北師大版初中數(shù)學九年級下冊知識講解,鞏固練習(教學資料)第14講 圓周角和圓心角的關系(基礎)

圓周角和圓角的關系-識講解（礎）【習標1．理解圓周角的概念，了解圓角與圓心角之間的關系；2．理解圓周角定理及推論；3．練掌握圓周角的定理及其理的靈活運用；通過觀察、比較、分析圓周角與圓心角的關系，發(fā)展學生合情推理能力和演繹推理能力．【點理要一圓周圓周角義像圖中AEB、、∠ACB這的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．圓周角理圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一.圓周角理推：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；推論2：直徑所對的圓周角是直90°的圓周角所對的弦是直徑．要詮：(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓.（3）圓心與圓周角存在三種位關系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內部；圓心在周角的外部．（如下圖）要二圓內四形圓內接邊定：四邊形的四個頂點都在同一個圓上，像這樣的四邊形叫做圓內接四邊形，這個圓叫做四邊形的接

圓內接邊性：圓內接四邊形的對角互補.如圖形ABCD⊙的內四邊形A+∠C=180°∠D=180°.BA

O

CD要詮：四邊形的四個頂點不同時在一個圓上時，四邊形的對角是不互.【型題類一圓角圓角弧弦間關及用1.如圖，在⊙O中，，A度.【答案與解析】.【總結升華在圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的圓周角相，所對的弦也等．舉反：【變】如所示，正方形ABCD接于O，點在劣AD上則∠BEC等于)

???AB．60°C．30°．55°【答案A.∵AB＝BC＝CD，∴

ABBCDA∴∠BEC＝45°．類二圓角理應2.觀察下圖中角的頂點與兩邊有特?指出哪些角是圓周?【思路點撥】根據(jù)圓周角的定義判斷，頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周.【答案與解析】(a)∠1頂在⊙O內，兩邊與圓相交，所以1不圓周角；(b)∠2頂點在圓外，兩邊與圓相，所以2是圓周角；(c)圖中∠、、∠BAD的點圓周上，兩邊均與圓相交，所以3、∠4、∠BAD是圓角．(d)∠5頂在圓上，一邊與圓相，另一邊與圓不相交，所以5不圓周角；(e)∠6頂在圓上，兩邊與圓均相交，由圓周角的定義知6不圓周角【總結升華】緊定義，抓住要素，正確識別圓周角．3.（?臺州）如圖，四邊形ABCD內于E在角線AC上．（）若°，的數(shù)；（）證【答案與解析】（）：，，，°，+39=78°；（）明，

而【總結升華】本主要考查了圓周角定理和等腰三角形的性質，熟悉圓的有關性質是解決問題的鍵．4．如圖是⊙的徑BD是O弦延長BD到，使AC=AB與CD的大有什么關系為什么？【思路點撥BD=CD因AB=AC所以這個是等腰三角形要證明D是BC的中只要連，證明AD是高是∠BAC的分即可．【答案與解析】BD=CD.理由是：如圖，連接AD∵AB是⊙O的徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，【總結升華】解題的關鍵是正確出輔助.舉一反三：【變式安圖徑AB垂直于弦CD足為的）

A．【答案C.

BC8提示：∵∠A=22.5°∴∠BOC=2∠A=45°，∵的徑AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE為腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故選：．類三圓接邊及用5．圓內接四邊形ABCD的內角A：∠B∠C=2:3:4求∠D的度數(shù).B

【思路點撥】根據(jù)圓內接四邊形性質可求得四個角的比值，再根據(jù)四邊形的內角和為360°從而求得∠D的數(shù)【答案與解析】解：∵圓內接四邊形的對角互補，∴：：：∠D=2:3:4：3設∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x∴2x+3x+4x+3x=360°，∴x=30°.∴∠D=90°.【總結升華】本題考查圓內接四形的性質和四邊形的內角和為360°的運.

舉反：【變】如，⊙O中，四邊形是圓內接四邊形，，∠的數(shù)是（）.A.110°B.70°D.125°【答案D.B

圓周角和心角的關系鞏固練習（礎）【固習一選題1．如圖，△ABC內接于⊙，∠A=50°∠ABC=60°，BD⊙的直，BD交AC于E，連結DC，則∠AEB等于()．ABC．110°．120°（第1題）（題圖2.如圖所示，，，的小關系是（A．∠1>∠2>．∠3>∠1>∠2C∠2>∠1>∠3D．∠2>∠13．如圖，是⊙的直徑，弦AB∥CD若∠BAC=32°則AOD等()．ABC．32°D4．如圖，弦AB，CD相交于E點若∠BAC=27°，∠BEC=64°則AOD等于)．ABC．54°D

（第3題）（圖）（第題圖5．如圖，四邊形內于⊙O，若BOD=138°則它的一個外角∠DCE等()．ABC．48°．38°6?酒泉）△ABC為⊙O的接三角形，若∠AOC=160°則∠的數(shù)是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二填題7.在同圓或等圓中個圓心角它們所對的兩條弧條弦中如果有一組量相等么__________8.（2019鎮(zhèn)江一模）在圓內接邊形ABCD中∠A∠B的度數(shù)之比為3：5，∠D=9．如圖，是⊙的直徑，弦⊥AB于，BD∥OC，則∠B的度數(shù)是.DOCA（第10題圖10．如圖，△ABC內接于⊙＝BC∠BAC，AD為⊙的直徑AD＝2，則BD＝.11．如圖，已知⊙O的徑＝10正方形ABCD個頂點分別在半徑、OP和⊙上，且∠POM，AB＝.（第11題圖）（12題圖）12．如圖，已知A、C、D、E在⊙上，AC為徑，則A+∠B+度三解題13.如所示，AB，AC是⊙的弦，AD于D交⊙，AE為O的直徑，試問兩弦BE與的大小有何關系，說明理由．14?嵊州市一模）如圖AB是半的直徑C、D半圓O上兩點，且OD∥BC與AC交于點E．

（1若∠D=70°，求∠的數(shù)；（2若AC=8，DE=2，求AB的長15圖O中徑AB=15cm一條長為9cm動弦CD在上動點C與D不合，CF⊥交AB于F，⊥交于．(1)求證：=BF(2)在動弦CD動的過程中形的面積是否為定若是定值出明并求這個定值若不是，請說明理由．【案解】一選題1.【答案】C；【解析】因為∠A=50°，∠ABC=60°，BD⊙O的直徑，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°2.【答案】D；【解析】圓內角大于圓周角大于圓外.3.【答案】A；【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°∴∠C=，∠AOD=24.【答案】B；【解析】∠ACD=64°-27°=37°∠AOD=25.【答案】A；【解析】∠BAD=6.【答案】D；

∠BOD=69°，由圓內接四邊形的角等于它的內對角得DCE=∠BAD=69°.【解析】如圖，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴′C=180°﹣﹣80°=100°

????∴∠ABC的數(shù)是：或100°故選D．二填題7案它們所對應的其余各量也分別相等；8案80°；【解析】設每一份是x．則∠A=3x，∠B=5x∠C=6x．根據(jù)圓內接四邊形的對角互補，得∠A+∠C=180°，∠D=180°，則3x+6x=180°，解得．所以∠D=9x﹣5x=4x=80°．9案60°；10案

3

；11案；【解析】如圖，設AB＝x，在Rt⊿AOD:

x2+（2x）2＝52，

x＝

,即AB的＝.第11題

第12題12案90°；【解析】如圖，連結，∠CAD+∠EBD+∠ACE=∠CBD+∠EBD+∠ABE=∠ABC=90°.三解題13.【答案與解析】BE=CF．理由：∵AE為⊙O的徑，AD⊥BC∴∠ADC又∠AEB=∠ACB，∴∠CAF，∴

BE

CF

．∴BE=CF．

222222222214.【答案與解析】解）∵OA=OD，∠D=70°，∴∠OAD=∠D=70°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠D=40°∵AB是圓O的徑，∴∠C=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，即OD⊥AC，∴=，∴∠CAD=∠AOD=20°；（2∵AC=8，OE⊥AC，∴AE=AC=4，設OA=x，OE=OD﹣DE=x﹣2∵在中，+AE=