對綜合應用領域的思考

對“綜合應用”領域的思考

“表面積的變化”是蘇教版《義務教育課程標準實驗教科書數學六年級（上冊）》中的一節(jié)綜合應用課。教材的設計思路源于《數學課程標準（實驗稿）》上的案例：設計合適的包裝方式：(1)現有4盒磁帶，有幾種包裝方式？哪種方式更省包裝紙？（重疊處忽略不計）(2)若有8盒磁帶，哪種方式更省包裝紙？（重疊處忽略不計）應該說教材對此案例進行了細化，循序漸進地編排了“表面積的變化”這一內容。具體編排如下。第一段是“拼拼算算”。教材首先要求學生將2個1立方厘米的正方體拼成一個長方體，感受表面積的變化規(guī)律。接著引導學生把3個、4個，乃至更多個1立方厘米的正方體拼成一排，再次探索規(guī)律。然后，教材讓學生將兩個同樣的小長方體拼成一個大長方體后尋找變化規(guī)律。第二段是“拼拼說說”。教材首先讓學生比較用6個1立方厘米的正方體拼成的兩個不同長方體的表面積，發(fā)現其中的規(guī)律后，再讓學生探索把10盒火柴包成一包的不同方法，分析哪種包裝方法最節(jié)省包裝紙。教參上建議該內容用1課時教學。在教學實踐中，教師普遍認為綜合應用領域的課較為難上，主要是因為這部分內容綜合性強，思維難度大，教學時間偏緊。但教師們又認為該內容對培養(yǎng)學生解決問題的能力、數學思維的能力大有裨益，在小學數學中應該作為重要內容來教學?；谶@樣的矛盾心理，我們區(qū)數學課題組的教師以此為研究內容，選定“表面積的變化”這一課進行了探索與實踐。初次教學實踐一、拼拼算算1.教師演示：把兩個體積是1立方厘米的正方體拼成一個長方體。(1)提問：體積有沒有變化？小結：把兩個體積是1立方厘米的正方體拼成一個長方體，體積沒有發(fā)生變化。(2)提問：表面積有沒有發(fā)生變化？是怎樣變化的？得出結論：這個長方體的表面積比兩個正方體的表面積之和減少了2個正方形面的面積，即減少了2平方厘米。2.深入探究。(1)如果用3個這樣的正方體拼成一個長方體，表面積比原來減少幾個正方形面的面積？（要求排成一排）用4個這樣的正方體拼呢？操作、觀察、思考后把數據填在表中，并交流填寫結果。(2)當正方體增加到5個、6個時，表面積會怎么變化呢？學生先猜，再通過拼一拼來驗證。(3)發(fā)現規(guī)律：聯系操作和填表的過程，你發(fā)現了什么規(guī)律？教師要遵循學生的認知規(guī)律，由淺入深進行引導：①體積不變，表面積變了，按上面的拼法，每拼一次減少2個面的面積；②按上面的拼法，增加一個正方體，就減少2個正方形面的面積；③減少的正方形面的個數＝拼的次數×2；④減少的正方形面的個數＝（正方體的個數—1）×2。3.用兩個相同長方體拼成三個不同的大長方體，你有什么發(fā)現？(1)交流：①體積不變，表面積變了；②都比原來減少了2個面的面積，但不同的拼法減少的面積不同。課件演示三種不同的拼法：分別是減少2個前面、上面和側面。(2)你能看出哪個大長方體的表面積最大，哪個最小嗎？(3)怎么驗證你的發(fā)現呢？（學生通過計算驗證自己的發(fā)現）小結：不管怎樣拼，每次都會減少兩個長方形面的面積；而減少的面積越少，拼成的大長方體的表面積就越大。二、拼拼說說1.用6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成不同的長方體。哪個長方體的表面積大？大多少？2.找10盒火柴。先在小組里拼一拼，看看把10盒火柴包成一包有哪些不同的方法？怎樣包裝最節(jié)省包裝紙？想想為什么，再全班交流。教師引導學生具體分析每一種包裝方法，適當說明理由。提問：“怎樣包裝最省紙”就是什么最少？（拼成的長方體的表面積最小）怎樣拼才能使拼成的長方體的表面積最小呢？三、全課小結通過這節(jié)實踐活動課，你知道了什么？初次反思根據教材的編寫意圖，我們初次設計了上面的教案，先后選擇了三位素質較好的老師進行教學，期間也進行了局部微調，但教學效果不理想。1.從教學時間上分析三位教師都沒有上完教學內容，最快的教師上到“拼拼說說”的第2題，但對該題的教學是蜻蜓點水、匆匆而過，沒有留給學生探索和思考的時間，學生一知半解，部分學生一無所獲。最慢的教師只上到“拼拼說說”的第1題。2.從教學空間上分析由于教學內容較多，教學節(jié)奏相對偏快，留給學生探索、思考和交流的空間很少。在教學過程中，當較好的學生答出要點后，教師就迅速進入下一個教學環(huán)節(jié)，對后進生的關注較少。3.從解決問題方面分析問題解決在具體實施環(huán)節(jié)上包括五個階段：第一，問題的提出和表征；第二，形成假說；第三，執(zhí)行計劃或嘗試某種解決方案；第四，檢驗和反思；第五，應用和拓展。對照這五個階段，特別是在“拼拼說說”的教學環(huán)節(jié)中，除提出的問題具有挑戰(zhàn)性外，其余階段的教學不夠充分，學生沒有經歷解決問題的全過程。4.從數學思考方面分析思維訓練是貫穿在解決問題過程中的，落實在解決問題的第二、第三和第四個階段中。思維訓練主要靠兩個能力，一個是演繹能力，一個是歸納能力。相比較而言，我國雙基教育缺少的是歸納能力的培養(yǎng)（注：參見史寧中《〈數學課程標準〉的若干思考》.《數學通報》，2007年第5期.）。由于學生沒有經歷解決問題的全過程，也就不能培養(yǎng)他們的歸納能力。5.從教學效果方面分析綜合上面的分析，課題組教師認為，第一次教學實踐的效果一般。于是，我們結合學生實際，適當重組教材，以培養(yǎng)學生解決問題的能力和歸納能力為基點，再次進行了教學實踐。再次教學實踐第一課時一、拼拼算算（按原教學設計進行）二、拼拼說說1.解決教材上的問題：用6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成不同的長方體。哪個長方體的表面積大？大多少？學生操作，展示拼法，互相交流，將結果填入表內。引導學生觀察，初步發(fā)現規(guī)律：(1)用6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成2個不同的長方體，長方體的體積不變，表面積變了。(2)第一種拼法，有5次正方體的兩兩相拼，每次減少2個面，共減少10個面，表面積比原來減少10平方厘米。第二種拼法，有7次正方體的兩兩相拼，共減少14個面，表面積比原來減少14平方厘米。(3)兩兩相拼的次數多，重疊的面就多，表面積減少越多。(4)我們知道：當長方形的面積一定，長與寬越接近，周長就越短。由此我猜想，如果用若干個小正方體拼成長方體，長方體的體積一定，那么長、寬、高越接近，表面積是否越小呢？師：這位同學的猜想很有意思，但是否正確呢？讓我們再做一題試一試。2.補充：用12個體積是1立方厘米的正方體可以拼成不同的長方體。哪個長方體的表面積大？大多少？學生展示4種拼法，進一步探索規(guī)律：(1)要使所拼成的長方體表面積小，那么小正方體兩兩相拼的次數就要多，這樣重疊的面就多，表面積減少越多。(2)我認為剛才同學的猜想是正確的，在這里，所拼長方體的體積都是12立方厘米，4號拼法長、寬、高最接近，所以它的表面積最小。師：僅靠一次驗證不能證明猜想的正確性，課后同學們可以用若干個1立方厘米的正方體再拼拼，下節(jié)課上再交流好嗎？第二課時師：同學們對昨天的猜想驗證了嗎？這個猜想對嗎？我們先交流交流。生1：我用18個1立方厘米的正方體拼長方體，長、寬、高最接近的數據是：長3厘米、寬3厘米、高2厘米，這個長方體的表面積最小。生2：我用24個1立方厘米的正方體拼長方體，長、寬、高最接近的數據是：長4厘米、寬3厘米、高2厘米，這個長方體的表面積也是最小的。生3：我用27個1立方厘米的正方體拼長方體，長、寬、高都是3厘米，這個正方體的表面積最小。師：對這位同學的發(fā)言，你們有想法嗎？生4：我們猜想中研究的是長方體，這里卻拼成了正方體。生3：我想解釋一下：正方體是特殊的長方體，它的長、寬、高是相等的，表面積是最小的。生5：我補充一點：我們學過長方形的面積一定時，長與寬相等，正方形的周長最短，這兒的道理也是一樣的。師：這樣解釋行嗎，你們舉的都是正面的例子，有誰還能舉出反例嗎？（不能）看來，這條猜想是對的。師：看來，同學們對拼正方體已經有了些心得體會，如果用長方體來拼呢？出示題目：找4盒火柴，先在小組里拼一拼，看看把4盒火柴包成一包有哪些不同的方法，怎樣包裝最節(jié)省包裝紙。學生試拼，匯總拼法。師：你們能把這些拼法進行分類嗎？生：我認為可以分成兩類：第一類是拼成一排，第二類是拼成兩排。師：4盒火柴包一包，有兩類基本的包法，第一類是4=4×1×1，第二類是4=2×2×1，每類包法都還有三種不同的拼法。師：仔細觀察4×1×1的三種拼法，你們有什么發(fā)現？生1：第一種拼法是把大面兩兩相拼，拼3次，減少了6個大面。第二種拼法是把中面兩兩相拼，拼3次，減少了6個中面。第三種拼法是把小面兩兩相拼，拼3次，減少了6個小面。生2：在這三種拼法中，第一種拼法所拼成的長方體表面積最小。師：再仔細觀察2x2x1的三種拼法，你們又有什么發(fā)現呢？生3：第一種拼法是把大面和大面，中面和中面拼2次，分別減少了4個大面和4個中面。第二種拼法是把大面和大面，小面和小面拼2次，分別減少了4個大面和4個小面。第三種拼法是把中面和中面，小面和小面拼2次，分別減少了4個中面和4個小面。在這三種拼法中，也是第一種拼法所拼成的長方體表面積最小。生4：最后我們要計算這兩個長方體的表面積，比較出哪個長方體的表面積最小。師：通過分類觀察，同學們已經初步獲得了拼長方體的一些方法，下面讓我們來完成書上的最后一題：找10盒火柴，先在小組里拼一拼，看看把10盒火柴包成一包有哪些不同的方法，怎樣包裝最節(jié)省包裝紙。想想為什么，再全班交流。操作時要先想一想有哪幾類基本的拼法，再拼一拼。生1：我們認為有兩類基本的拼法，第一類是10=10×1×1，第二類是10=5×2×1，按第一類拼法拼能拼成3個不同的長方體，按第二類拼法拼能拼成6個不同的長方體。生2：在第一類拼法中，把大面兩兩相拼9次，減少18個大面所拼成的長方體表面積最小。在第二類拼法中，把大面兩兩相拼8次，中面兩兩相拼5次，減少16個大面和10個中面所拼成的長方體表面積最小，然后把這兩個長方體進行比較，一般情況下第二個長方體的表面積較小。生3：我有一個疑問，前面我們已經證明把若干個小正方體拼成一個長方體，這個長方體的長、寬、高越接近，表面積越小。那么，把若干個相同的小長方體拼成一個長方體，是否也有這樣的規(guī)律呢？師：同學們的這條猜想很有價值，是否正確呢，建議同學們量出長、寬、高的數據后，再用列表的方法一一列舉出所拼成的長方體的長、寬、高，計算出表面積后，再觀察和驗證這條猜想，好嗎？這就作為今天的課后作業(yè)。再次反思《數學課程標準（實驗稿）》第二學段綜合應用領域的目標是：1.有綜合運用數與運算、空間與圖形、統(tǒng)計與概率等相關知識解決一些簡單實際問題的成功體驗，初步樹立運用數學解決問題的自信心；2.獲得綜合運用所學知識解決簡單實際問題的活動經驗和方法；3.初步感受數學知識間的相互聯系，體會數學的作用。從再次教學實踐效果看，基本達到了這些目標，課題組教師一致認為：學生在充裕的教學時空內，經歷了解決問題的五個階段，發(fā)展了數學思維能力，教學設計合理，教學效果較好。綜合我們以前所上的一些“綜合應用”課的體會，我們認為上好這類課要注意以下四個方面：一、結合學生實際，適當重組教材教材是課堂教學的主要資源，上好一節(jié)數學課首先要把握教材。上綜合應用課也是如此。教師要理清這部分內容的知識層次，明確教材提示的教學活動線索，突破教學內容的重點和難點。其次要把握學生。綜合應用課要求學生應用數學知識解決實際問題，對學生的綜合能力、思維能力要求較高。在教學實踐中，教師在把握教材的基礎上，還要根據教學內容的需要和學生現有的知識水平適當重組教材，合理開發(fā)教材。我們仔細分析“表面積的變化”這一部分教材內容，應該說教材的編寫遵循了學生的認知特點和數學知識的結構順序，由易到難，分層遞進。但教學內容相對于教材上規(guī)定的一課時的教學時間顯然偏多，沒有充分的時間讓學生展開探索活動，經歷解決問題的過程。因此，我們對課時進行了劃分，對教材進行了加工。我們安排了兩課時，第一課時安排到“拼拼說說”的第一題，再補充一道同類型題，難度略有提高，既是鞏固，又利于學生進行探究性學習。第二課時重點研究“拼拼說說”的第二題，先安排一道較為簡單的同類型題，讓學生積累解題經驗，然后再深入展開研究。這樣的調整，從教學實踐效果來看還是可行的。當然，根據學生的實際水平，還可以安排3課時，第一課時安排到“拼拼算算”，第二課時安排到“拼拼說說”第一題，第三課時安排到“拼拼說說”第二題。我們這樣的補充和調整可能是拔高了教材的要求，但就綜合應用課而言，要想充分發(fā)揮其培養(yǎng)學生解決問題的能力、數學思維的能力，我們認為應該對教材深度挖掘。二、經歷解題過程，利于學生思考“綜合應用”本質上是一種解決問題的活動。要解決問題，首先要設計一個好問題，“表面積的變化”一課中的問題源自教材，并適當加工，應該說具有一定的挑戰(zhàn)性、探索性和開放性。其次在解決問題的過程中，教師應該充分尊重學生的自主性，引導學生獨立思考、自主探索，構思解題計劃，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維。同時，教學時還要使學生在活動中體驗與他人合作，并在交流中密切同學之間的關系。在解決問題的過程中，要注意讓學生自己分工、討論和嘗試。值得強調的是開展綜合實踐活動的關鍵是要讓學生積極展開思維活動。一方面，解決問題涉及高級思考過程。在問題解決的過程中，學生嘗試尋找“答案”時，不是簡單地應用已知的信息，而是對信息進行加工，重新組織若干已知的規(guī)則，形成新的高級規(guī)則，用以達到一定的目標，并在檢驗、反思中獲得解決問題的方法。原來已有的有關數學知識是解決問題過程中的素材。另一方面，解決問題的學習過程對學生思維品質的發(fā)展具有促進作用。在解決問題中，學生會根據解決問題的目的對已經掌握的數學知識進行組織，找出對當前問題適用的對策。問題一旦解決，學生的思維能力隨之發(fā)生變化。因此“表面積的變化”一課中對“拼拼說說”環(huán)節(jié)的再設計，其目的正是讓學生在經歷操作——發(fā)現、猜想——驗證的解決問題的過程中，發(fā)展數學思考。三、培養(yǎng)歸納能力，提升數學思想數學的“基本思想”主要是指演繹和歸納，這應當是整個數學教學的主線，是最上位的思想。演繹和歸納不是矛盾的，其教學也不是矛盾的，通過歸納來預測結果，然后通過演繹來驗證結果。在具體的問題中，會涉及到數學抽象、數學模型、等量替換、數形結合等數學思想，但最上位的思想還是演繹和歸納。過去雙基教育重演繹、輕歸納，所以我們更應重視培養(yǎng)學生的歸納能力。歸納能力是能夠熟練使用歸納推理的能力。歸納推理十分龐雜，就方法而言，包括枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計推斷、因果分析，以及觀察實驗、比較分類、綜合分析。與演繹推理相反，歸納推理是一種從特殊到一般的推理。歸納推理主要包括