2022-2023學(xué)年山東省青島市膠州市等高二年級下冊學(xué)期期初自主檢測數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省青島市膠州市等高二下學(xué)期期初自主檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線的斜率為,則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)斜率和傾斜角之間的關(guān)系即可得傾斜角.【詳解】解:因為斜率為-1,設(shè)直線傾斜角為,,所以,即.故選:D2．已知數(shù)據(jù)甲：；數(shù)據(jù)乙：，則（

）A．甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù) B．乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的方差大于甲的方差【答案】C【分析】先計算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再根據(jù)方差的定義計算出方差,從而得出答案.【詳解】甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，∴甲的平均數(shù)與乙的平均數(shù)相等，故A、B錯誤；甲的方差；乙的方差，∴，故C正確，D錯誤.故選：C．3．已知橢圓的右焦點為，點在上，點到直線的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓的右焦點為求得的值，得出橢圓方程，設(shè)，點到直線的距離為求得，代入橢圓方程求出，利用兩點間距離可求得答案.【詳解】已知橢圓的右焦點為，則，故橢圓，設(shè)，點到直線的距離為，則，解得或，當時，，由題意得，即，此方程無解；當時，，由題意得，即，則，綜上，.故選：B.4．某中學(xué)“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款元．他們第天只得到元，之后采取了積極措施，從第天起，每一天收到的捐款都比前一天多元．則這次募捐活動一共進行的天數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】每天收到的捐款成等差數(shù)列，求項數(shù).【詳解】由題，每天收到的捐款是以10為首項，10為公差的等差數(shù)列，設(shè)活動進行了n天，則，即解得或（舍去），所以活動進行了15天.故選：D.5．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下述正確的是（

）A．與互為對立事件 B．與互斥C．與相等 D．與相互獨立【答案】D【分析】列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個選項即可.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A包含的結(jié)果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的結(jié)果有：(正，反)，(反，反)，顯然事件A，事件B都含有“(正，反)”這一結(jié)果，即事件A，事件B能同時發(fā)生，因此，事件A，事件B既不互斥也不對立，故A，B均錯誤；事件A，事件B中有不同的結(jié)果，于是得事件A與事件B不相等，故C錯誤；因為，則，所以A與B相互獨立，故D正確.故選：D.6．經(jīng)過兩點的直線的方向向量為，點滿足，其中為參數(shù)，記點的軌跡為曲線．則直線上的點到上的點的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意求出和直線的方程，利用點到直線的距離公式和輔助角公式及余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由題意得，直線方程為,則曲線(為參數(shù))，所以點到直線的距離為，其中，所以當時，，即直線上的點到上的點的距離的最小值為．故選：A.7．已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且的離心率為，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用雙曲線的定義，結(jié)合條件求得，，再由余弦定理即可得到所求結(jié)論．【詳解】為雙曲線上一點，且，則由雙曲線的定義可得，所以，，又，，則，因為，所以.故選：C．8．已知為有窮整數(shù)數(shù)列，對任意，在中存在，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意由開始逐一探求即可求解的最小值．【詳解】當時，則最多能表示共1個數(shù)字，不合題意；當時，則最多能表示共3個數(shù)字，不合題意；當時，則最多能表示共6個數(shù)字，不合題意；從而，當時，取數(shù)列，可以表示出這8個數(shù)字，即存在符合題意，故的最小值為4.故選：B．二、多選題9．某社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的年運動時間情況調(diào)查了人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）．則（

）A．B．再用分層抽樣方法抽出人作進一步調(diào)查，則在段應(yīng)抽出人數(shù)是C．估計該地居民年運動時間的中位數(shù)在段內(nèi)D．估計該地居民年運動時間的平均數(shù)為【答案】AC【分析】根據(jù)各小矩形面積之和等于1，即可解出a的值；中位數(shù)是小矩形面積之和累計為0.5的值；再由頻率分布直方圖中頻率計算平均數(shù)，求出段頻率即可求解人數(shù).【詳解】對于A，由，得，故A正確；對于B，根據(jù)頻率分布直方圖可得，年活動時間在段的頻率為，所以抽出人中該段人數(shù)為，故B不正確；對于C，前兩個小矩形面積之和為，前三個小矩形面積之和為，由中位數(shù)是小矩形面積之和累計為0.5的值，所以中位數(shù)在段內(nèi)，故C正確；對于D，該地居民年運動時間的平均數(shù)約為，故D不正確.故選：AC10．已知圓，圓，則（

）A．圓與圓相切B．圓與圓公切線的長度為C．圓與圓公共弦所在直線的方程為D．圓與圓公共部分的面積為【答案】BCD【分析】求出兩圓圓心坐標與半徑，求出圓心距，即可判斷A，B，兩圓方程作差即可得到公共弦方程，從而判斷C，求出兩圓圓心到公共弦的距離，從而取出公共部分的面積，從而判斷D.【詳解】解：因為圓，圓，所以圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，故圓與圓相交，即A錯誤；因為兩圓半徑相等，則兩圓公切線的長度為，故B正確將兩圓方程作差得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為，故C正確；因為的圓心為，半徑，所以到直線的距離為，所以公共弦長為，又圓心到直線的距離為，所以圓與圓公共部分的面積為，故D正確.故選：BCD11．有理數(shù)都能表示成（，且，與互質(zhì)）的形式，進而有理數(shù)集且，與互質(zhì)．任何有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，反之，任一有限小數(shù)也可以化為的形式，從而是有理數(shù)．則（

）A．是無理數(shù) B．是有理數(shù)C． D．無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)【答案】BCD【分析】由于，設(shè)，①，得，②，由②－①得出，即可判斷C；由可判斷A，B；由于無限循環(huán)小數(shù)也可以化成，且，m與n互質(zhì)）的形式，從而可判斷D．【詳解】由于，設(shè)，①，得，②②－①得，解得，于是得，故C正確；因為，可以化為的形式，故是有理數(shù)，故A錯誤，B正確；無限循環(huán)小數(shù)也可以化成，且，m與n互質(zhì)）的形式，故無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故D正確．故選：BCD．12．已知橢圓的兩個焦點坐標分別為，離心率為，則（

）A．越接近，則就越接近于圓B．越接近，則就越接近于圓C．若經(jīng)過點，則的長軸長為D．若，動直線被橢圓截得的線段的中點均在直線上【答案】ACD【分析】由橢圓的性質(zhì)可判斷A、B；由橢圓的定義可求得長軸長即可判斷C；聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得直線被橢圓所截線段中點的坐標，代入直線成立，說明直線被橢圓截得的線段的中點都在直線上．【詳解】由橢圓的性質(zhì)可知，越接近0，橢圓就越接近于圓；越接近1，橢圓就越扁平，故A正確，B錯誤；若經(jīng)過點，則由橢圓的定義可知的長軸長為，故C正確；由已知得，則，故橢圓的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，由，解得.設(shè)直線與橢圓相交于，則，，故線段的中點，代入直線，可得成立．直線被橢圓截得的線段的中點都在直線上．故選：ACD.三、填空題13．直線恒過定點，則點的坐標為_____________．【答案】【分析】將直線方程化為，令，解得即可.【詳解】直線，即，令，解得，所以直線過定點.故答案為：14．從這個數(shù)中隨機選一個數(shù)，則該數(shù)的平方的個位數(shù)字為的概率等于_____________．【答案】##0.2【分析】根據(jù)古典概型概率公式即得.【詳解】從這個數(shù)中隨機選一個數(shù)共10種等可能的結(jié)果，其中該數(shù)的平方的個位數(shù)字為的數(shù)字為4,6，即該數(shù)的平方的個位數(shù)字為的結(jié)果為2種，所以該數(shù)的平方的個位數(shù)字為的概率等于.故答案為：.15．已知為橢圓的左、右焦點，點在上，則的最小值為___________．【答案】##【分析】利用橢圓的定義和基本不等式直接求最值.【詳解】因為點在橢圓上，所以，所以.所以（當且僅當，即時等號成立）.所以的最小值為.故答案為：.四、雙空題16．已知雙曲線的一條漸近線為，的左、右頂點分別為，點在右支上且在第一象限，設(shè)直線的斜率分別為，傾斜角分別為，則（1）_____________；（2）的取值范圍是_____________．【答案】

【分析】由題意可得，求得雙曲線的方程，由直線的斜率公式和點滿足雙曲線的方程，可求得；由結(jié)合基本不等式可求得的取值范圍．【詳解】由題意可得，，從而，雙曲線設(shè)，則，可得所以；因為，且，可得所以因為所以，即的取值范圍是.故答案為：；．五、解答題17．甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否相互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．設(shè)分別表示甲兩輪猜對個，個，個成語的事件，分別表示乙兩輪猜對個，個，個成語的事件．(1)求；(2)求“星隊”在兩輪活動中猜對個成語的概率．【答案】(1)，，，，，(2)【分析】（1）根據(jù)獨立重復(fù)試驗乘法公式計算；（2）分析“星隊在兩輪活動中猜對2個成語”的具體情況，再利用互斥事件的加法公式計算.【詳解】（1）根據(jù)獨立性假設(shè)：，，，，，；（2）設(shè)“‘星隊’在兩輪活動中猜對個成語”，可能的情況是：甲隊0個乙隊2個；甲隊1個乙隊1個；甲隊2個乙隊0個；則且兩兩互斥，與，與，與分別相互獨立所以；綜上，，星隊在兩輪活動中猜對2個成語的概率是.18．已知數(shù)列的前項和為，，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；(2)證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用之間的關(guān)系即可得證；（2）由（1）知可得，然后利用裂項求和法求得，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題知：，解得因為，（）兩式相減得：，即所以，又，則也適合上式所以數(shù)列為常數(shù)列.（2）由（1）知，，所以所以.19．已知為坐標原點，動點到兩個定點的距離的比為，記動點的軌跡為曲線．(1)說明是何種曲線，并求曲線的方程；(2)若直線過點，曲線截所得弦長等于，求直線的方程．【答案】(1)是圓心為，半徑等于的圓；(2)或【分析】（1）直接根據(jù)條件列式，化簡整理可得曲線的方程，進而判斷曲線類型；（2）分為兩種情況討論：若直線的斜率不存在，直接驗證即可；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由弦長可得圓心到直線的距離，列出方程可求得，從而得出答案.【詳解】（1）由題知，設(shè)點，則，所以，即，整理得，所以，所以是圓心為，半徑等于的圓.（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為：，與的交點坐標為，此時弦長等于若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，圓心到直線的距離曲線截所得弦長等于，所以，解得所以，解得則直線的方程為：，即綜上，直線的方程為：或.20．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)若，求數(shù)列的前項和；(3)求集合中的元素個數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)(3)5【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，結(jié)合已知條件解方程組得，從而得證；（2）結(jié)合（1）可求得，用裂項求和法求出結(jié)果；（3）結(jié)合（1）可得，解得的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，即解得，，所以.（2）由（1）知：，所以所以所以.（3）由（1）知，，由得：所以，即，解得：又，則所以集合中元素個數(shù)為個.21．已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別記為，的離心率為，與圓在第一象限的交點為，的面積等于．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上頂點為，動點在圓上，動點在橢圓上，直線的斜率分別為，且，求外接圓直徑的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知點在圓上得，結(jié)合的面積和解得，進而由離心率解得，可得橢圓的方程；（2）設(shè)，設(shè)直線，代入可解得；設(shè)直線，代入可解得，從而得，進而得出為直角三角形，其外接圓的直徑為線段，根據(jù)的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】（1）由題知，點在圓上，所以，所以，即，又因為，所以，所以，解得又因為離心率，解得，所以，橢圓的方程為.（2）設(shè)，設(shè)直線，將代入得，所以，設(shè)直線，將代入得，所以，所以所以，所以為直角三角形，其外接圓的直徑為線段，又因為當且僅當時時，取最大值，綜上，外接圓直徑的最大值為.22．已知為坐標原點，雙曲線的焦距等于，由點，構(gòu)成的四邊形的面積為．(1)求雙