統(tǒng)計學(xué)普通相關(guān)分析

統(tǒng)計學(xué)普通相關(guān)分析第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六

變量之間的相關(guān)關(guān)系有兩種：確定性的關(guān)系不確定性的關(guān)系

相關(guān)分析是研究變量之間不確定關(guān)系的統(tǒng)計方法。最為常見的是兩個或多個隨機變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。也是本章研究的主要內(nèi)容。第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六定義:X,Y是隨機變量,已知二維(X,Y)分布,總體相關(guān)系數(shù)

1.兩個隨機變量的總體(簡單)相關(guān)系數(shù)一.兩個隨機變量的總體相關(guān)與樣本相關(guān)相關(guān)系數(shù)XY[-1,1],若XY=0,則稱X與Y不相關(guān).若X與Y相互獨立,則必然不相關(guān),即XY=0.反之,不相關(guān),不一定獨立.但對兩個正態(tài)分布,不相關(guān)獨立.第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六

2.樣本相關(guān)定義:(X1,Y1),…,(Xn,Yn)是(X,Y)的一組樣本(樣本X,Y是配對的,不可獨自交換順序),則樣本相關(guān)系數(shù):注意:小寫的xi

是大寫Xi

的中心化結(jié)果,即xi=Xi–X.對yi同理.這種相關(guān)關(guān)系,又稱Pearson積矩相關(guān).第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六表10-1我國人均國民收入與人均消費金額數(shù)據(jù)單位:元年份人均國民收入人均消費金額年份人均國民收入人均消費金額1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148相關(guān)系數(shù)計算【例】在研究我國人均消費水平的問題中，把全國人均消費額記為y，把人均國民收入記為x。我們收集到1981～1993年的樣本數(shù)據(jù)(xi

，yi)，i=1,2,…，13，數(shù)據(jù)見表10-1，計算相關(guān)系數(shù)。第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六計算結(jié)果解：根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式有人均國民收入與人均消費金額之間的相關(guān)系數(shù)為0.9987第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六3樣本相關(guān)系數(shù)的幾何解釋xy||y||=y12+…+yn2,表示向量y=(y1,…,yn)T的模長.第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六4.直觀散點圖設(shè)有配對樣本觀測值:x1,…,xn與y1,…,yn,則其直觀散點圖如圖:該散點圖,反映出x,y之間的正相關(guān)關(guān)系.第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六1.兩組配對的順序數(shù)據(jù)的Spearman等級相關(guān)系數(shù)(又稱秩相關(guān)或名次相關(guān))

對兩組配對順序樣本而言,無法求出上述樣本相關(guān)系數(shù),而應(yīng)當(dāng)采用Spearman等級相關(guān)系數(shù).設(shè)有配對樣本觀測值x1,…,xn與y1,…,yn.二.Spearman等級相關(guān)等級相關(guān)系數(shù)公式如下:式中,

,而表示xi

的名次,表示yi

的名次.第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六注:兩個相同的名次,要加起來除以2.一個等價的公式是:2.刻度級(Scale)配對樣本的等級相關(guān)系數(shù)

刻度級的配對樣本,也可以排名次(秩),因此可以求Spearman等級相關(guān)系數(shù).計算公式同上.等級相關(guān),也稱非參數(shù)相關(guān).第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六Spearmanman相關(guān)我國30個省市區(qū)1997年的出生率X(單位:千分之一)和文盲率Y(單位:百分之一)為20.0816.6822.0520.8724.7014.9918.4321.8919.0314.4517.9118.9930.1828.4861.1321.0032.8842.1425.0214.65出生率文盲率12.0916.0013.2217.5310.6014.2816.0812.8118.0516.8317.7120.9721.2416.4023.2016.5917.4014.1214.2413.82出生率文盲率8.0210.0913.8516.5916.0912.1512.5312.405.6012.117.3310.8015.0610.1517.058.8610.0010.949.7018.52出生率文盲率第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六

1316102220261929273014232824251416910818202726302228292511-10112128-1210-8-5-1-114

231218177981651511214161251524731917212313241-30132551-2-13-12-6-128-20第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六三.偏相關(guān)偏相關(guān)就是,在諸多相關(guān)的變量中,剔除了其中的一個或若干個變量的影響后,兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系.1.剔除了一個變量Z的影響后,兩個變量X,Y之間的偏相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)系數(shù)是:式中,r..是普通樣本相關(guān)系數(shù).第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六2.剔除了兩個變量Z1,Z2

的影響后,兩個變量X,Y之間的偏相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù)是:式中,r..,.是偏相關(guān)系數(shù).第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六四.相關(guān)系數(shù)異于零的顯著性檢驗

由于我們是通過抽樣的方法來研究變量之間的關(guān)系,所以,當(dāng)求出各類樣本相關(guān)系數(shù)不為零時,并不能真正一定表明變量之間是相關(guān)的,要通過假設(shè)檢驗判別是否顯著異于0.1.簡單樣本相關(guān)系數(shù)(Pearson)顯著異于0的T檢驗

在二維總體(X,Y)服從正態(tài)分布條件下,Fisher給出了檢驗簡單相關(guān)系數(shù)(Pearson)顯著異于0的t統(tǒng)計量為:服從t(n-1)分布式中,n是樣本容量,r是簡單相關(guān)系數(shù).第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)定假設(shè):H0:r=0H1:r0

這是一個雙尾檢驗問題.2.等級相關(guān)系數(shù)(Spearman)顯著異于0的T檢驗檢驗等級相關(guān)系數(shù)(Spearman)顯著異于0的t統(tǒng)計量為:服從t(n-1)分布式中,n是樣本容量,r是等級相關(guān)系數(shù).第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六3.偏相關(guān)系數(shù)顯著異于0的T檢驗檢驗偏相關(guān)系數(shù)顯著異于0的t統(tǒng)計量為:服從t(n-1)分布式中,n是樣本容量,r是偏相關(guān)系數(shù)，k是剔除了的變量數(shù).注意：如果要作正負(fù)相關(guān)的雙向檢驗，就要做雙尾的T檢驗。如果只作正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的檢驗，就只作單尾的T檢驗。選擇雙尾還是單尾的T檢驗，所計算出來的t值是相同的，但是t的顯著性概率p（統(tǒng)計值t的外側(cè)概率）是不同的。在雙尾情況下，t的外側(cè)的概率是2[1-P(T<t)].在單尾的情況下,t的外側(cè)的概率是1-P(T<t).第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六散點圖

(例題分析)【例】一家大型商業(yè)銀行在多個地區(qū)設(shè)有分行，其業(yè)務(wù)主要是進行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、國家重點項目建設(shè)、固定資產(chǎn)投資等項目的貸款。近年來，該銀行的貸款額平穩(wěn)增長，但不良貸款額也有較大比例的提高，這給銀行業(yè)務(wù)的發(fā)展帶來較大壓力。為弄清楚不良貸款形成的原因，希望利用銀行業(yè)務(wù)的有關(guān)數(shù)據(jù)做些定量分析，以便找出控制不良貸款的辦法。下面是該銀行所屬的25家分行2002年的有關(guān)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六散點圖

(例題分析)第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六散點圖

(例題分析)第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六相關(guān)系數(shù)

(例題分析)用Excel計算相關(guān)系數(shù)第21頁，共22頁，2023年，2月20日，星期六相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗