矢量分析小結(jié)

矢量分析小結(jié)第1頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量。標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)(1)

標(biāo)量場(chǎng)--等值線(面)形象描繪場(chǎng)分布的工具——場(chǎng)線(2)矢量場(chǎng)--矢量線其方程為:第2頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六標(biāo)量場(chǎng)的梯度

設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)(x，y，z)，若函數(shù)在點(diǎn)P

可微，則在點(diǎn)P

沿任意方向l的方向?qū)?shù)為哈密頓算子梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大方向?qū)?shù)。梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的意義第3頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六矢量場(chǎng)的通量與散度通量:

矢量E沿有向曲面S的面積分

如果包圍點(diǎn)P的閉合面S

所圍區(qū)域V

以任意方式縮小到點(diǎn)P

時(shí)：散度第4頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六散度的意義

在矢量場(chǎng)中，若?

A=0，稱之為有源場(chǎng)，稱為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處?A=0

，稱之為無(wú)源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。(無(wú)源）

(正源)

(負(fù)源)圖0.3.3通量的物理意義

下頁(yè)上頁(yè)返回第5頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六環(huán)量

矢量A

沿空間有向閉合曲線L的線積分

環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。環(huán)量密度

過(guò)點(diǎn)P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L(zhǎng)，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng)S

點(diǎn)P

時(shí)，存在極限環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。第6頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)，=0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)。例：流速場(chǎng)圖0.4.2

流速場(chǎng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)，0，有產(chǎn)生渦旋的源。下頁(yè)上頁(yè)返回第7頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六旋度

旋度是一個(gè)矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向——旋度(curl)－S

的法線方向它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)下:下頁(yè)上頁(yè)返回第8頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場(chǎng)中，若A=J0

稱之為旋度場(chǎng)（或渦旋場(chǎng)），J

稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場(chǎng)處處A=0，稱之為無(wú)旋場(chǎng)。下頁(yè)上頁(yè)返回第9頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六斯托克斯定理矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化?！雇锌怂苟ɡ?/p>

電磁場(chǎng)理論中高斯定理和斯托克斯定理散度定理——高斯公式矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。第10頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件