第2章-隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量的概念(1)隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè).

例如：考察投擲兩顆骰子的隨機(jī)試驗(yàn)，假設(shè)這兩顆骰子是可以分辨的，其樣本空間為：

S

={(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,6)}在某些情況下，人們主要感興趣的不是試驗(yàn)結(jié)果本身，而是與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的某個(gè)數(shù).

例如：如果人們關(guān)心兩顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之和是否等于7,實(shí)際上就不會(huì)在乎其結(jié)果是(1,6)還是(2,5).現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身是一個(gè)數(shù)，例如：某出租車公司的電話訂車中心，一天之內(nèi)接到訂車電話的次數(shù)；某射手對(duì)一活動(dòng)靶進(jìn)行射擊，到擊中目標(biāo)為止，所進(jìn)行的射擊次數(shù)；從一批燈泡中，任取一只，測(cè)定這只燈泡的壽命.有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果看起來(lái)與數(shù)量無(wú)關(guān)，例如：投擲一枚硬幣，其基本事件為“正面向上”、“反面向上”；在有兩個(gè)孩子的家庭中,考慮孩子的性別，其基本事件為“男男”、“男女”、“女男”、“女女”.如果我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，使之與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，我們就有可能利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行深入廣泛的研究.現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一隨機(jī)變量的概念(2)定義：隨機(jī)變量是定義在樣本空間

S上的實(shí)值函數(shù).00.51P(B)P(A)0是定義在樣本空間

S上的函數(shù)現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一附注：隨機(jī)變量與普通函數(shù)有著本質(zhì)的區(qū)別.隨機(jī)變量是一種因變量（而非自變量），它的取值依賴于樣本點(diǎn)，所以其定義域是抽象的樣本空間.隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定，而試驗(yàn)各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機(jī)變量的取值也有一定的概率.隨機(jī)變量常用大寫字母X,Y,

Z,…表示，而以小寫字母x,y,z,…表示實(shí)數(shù).若

L是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，則集合{e|X(e)∈L}表示樣本空間S中滿足X(e)∈L的所有樣本點(diǎn)組成的子集（隨機(jī)事件）.現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一實(shí)例1

擲一個(gè)硬幣,觀察出現(xiàn)的結(jié)果,共有兩種情況:若用X表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則有01即X(e)是一個(gè)隨機(jī)變量.現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一實(shí)例2

在有兩個(gè)孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個(gè)樣本點(diǎn):若用X表示該家庭女孩的人數(shù)時(shí)，則有可得隨機(jī)變量

若假設(shè)男孩和女孩的出生率相等，則現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一§2離散型隨機(jī)變量及其分布律現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一離散型隨機(jī)變量定義：若隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可列個(gè)數(shù)值，則稱為離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一附注：隨機(jī)變量與普通函數(shù)有著本質(zhì)的區(qū)別.隨機(jī)變量是一種因變量（而非自變量），它的取值依賴于樣本點(diǎn)，所以其定義域是抽象的樣本空間.隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定，而試驗(yàn)各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機(jī)變量的取值也有一定的概率.隨機(jī)變量常用大寫字母X,Y,

Z,…表示，而以小寫字母x,y,z,…表示實(shí)數(shù).若

L是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，則集合{e|X(e)∈L}表示樣本空間S中滿足X(e)∈L的所有樣本點(diǎn)組成的子集（隨機(jī)事件）.現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為，且離散型隨機(jī)變量的分布分布律

顯然，下列兩個(gè)條件必定成立：(1)

(2)

也可以用表格的形式來(lái)表示現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例：對(duì)技術(shù)熟練的射手甲對(duì)新手乙X和Y是不同的隨機(jī)變量.結(jié)論：概率1，以不同的方式分布到各可能取值，就確定不同的隨機(jī)變量.游戲規(guī)則：落在e0區(qū)域得0分；落在e1區(qū)域得1分；落在e2區(qū)域得2分．現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例：已知隨機(jī)變量X的概率分布描述如下：試求出X的分布.例：若隨機(jī)變量X只取常數(shù)值a，即，則稱X服從退化分布或單點(diǎn)分布.附注：其實(shí)X并不隨機(jī)，但有時(shí)將它看作是隨機(jī)變量更為方便，這是概率集中在一點(diǎn)a處的退化情形.現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一獨(dú)立試驗(yàn)序列定義：若一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：

A（稱為“成功”）與A（稱為“失敗”）,

兩者發(fā)生的概率分別為：（成功概率）,

（失敗概率），則此類試驗(yàn)稱為成功概率為

p的伯努利試驗(yàn).定義：將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行

n次，得到的試驗(yàn)序列稱為

n重伯努利試驗(yàn).現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一附注：所謂獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行一個(gè)伯努利試驗(yàn)，是指每一次試驗(yàn)都是伯努利實(shí)驗(yàn)，只能發(fā)生或.“重復(fù)”是指在每次試驗(yàn)中成功概率

P(A)=p保持不變.“獨(dú)立”是指每一次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即若以

Ci表示第i

次試驗(yàn)的結(jié)果，則P(C1C2…Cn)=P(C1)P(C2)…P(Cn).現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一兩點(diǎn)分布

在成功概率

P(A)=p

的伯努利試驗(yàn)中，事件

A出現(xiàn)的次數(shù)

X只能等于0或1，且它的分布律是即其中不難驗(yàn)證：所以這是一個(gè)概率分布，稱X服從兩點(diǎn)分布.現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一說(shuō)明對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果樣本空間只包含兩個(gè)元素，即

S

=

{e1,e2}

我們總能在S上定義一個(gè)服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量

來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．（課本P.41）現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一二項(xiàng)分布(BinomialDistribution)

在成功概率

P(A)=p

的

n重伯努利試驗(yàn)中，事件

A出現(xiàn)的次數(shù)

X可能等于，且它的分布律不難驗(yàn)證：所以這是一個(gè)概率分布，稱為二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記作.特別的，當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布就是兩點(diǎn)分布.現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例：（產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停┰O(shè)

N件產(chǎn)品有

M件次品，從中任取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，則結(jié)果可能是：A（“次品”）或

A（“正品”），這是成功概率的伯努利試驗(yàn).若采取“放回抽樣”，接連抽取

n次，那么這樣的抽檢形成一個(gè)的

n重伯努利試驗(yàn).若采取“不放回抽樣”，接連抽取

n（≤N）次，那么這樣的抽檢不能視作

n重伯努利試驗(yàn).當(dāng)產(chǎn)品總量

N很大時(shí)，抽出少數(shù)幾件不致影響次品率，故也可將不放回地接連抽取

n（遠(yuǎn)小于

N）次的檢驗(yàn)看成

n重伯努利試驗(yàn).現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例：按規(guī)定，某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過(guò)1500小時(shí)的為一級(jí)品.已知某一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查20只，問(wèn)20只元件中恰有k只（k=0,1,…,20）為一級(jí)品的概率是多少？解：記20只元件中一級(jí)品的只數(shù)為X，那么X~b(20,0.2)，于是分析：這是不放回抽樣．當(dāng)產(chǎn)品總量

N很大時(shí)，抽出少數(shù)幾件不致影響一級(jí)品率，故也可將不放回地接連抽取

n（遠(yuǎn)小于N）次的檢驗(yàn)看成

n重伯努利試驗(yàn).現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率.解：記400次射擊中命中的次數(shù)為X，那么X~b(400,0.02)，于是結(jié)論：只要試驗(yàn)的次數(shù)足夠多，而且試驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)行的，那么小概率事件幾乎肯定發(fā)生，決不能忽視小概率事件.現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例：設(shè)有80臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理．考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維修，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)．試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率的大?。猓合扔懻摰诙N方法．設(shè)80臺(tái)設(shè)備同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為X，則X~b(80,0.01)，所求概率為現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一再設(shè)第

i個(gè)人負(fù)責(zé)的20臺(tái)設(shè)備同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為X，則X~b(20,0.01)，于是解：（續(xù)）再討論第一種方法．設(shè)Ai表示事件“第

i個(gè)人負(fù)責(zé)的20臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能得到及時(shí)維修”，則所求概率為結(jié)論：盡管第二種方法盡管任務(wù)重了（每人平均維護(hù)約27臺(tái)），但工作效率不僅沒(méi)降低，反而提高了.現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一解：假設(shè)需要發(fā)射n

枚導(dǎo)彈，則擊中來(lái)犯敵機(jī)的導(dǎo)彈數(shù)是隨機(jī)變量X~b(n,0.96)，于是又因?yàn)樗詮亩=3，即需要發(fā)射3枚導(dǎo)彈．例：已知發(fā)生一枚地對(duì)空導(dǎo)彈擊中來(lái)犯敵機(jī)的概率為0.96，問(wèn)需要在相同條件下發(fā)射多少枚導(dǎo)彈才能保證至少有一枚導(dǎo)彈擊中來(lái)犯敵機(jī)的概率大于0.999?現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一解：因?yàn)槿窍姑桑悦康李}的任一個(gè)答案被選中的概率都是相等的，每做一道題就是進(jìn)行一次成功概率為1/n

的伯努利試驗(yàn)．設(shè)答對(duì)的題目數(shù)量X~b(5,1/n)，于是這人考試及格的概率為當(dāng)n=3時(shí)，當(dāng)n=4時(shí)，例：一個(gè)完全不懂英語(yǔ)的人去瞎蒙一次大學(xué)英語(yǔ)四級(jí)考試．設(shè)此考試有5道選擇題，每題給出n

個(gè)答案以供選擇，其中只有一個(gè)答案正確．試問(wèn)這人居然答對(duì)3題以上從而及格的概率．現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一泊松分布(PoissionDistribution)

若隨機(jī)變量

X以作為其一切可能取值，且其中常數(shù)，則稱

X服從泊松分布，簡(jiǎn)記作.不難驗(yàn)證：所以這是一個(gè)概率分布.現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一

歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的．近數(shù)十年來(lái)，泊松分布日益顯示其重要性，成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一．在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象（近似）服從泊松分布．二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的α粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí)，他們做了2608

次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)，其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.泊松分布的背景及應(yīng)用現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中,泊松分布是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.地震火山爆發(fā)特大洪水電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一二項(xiàng)分布

泊松分布n很大,p

很小泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一隨機(jī)變量是定義在樣本空間

S上的實(shí)值單值函數(shù).若

L是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，則集合表示樣本空間

S中滿足的所有樣本點(diǎn)組成的隨機(jī)事件.若隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可列個(gè)數(shù)值，則稱為離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布律必滿足：(1)(2)知識(shí)點(diǎn)回顧現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一引言非離散型隨機(jī)變量，由于其可能取的值不能一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)，因而就不能像離散型隨機(jī)變量那樣用分布律來(lái)描述．在實(shí)際中，對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，如：誤差ε，元件的壽命T

等，人們感興趣的往往并不是誤差ε

=0.05(mm)，

壽命T=1251.3(h)的概率，而是考慮誤差落在某個(gè)區(qū)間的概率，壽命大于某個(gè)數(shù)的概率．現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量

X與任意實(shí)數(shù)

x的關(guān)系式

對(duì)應(yīng)著隨機(jī)事件

．概率

與實(shí)數(shù)

x的值有關(guān)，是實(shí)數(shù)變量

x的函數(shù)， 即

，稱為隨機(jī)變量

X的分布函數(shù)．備注：分布函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R．0xX0xXbaa用數(shù)學(xué)分析的方法研究隨機(jī)變量成為可能！現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一隨機(jī)變量

X的分布函數(shù)0x2Xx1分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：?jiǎn)握{(diào)不減，即若，則必有.性質(zhì)2：，且，.x性質(zhì)3：在每一點(diǎn)

處均為右連續(xù)，即有現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一等價(jià)于例：設(shè)隨機(jī)變量

X的分布律為：求

X的分布函數(shù).解：當(dāng)

時(shí)，

012x當(dāng)

時(shí)，

012x為不可能事件

，故

,故現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一等價(jià)于當(dāng)

時(shí)，

012當(dāng)

時(shí)，等價(jià)于x012x，故例：設(shè)隨機(jī)變量

X的分布律為：求

X的分布函數(shù).故現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一綜上所述，分布函數(shù)為0121于是例：設(shè)隨機(jī)變量

X的分布律為：求

X的分布函數(shù).現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一分布律與分布函數(shù)任意隨機(jī)變量都可用分布函數(shù)來(lái)刻畫其概率分布.對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可經(jīng)由分布律得到分布函數(shù).反過(guò)來(lái)，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)只在以正概率取值的點(diǎn)處發(fā)生跳躍間斷，其躍度正是隨機(jī)變量取該值的概率，于是對(duì)F(x)的每個(gè)跳躍間斷點(diǎn)xk，有現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例：已知離散型隨機(jī)變量的分布律為分布函數(shù)是試確定其中的a,b,c,d,e的值．解：由F(－∞)=0，F(xiàn)(+∞)=1得

c=0,e=1由P{X=1}=F(1)－F(1－0)得

1－3/4=b,b=1/4,

又由1/4+a+b=1，從而得a=1/2由P{X=0}=F(0)－F(0－0)得

1/2=3/4－d，

從而

d=1/4即a=1/2,b=1/4,c=0,d=1/4,e=1現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量（只能取有限個(gè)或可列個(gè)數(shù)值）非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量（其可能取值布滿某個(gè)區(qū)間）其它現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一并稱y=f(x)的圖像為

X的分布曲線．稱被積函數(shù)

f(x)為X的概率密度，

連續(xù)型隨機(jī)變量定義：如果對(duì)于隨機(jī)變量

X的分布函數(shù)，存在非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有就稱

X為連續(xù)型隨機(jī)變量，

0xy=f(x)面積x0備注：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)．課本P.51附注1現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一概率密度的幾何特征：概率密度的曲線總在x軸的上方，在整個(gè)實(shí)數(shù)軸有定義．對(duì)任意連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度與x軸所圍成的面積總是1.概率密度的性質(zhì)(1)(1)(2)y=f(x)面積=10x(3)對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b，xy=f(x)b面積a0現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一(4)若

f(x)

在點(diǎn)

x

處連續(xù)，則有

．（當(dāng)很小時(shí)）概率密度的性質(zhì)(2)0y=f(x)xx+xxyf(x)不是

X取值

x時(shí)的概率,但它可以反映

X在

x點(diǎn)附近取值的概率的大小.現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X

來(lái)說(shuō)，它取任一指定的實(shí)數(shù)值

a的概率均等于零，即

P{X=a}=0．（課本P.53）證明：因?yàn)橛纱丝傻茫翰豢赡苁录欢ㄊ橇愀怕实氖录?，零概率事件不一定是不可能事?必然事件一定是概率為1的事件，概率為1的事件不一定是必然事件.連續(xù)型隨機(jī)變量取值在某個(gè)區(qū)間的概率，可以不特別考慮區(qū)間的端點(diǎn)，即，所以因?yàn)镕(x)是連續(xù)函數(shù)，令，得P{X=a}=0．

現(xiàn)在是43頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例：向半徑為R的圓形靶射擊，假定不會(huì)發(fā)生脫靶的情況，彈著點(diǎn)落在以靶心O為中心、r（r≤R）為半徑的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比.設(shè)隨機(jī)變量

X表示彈著點(diǎn)與靶心的距離，試求

X的分布函數(shù)及其密度函數(shù).解：1.若

x<0,則是不可能事件，于是3.若x>R,

則是必然事件，于是xR現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一0R1F(x)x對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)，可得綜合得：于是可認(rèn)為概率密度函數(shù)為現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一思考題連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)一定是連續(xù)函數(shù)．連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度f(wàn)(x)是連續(xù)函數(shù)嗎？0≤f(x)≤1成立嗎？現(xiàn)在是46頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一稱為區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記作.最簡(jiǎn)單的連續(xù)型隨機(jī)變量是概率密度在某個(gè)有限區(qū)間(a,b)上取正的常數(shù)值，其余區(qū)間上皆為零的隨機(jī)變量，即可以證明：現(xiàn)在是47頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

X具有概率密度則稱

X在區(qū)間(a,b)服從均勻分布，記作.均勻分布（UniformDistribution）相應(yīng)的分布函數(shù)為y=f(x)0xaby=F(x)0xab1現(xiàn)在是48頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一思考題連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)一定是連續(xù)函數(shù)．連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度f(wàn)(x)是連續(xù)函數(shù)嗎？0≤f(x)≤1成立嗎？答：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度f(wàn)(x)不一定是連續(xù)函數(shù)；0≤f(x)≤1一定成立．現(xiàn)在是49頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一說(shuō)明類似地，我們可以定義區(qū)間[a,b]上的均勻分布；區(qū)間(a,b]上的均勻分布；區(qū)間[a,b)上的均勻分布．現(xiàn)在是50頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一可以證明：若，設(shè)，則均勻分布（UniformDistribution）y=f(x)0xab結(jié)論：服從均勻分布的隨機(jī)變量落在(a,b)的子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān).現(xiàn)在是51頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例：設(shè)隨機(jī)變量

X在[2,5]上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì)

X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.X的分布密度函數(shù)為令A(yù)表示“X的觀測(cè)值大于3”,解：即A={X>3}.從而有令Y表示3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù),則由于現(xiàn)在是52頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

X具有概率密度，則稱X服從參數(shù)為q

(>0)的指數(shù)分布.指數(shù)分布相應(yīng)的分布函數(shù)為其中a=1/q現(xiàn)在是53頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一

某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無(wú)線電元件的壽命,電力設(shè)備的壽命,動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無(wú)記憶性”.對(duì)任意的正數(shù)s,t，考慮條件概率如果將

X看作某類動(dòng)物的壽命，則上式可解釋為某動(dòng)物已活到s歲（即X>s），則它再活

t年以上的概率與已經(jīng)活過(guò)的歲數(shù)無(wú)關(guān)．所以指數(shù)分布又稱為“永遠(yuǎn)年青”的分布．現(xiàn)在是54頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一指數(shù)分布的無(wú)記憶性設(shè)

X服從某種概率分布，若,則稱這種概率分布具有無(wú)記憶性.指數(shù)分布是連續(xù)型隨機(jī)變量中唯一具有無(wú)記憶性的分布.現(xiàn)在是55頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

X具有概率密度則稱X服從正態(tài)分布，記作.正態(tài)分布（NormalDistribution）相應(yīng)的分布函數(shù)為（其中和是常數(shù)，）現(xiàn)在是56頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一曲線關(guān)于x=μ

對(duì)稱.當(dāng)

x=μ時(shí)取得最大值在

x=μ±σ

處有拐點(diǎn)，以

x軸為漸近線.對(duì)于任意的，有

x

離μ越遠(yuǎn)，f(x)的值越?。瑯娱L(zhǎng)度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離μ越遠(yuǎn)，

X落在這個(gè)區(qū)間上的概率越小．正態(tài)分布的分布曲線現(xiàn)在是57頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一

特別地，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)及分布函數(shù)常記作固定σ，改變

μ的值，則圖形沿

x軸平移，不改變其形狀.固定

μ

，改變?chǔ)业闹?，則

σ越小，圖形越尖，

X落在

μ附近的概率越大.正態(tài)分布的分布曲線現(xiàn)在是58頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布現(xiàn)在是59頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一

正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布，例如測(cè)量誤差;人的生理特征尺寸如身高、體重等；正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸：直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景現(xiàn)在是60頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一正態(tài)分布的概率計(jì)算(1)設(shè)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有原函數(shù)不是初等函數(shù)，因此概率不能通過(guò)積分算出.錦囊1：利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表.解：

查表例：已知，試求

.現(xiàn)在是61頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一錦囊2：利用.

查表正態(tài)分布的概率計(jì)算(2)現(xiàn)在是62頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一設(shè)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a、b，有錦囊3：轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若，則對(duì)

X進(jìn)行“標(biāo)準(zhǔn)化”的變換，可以證明.正態(tài)分布的概率計(jì)算(3)于是現(xiàn)在是63頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一3s法則若，則結(jié)論：盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞,＋∞)，但它的值落在(m－3s,m＋3s)內(nèi)幾乎是肯定的事．這就是人們所說(shuō)的“3s法則”.課本P.60圖2-16現(xiàn)在是64頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一上a分位點(diǎn)定義：設(shè)X~N(0,1)，若za

滿足條件則稱點(diǎn)za為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位點(diǎn)．結(jié)論：z1?a

=?za

．現(xiàn)在是65頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

離散型連續(xù)型定理及其應(yīng)用現(xiàn)在是66頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一引言 在一些試驗(yàn)中，所關(guān)心的隨機(jī)變量往往不能由直接測(cè)量得到，而它卻是某個(gè)能直接測(cè)量的隨機(jī)變量的函數(shù)，例如： 我們關(guān)心圓軸截面的面積A，雖然A不能直接測(cè)量得到，但是可以通過(guò)測(cè)量圓軸截面的直徑d

計(jì)算得到，其中現(xiàn)在是67頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一引言

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，再設(shè)Y=g(X)是X的函數(shù)，則Y

也是一個(gè)隨機(jī)變量．當(dāng)X

等于x

時(shí)，Y

等于g(x)．本節(jié)的任務(wù)是：

已知隨機(jī)變量X

的概率分布以及Y=g(X)，其中g(shù)(·)是已知的連續(xù)函數(shù)，試求隨機(jī)變量Y的概率分布．現(xiàn)在是68頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為Y=g(X)是X的函數(shù)，則Y

也是離散型隨機(jī)變量．它的取值為其中現(xiàn)在是69頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一第一種情形如果y1,y2,…,yn,…兩兩不同，即函數(shù)g(·)是單射，則于是隨機(jī)變量Y

的分布律為或第二種情形如果y1,y2,…,yn,…有相同的項(xiàng)，則把這些相同的項(xiàng)合并（看作是一項(xiàng)）；把相應(yīng)的概率相加，即可得到隨機(jī)變量Y

的分布律．現(xiàn)在是70頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一設(shè)隨機(jī)變量

X

具有以下的分布律試求Y=(X－1)2

的分布律.

解:

Y有可能取的值為0，1，4.且Y=0對(duì)應(yīng)于(X－1)2=0，解得X=1，所以P{Y=0}=P{X=1}=0.1,例1：現(xiàn)在是71頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一同理，P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=－1}=0.2,所以，Y=(X－1)2的分布律為：Y=(X－1)2例1（續(xù)）現(xiàn)在是72頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度：試求

Y=2X+8

的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8

的分布函數(shù)

FY(y)：例2：現(xiàn)在是73頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一例2（續(xù)）(2)

對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)，得：現(xiàn)在是74頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一

整理得Y=2X+8

的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式例2（續(xù)）現(xiàn)在是75頁(yè)\一共有83頁(yè)\編輯于星期一二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fX(x)，再設(shè)