāng)是自由未知量)

[％=七

五、應(yīng)用題(8分)

15.已知某產(chǎn)品的邊際成本為eg=2(元/件)，固定成本為0,邊際收益=12-0.027，求:

(1);產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大?

(2)在最大利潤(rùn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件,利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變化?

解:&)邊際利潤(rùn)=R'(q)—C'(q)=10-0.02q

令L'(q)=O,得唯一駐點(diǎn)q=500(件)，故當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)利潤(rùn)最大。

⑵當(dāng)產(chǎn)量由500件增長(zhǎng)至550件時(shí)，利潤(rùn)改變量為

550

:550)

2

AL=J((10-0.02^=(10^-0.01^)=-25

500

即利潤(rùn)將減少25元。

線性代數(shù)綜合練習(xí)及參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)A為3x2矩陣,B為2x3矩陣，則下列運(yùn)算中(A)可以進(jìn)行.

A.ABB.ABTC.A+BD.BAr

2.設(shè)A、B為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是(B)

A.(ABF=A'BTB.(AB)T=BvAr

C.(ABTY'=D.(ABrY'=

3.設(shè)A,B為同階可逆方陣,則下列說(shuō)法對(duì)的的是(D).

A.若AB=I,則必有A=I或B=/B.(AB)T=ATBT

C.換(A+B)=拱(A)+秩(B)D.(ABY'=B'A'1

4.設(shè)A、B均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是(D).

A.AB=BB.AB=BAC.AA=ID.A-}=I

5.設(shè)A是可逆矩陣且A+AB=I,則A.'=(C).

A.BB.1+BC.I+BD.(/—AB)1

6.設(shè)A=(l2),8=(—13),1是單位矩陣，則尺B—1=(D).

-13-1-2-2-21--23-

AB.C.D.

-263635-25

7.設(shè)下面矩陣A,B,C能進(jìn)行乘法運(yùn)算，那么(B)成立.

A.AB=AC,AwOjIljB=CB.AB=AC,A可逆,則B=C

C.A可逆*則AB=BAD.AB=0,則有A=0,或B=0

8.設(shè)A是n階可逆矩陣,k是不為。的常數(shù)，貝=(C).

A.M'1B.C.-kA'D.

120-3

9.設(shè)A00-13，則r(A)=(D

24-1-3

A.4B.3C.2D.1

13126

0-13I4

10.設(shè)線性方程組AX=b的增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為,則此線性方程組的一

0002-1

00000

般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為(A).

A.1B.2C.3D.4

x.+=1

11.線性方程組、12解的情況是(A).

X1+%2=0

A.無(wú)解B.只有。解C.有唯一解D.有無(wú)窮多解

IA2

12.若線性方程組的增廣矩陣為人，則當(dāng)九=QX)時(shí)線性方程組無(wú)解.

210

1

A.一B.0C.1D.2

2

13.線性方程組AX=0只有零解，則AX=。S工0)(B).

A.有唯一解B.也許無(wú)解C.有無(wú)窮多解D.無(wú)解

14.設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A,b)=4,r(A)=3測(cè)該線性方程組(B).

A.有唯一解B.無(wú)解C.有非零解D.有無(wú)窮多解

15.設(shè)線性方程組AX=b有唯一解,則相應(yīng)的齊次方程組AX=O(C).

、無(wú)解B.有非零解C.只有零解D.解不能擬定

二、填空題

1.兩個(gè)矩陣A,B既可相加又可相乘的充足必要條件是A與B是同階矩陣.

rr2

-300

2.計(jì)算矩陣乘r亂2,0?⑷°.

I」-1

-23-1

3.若矩陣A=[-12],B[2-34則何=.?,,

4-62

4.設(shè)A為mxn矩陣,B為sxt矩陣，若AB與BA都可進(jìn)行運(yùn)算，則m,n,s,t有關(guān)系式m-t,n-

102

5.設(shè)a03、當(dāng)a=0時(shí),A是對(duì)稱矩陣.

23-1

13

6.當(dāng)aw—3________時(shí),矩陣A=可逆.

-1a

7.&A,B為兩個(gè)已知矩陣，且I-B可逆,則方程A+BX=X的解X=_(7-A

8.設(shè)A為n階可逆矩陣，則re尸n.

2-12

9.若矩陣A=402，則r(A)=2。

0-33

10.若r(A,b)=4,r(A)=3,則線性方程組AX=幾無(wú)解。…

x,-x,=0

11.若線性方程組417有非零解,則入=-1一

X]+Zx2=0

72.設(shè)齊次線性方程組AmxnXn八=。，且秩(A)=r<〃，則其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于

1-123

13.齊次線性方程組AX=。的系數(shù)矩陣為A=010-2則此方程組的一般解

0000

A]=-2X—x

為.答一34(其中X3，X&是自由未知量)

產(chǎn)2=2X4

14.線性方程組AX=h的增廣矩陣A化成階梯形矩陣后為

12010

042-11

0000J+1

則當(dāng)dT時(shí).方程組AX=h有無(wú)究多解.

15.若線性方程組AX二8S/0)有唯一解，則AX=0只有0解.

三，計(jì)算題

102一21

L設(shè)矩陣A=-124,B=-13，求(2/-AT)B.

31103

'212-61

02-

2.設(shè)矩陣A=,B=010,c=22才算+C.

-20

002-42

-13-6-3

3.設(shè)矩陣A=-4-2-1,求川

211

012

4.設(shè)矩陣A=114,求逆矩陣K

2-10

一63一

-10-2

5.設(shè)矩陣A=,B=12,計(jì)算(AB)0

1-20

41

-11'

-12-31?,

6.設(shè)矩陣A=0—2,B=:，計(jì)算（BA尸

0一12_

20

-2-3-—r

7.解矩陣方程\X=

_342

&解矩陣方程X12-f

_35-2o-

X|+%3=2

9.設(shè)線性方程組、X\+2X2—X3=0討論當(dāng)a，b為什么值時(shí),方程組無(wú)解，有唯一解,有無(wú)窮多解.

2xj+x2-a%=b

X1+2七二-1

10.設(shè)線性方程組-玉+%-3尢3=2,求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩,并判斷其解的情況.

2X］一無(wú)2+5工3=0

77.求下列線性方程組的一般解:

X1+2X3-X4=0

<-X]+%2—3尤3+2工4=0

2%J一天2+5工3—3工4-0

12.求下列線性方程組的一般解:

2犬]—5馬+——3

<X1+2尢2-x3=3

—2元1+14尤2—6元3=12

X|-3X2+2X3=0

13.設(shè)齊次線性方程組、2為-5馬+3x3=0

3x,-8X2+AX3=0

問(wèn)九取何值時(shí)方程組有非零解,并求一般解.

X]+W+=1

14.當(dāng)入取何值時(shí),線性力一程組12網(wǎng)+龍2-4當(dāng)=4有解？并求一般解.

-%1+5X3-1

15.己知線性方程組AX=b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為

-1-16-31

X-…―01-330

00002-3_

問(wèn)九取何值時(shí),方程組AX=b有解?當(dāng)方程組有解時(shí)，求方程組AX=b的一般解.

四、證明題

1.試證:設(shè)A,B,AB均為n階對(duì)稱矩陣,則AB=BA.

2.試證:設(shè)A是n階矩陣,若43=0,則(/—A)T=/+A+A2.

3.已知矩陣A=%B+1),且A1=A，試證B是可逆矩陣,并求B-'.

4.設(shè)n階矩陣A滿足虜=1,A4T=/,證明A是對(duì)稱矩陣.

5.設(shè)A,B均為n階對(duì)稱矩陣,則AB+BA也是對(duì)稱矩陣.

三，計(jì)算題

100102

1.解由于2/-AT=2010-124

001311

-20o-'1-13'-11-3一

020—021=00-1

002_241-2-41

-21211"-6r

2.解:+C=0100-2+22

00220-42

60-6101

0-2+2220

40-4202

3.解由于（A

1

0

0

1

0

0

所以A'

4.解由于(A

1

102-1101002-11

0121000104-21

00-23-2100-23-21

1002-11

0104-21

00I-3/2I-1/2

2-11

所以Z=4-21

-3/21-1/2.

63

10-2-21

5.解由于AB=12

1-204-1

41

-20-2110

(48D

401021

1

-

2

1

-

1

1

-

顏-

2

2

Br

74

1

2

11

-5

12

-3

-3

-2

0

BA=

由于

6.解

42

2

0-1

2

0

11

0