隨機過程第三課件

隨機過程第三課件第1頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日引言[泊松分布]

隨機變量X

的所有可能取值為0,1,2,…

，而取各個值的概率為則隨機變量X

服從參數為的泊松分布，簡記為()。第2頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日3.1泊松過程的定義[定義]稱{N(t),t0}

為計數過程，若N(t)表示到時間t

為止已發(fā)生的“事件A”的總數，且N(t)滿足下列條件：

(1)N(t)0;

(2)N(t)取整數;

(3)若s<t，N(s)N(t);

(4)當s<t時，N(t)N(s)等于區(qū)間(s,t]中“事件A”發(fā)生的次數。第3頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日泊松過程[定義]稱計數過程{X(t),t0}為具有參數

>0的泊松過程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨立增量過程;

(3)在任一長度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數服從參數

>0的泊松分布，即對任意s,t0，有第4頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日泊松過程的另一個定義[定義]稱計數過程{X(t),t0}為具有參數

>0的泊松過程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨立、平穩(wěn)增量過程;

(3)X(t)滿足下列兩式：第5頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日泊松過程的幾個實例考慮某一電話交換臺在某段時間接到的呼叫。令X(t)表示電話交換臺在(0,t]

時間內收到的呼叫次數，則{X(t),t0}是一個泊松過程?？紤]來到某火車站售票窗口購買車票的旅客。若記X(t)

為時間(0,t]

內到達售票窗口的旅客數，則{X(t),t0}是一個泊松過程?？紤]機器在

(t,t+h]

內發(fā)生故障這一事件。若機器發(fā)生故障，立即修理后繼續(xù)工作，則在(t,t+h]

內機器發(fā)生故障而停止工作的事件數構成一個隨機點過程，它可以用泊松過程來描述。第6頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日3.2泊松過程的基本性質(1)泊松過程的數字特征均值函數方差函數相關函數協(xié)方差函數第7頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日(2)

時間間隔與等待時間的分布設

{X(t),t0}是泊松過程，令X(t)表示時刻事件A發(fā)生（顧客出現）的次數，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn

——第n次事件A發(fā)生的時刻，或稱等待時間Tn

——從第n-1次事件A發(fā)生到第n次事件A發(fā)生的時間間隔，或稱第n個時間間隔第8頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日時間間隔的分布Tn的分布函數：[定理]設

{X(t),t0}是具有參數的泊松過程，{Tn,n1}是對應的時間間隔序列，則隨機變量Tn(n=1,2,…)是獨立同分布的均值為1/的指數分布。Tn的概率密度：第9頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日等待時間的分布分布又稱為愛爾蘭分布，它是n個相互獨立且服從指數分布的隨機變量之和的概率密度。[定理]設

{X(t),t0}是具有參數的泊松過程，{Wn,n1}是對應的等待時間序列，則隨機變量Wn服從參數為n與的分布，其概率密度為第10頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日例1已知儀器在[0,t]內發(fā)生振動的次數X(t)是具有參數的泊松過程。若儀器振動k(k1)次就會出現故障，求儀器在時刻t0

正常工作的概率。[解]

儀器發(fā)生第k次振動的時刻Wk就是故障時刻，故儀器在時刻t0

正常工作的概率為:第11頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日(3)到達時間的條件分布假設在[0,t]內事件A已經發(fā)生一次，確定這一事件到達時間W1的分布分布函數：分布密度：——均勻分布第12頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日到達時間的條件分布[定理]設

{X(t),t0}是泊松過程，已知在[0,t]內事件A發(fā)生n次，則這n次到達時間W1<W2<…<Wn與相應于n個[0,t]上均勻分布的獨立隨機變量的順序統(tǒng)計量有相同的分布，第13頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日3.3泊松過程的應用舉例[例2]

設在[0,t]內事件A已經發(fā)生n次，且0<s<t，對于0<k<n

，求在[0,s]內事件A發(fā)生k次的概率。參數為n

和s/t

的二項分布第14頁，共15頁，2