實(shí)驗(yàn)五 牛頓迭代法

實(shí)驗(yàn)五牛頓迭代法第1頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】1.牛頓迭代法原理設(shè)已知方程的近似根

，則在附近

可用一階泰勒多項(xiàng)式近似代替。因此，方程可近似表示為。用

近似表示

根差異不大。設(shè)，由于滿足，解得

重復(fù)這以過(guò)程，得到迭代格式這就是著名得牛頓迭代公式，它相應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)方程為第2頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六牛頓迭代法2.牛頓迭代法的幾何解析在處做曲線的切線，切線方程為令可得切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，這就是牛頓迭代法的迭代公式。因此，牛頓法又稱“切線法”。第3頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.牛頓迭代法的收斂性計(jì)算可得，設(shè)是的單根，有，則故在附近，有。根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)原理知牛頓迭代法收斂。4.牛頓迭代法的收斂速度定理（牛頓法收斂定理）設(shè)在區(qū)間上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足，在上不變號(hào)，在[a,b]上不等于0，令第4頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有，則對(duì)任意，牛頓迭代格式收斂于在中的唯一實(shí)根，且，牛頓迭代法為二階收斂。

對(duì)不動(dòng)點(diǎn)方程，它導(dǎo)出的迭代過(guò)程有可能發(fā)散，也可能收斂得非常緩慢。這時(shí)，我們有沒(méi)有辦法改進(jìn)不動(dòng)點(diǎn)方程，讓迭代過(guò)程收斂得快一些呢？迭代過(guò)程的加速第5頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（1）一個(gè)簡(jiǎn)單辦法注意到和都是不動(dòng)點(diǎn)方程，它們的加權(quán)平均也是不動(dòng)點(diǎn)方程，而且和有完全相同的不動(dòng)點(diǎn)。適當(dāng)選取的值，可以使發(fā)散的迭代過(guò)程變得收斂，使收斂慢的迭代過(guò)程變得收斂迅速。（2）加速的原因

在下面的實(shí)驗(yàn)中我們可以看到，在不動(dòng)點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值在很大程度上決定了迭代過(guò)程的收斂性。的絕對(duì)值越小，收斂性越好。因此，選擇使得。計(jì)算得到理想的值為，相應(yīng)可計(jì)算出（1）一個(gè)簡(jiǎn)單辦法注意到和都是不動(dòng)點(diǎn)方程，它們的加權(quán)平均也是不動(dòng)點(diǎn)方程，而且和有完全相同的不動(dòng)點(diǎn)。適當(dāng)選取的值，可以使發(fā)散的迭代過(guò)程變得收斂，使收斂慢的迭代過(guò)程變得收斂迅速。（2）加速的原因

在下面的實(shí)驗(yàn)中我們可以看到，在不動(dòng)點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值在很大程度上決定了迭代過(guò)程的收斂性。的絕對(duì)值越小，收斂性越好。因此，選擇使得。計(jì)算得到理想的值為，相應(yīng)可計(jì)算出第6頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（3）的選取由于理想的值為，當(dāng)變化不大時(shí)，可以取近似計(jì)算。（4）回到牛頓迭代法的討論為求解方程，可以使用不動(dòng)點(diǎn)方程，相應(yīng)的迭代函數(shù)為

對(duì)進(jìn)行加速所以，牛頓迭代法是對(duì)基本迭代格式進(jìn)行加速的結(jié)果。5.迭代的MATLAB命令MATLAB中主要用for,while等控制流命令實(shí)現(xiàn)迭代。第7頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六練習(xí)1用牛頓迭代法求方程在附近的近似根，誤差不超過(guò)10-3。牛頓迭代法的迭代函數(shù)為：相應(yīng)的matlab代碼為：（運(yùn)行）clear;x=0.5;fori=1:3x=x-(x^3+x^2+x-1)/(3*x^2+2x+1)end可算得迭代數(shù)列的前三項(xiàng)0.5455,0.5437,0.5437。經(jīng)三次迭代就大大超了精度第8頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六練習(xí)2用牛頓迭代法求方程的近似正實(shí)根，由此建立一種求平方根的計(jì)算方法。由計(jì)算可知，迭代格式為，在實(shí)驗(yàn)12的練習(xí)4中已經(jīng)進(jìn)行了討論。練習(xí)3

用牛頓迭代法求方程的正根。牛頓迭代法的迭代函數(shù)為如果取初值為，相應(yīng)的MATLAB代碼為(運(yùn)行)第9頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六clearx=0;fori=1:6x=x-(x*exp(x)-1)/((x+1)*exp(x))end可得迭代數(shù)列前6項(xiàng)為1.0000，0.6839，0.57750.5672，0.5671，0.5671，說(shuō)明迭代實(shí)收斂的。如果取初值為10，相應(yīng)的MATLAB代碼為clear;x=10.0;fori=1:20x=x-(x*exp(x)-1)/((x+1)*exp(x))y(i)=x;End（運(yùn)行）第10頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六可算得迭代數(shù)列的前20項(xiàng)為9.0909，8.19007.2989，6.4194，5.5544，4.7076，3.8844，3.0933，2.34871.6759，1.1195，0.7453，0.59020.5676，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671,說(shuō)明迭代是收斂的。如果取初值或，可算得迭代數(shù)列是發(fā)散的，根據(jù)函數(shù)圖形分析原因。練習(xí)4

求方程在附近的根，精確到10-5先直接使用的迭代格式，相應(yīng)的MATLAB代碼為n=0;esp=1.05e-5;x=0.5;whileabs(x-exp(-x))>espx=exp(-x);n=n+1;endx,n（運(yùn)行）結(jié)果為x=0.5671,n=17,說(shuō)明迭代17次后達(dá)到精度要求?？伤愕玫鷶?shù)列的前20項(xiàng)為9.0909，8.19007.2989，6.4194，5.5544，4.7076，3.8844，3.0933，2.34871.6759，1.1195，0.7453，0.59020.5676，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671，0.5671,說(shuō)明迭代是收斂的。如果取初值或，可算得迭代數(shù)列是發(fā)散的，根據(jù)函數(shù)圖形分析原因。練習(xí)4

求方程在附近的根，精確到10-5先直接使用的迭代格式，相應(yīng)的MATLAB代碼為n=0;esp=1.05e-5;x=0.5;whileabs(x-exp(-x))>espx=exp(-x);n=n+1;endx,n（運(yùn)行）結(jié)果為x=0.5671,n=17,說(shuō)明迭代17次后達(dá)到精度要求。第11頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為加快收斂速度，用構(gòu)造迭代格式，由實(shí)驗(yàn)的預(yù)備知識(shí)中可知，取相應(yīng)的MATLAB代碼為n=0;eps=1.0e-5;x=0.5;whileabs(x-0.625*exp(-x)-0.375*x)>epsx=0.625*exp(-x)+0.375*x;n=n+1;endx,n結(jié)果為0.5671，n=3,說(shuō)明迭代三次后達(dá)到精度要求。練習(xí)5

對(duì)練習(xí)中方程，用加快后的迭代格式求x=0.5附近的根，精確到10-5第12頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六計(jì)算可得，相應(yīng)的MATLAB代碼為n=0;eps=1.0e-5;x=0.5;whileabs(x-(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x)))>epsx=(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x));n=n+1;endx,n結(jié)果為x=0.5671,n=2,說(shuō)明迭代2次后達(dá)到精度要求。