安徽省安慶市宿松縣2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題及參考答案

-2022學(xué)年宿松縣高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題副標(biāo)題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限2.的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，且，則（）A.6 B. C. D.73.已知數(shù)列中，，點(diǎn)列在內(nèi)部，且與的面積比為，若對都存在數(shù)列滿足，則的值為（）A.26 B.28 C.30 D.324.四棱臺的兩底面分別是邊長為和的正方形，各側(cè)棱長都相等，高為，且側(cè)面積等于兩底面積之和，則下列關(guān)系式中正確的是（）A. B. C. D.5.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，虛軸長為8，右焦點(diǎn)為，且圓與雙曲線的漸近線相切，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（）A.8 B. C. D.6.下列結(jié)論正確的選項(xiàng)為（）A.三棱錐的四個面都可以是直角三角形B.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱C.直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體是圓錐D.圓臺的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺的母線7.在中，，，，與方向相同的單位向量為，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.8.給定一個正方體形狀的土豆塊，只切一刀，除了可以得到四面體、四棱柱等類型的多面體以外，還能得到的多面體的類型可以含有（）A.五棱柱、七面體 B.五棱柱、六棱錐C.六棱錐、七面體 D.以上答案都不正確二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.設(shè)是復(fù)數(shù)，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.10.下列選項(xiàng)中正確的是（）A.若向量，為單位向量，，則向量與向量的夾角為60°B.設(shè)向量，，若，共線，則C.若，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D.若平面向量，滿足，則的最大值是511.如圖所示是斜二測畫法畫出的水平放置的三角形的直觀圖，為的中點(diǎn)，且軸，軸，那么在原平面圖形中（）A.與相等 B.的長度大于的長度C.的長度大于的長度 D.的長度大于的長度12.已知函數(shù)且對于都有成立.現(xiàn)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數(shù) B.函數(shù)相鄰的對稱軸距離為C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則______.14.在中，角，，對的邊分別為，，，，，則面積的最大值為______.15.如圖，為正方體，下面結(jié)論中正確的是______.（把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上）①平面；②平面；③與底面所成角的正切值是；④二面角的正切值是；⑤過點(diǎn)與異面直線與成角的直線有2條.16.在中，，，，的面積等于.則______，的角平分線的長等于______.四、解答題（本大題共5小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題14.0分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，（1）當(dāng)時，求，的值；（2）若且，求的值.18.（本小題14.0分）如圖是邊長為3的為正方形的對角線，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的體積等于______.19.（本小題14.0分）已知中，角，，所對的邊分別為，，，且v.（1）求角的大??；（2）若的面積為，且，求邊的長度.20.（本小題14.0分）如圖（甲），在直角梯形中，，，，且，，、、分別為，，的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使平面平面，如圖（乙）.（甲） （乙）（1）求證：平面平面；（2）記，表示三棱錐的體積，求的最大值；（3）當(dāng)取得最大值時，求二面角的余弦值.21.（本小題14.0分）某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓房，經(jīng)測算，如果將樓房建為層，那么每平方米的平均建筑費(fèi)用為（單位：元）.（1）寫出樓房平均綜合費(fèi)用關(guān)于建造層數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.（2）該樓房應(yīng)建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用）答案和解析1.【答案】B【解析】解：復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)位于第三象限，故選：B.利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行化簡可得，，再利用幾何意義即可得出結(jié)論.本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理化簡，根據(jù)余弦定理變形，代入已知條件即可.【解答】解：∵，由正弦定理得：，∵，即，∴，∴故選A.3.【答案】A【解析】解：在上取點(diǎn)，使得，則在線段上.∵，∴，則∴∵，，三點(diǎn)共線，∴，即.∴，，故選：A.在上取點(diǎn)，使得，用，表示出，根據(jù)三點(diǎn)共線得出的遞推公式，從而可求得本題考查了平面向量的基本定理，解題關(guān)鍵是利用三點(diǎn)共線時，系數(shù)和為，屬于中檔題.4.【答案】C【解析】解：由題意可知，各側(cè)面是全等的等腰梯形，設(shè)其高為，則根據(jù)條件可得，，消去得，∴，可得，∴.故選：C.由題意可知，各側(cè)面是全等的等腰梯形，設(shè)其高為，根據(jù)條件可得關(guān)于、、、的方程組，聯(lián)立消去，即可得到結(jié)論.本題考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.5.【答案】D【解析】【分析】本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得的半徑，再利用面積法即可求出.【解答】解：雙曲線的左頂點(diǎn)為，虛軸長為8，∴，解得，∵，∴，即，∴，，∴雙曲線的漸近線方程為，∵與雙曲線的漸近線相切，∴的半徑，∴，∵，∴，∵，∴，解得.故選：D.6.【答案】A【解析】解：對于A，如圖所示：三棱錐，平面，平面，則三棱錐的四個面都是直角三角形，選項(xiàng)A正確；對于，把兩個相同的斜平行六面體疊放，得出的幾何體不是棱柱，所以選項(xiàng)B錯誤；對于，直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體是兩個圓錐的組合體，所以選項(xiàng)C錯誤；對于，圓臺的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線不一定是母線，因?yàn)閳A臺所有母線的延長線交于一點(diǎn)，且所有母線長相等，所以選項(xiàng)D錯誤.故選：A.根據(jù)柱、錐、臺的結(jié)構(gòu)特征，對選項(xiàng)中的命題真假性判斷即可.本題考查了柱、錐、臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題.7.【答案】B【解析】【分析】本題考查投影向量的求法，熟記投影向量的計算公式是關(guān)鍵，屬于中檔題.先求出為等邊三角形，再利用投影向量的計算公式求解即可.【解答】解：∵在中，，，∴為線段的中點(diǎn)，且，∵，∴為等邊三角形，∴向量在上的投影向量，故選：B.8.【答案】A【解析】解：根據(jù)切的平面如圖所示：或：故切去一個平面后得到的幾何體為五棱柱和七面體；故選：A.直接利用平面的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.本題考查的知識要點(diǎn)：平面的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.9.【答案】CD【解析】解：對于A，取，則，故A錯誤，對于B，取，則，，故B錯誤，對于C，設(shè)，，則，，故C正確，對于D，設(shè)，，則，，故D正確.故選：CD.根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.10.【答案】BCD【解析】解：向量，為單位向量，則，，則，即，則，即，又，所以夾角，故A錯誤；因?yàn)?，，且，共線，則，解得，故B正確；，，在方向上的投影向量為，所以在方向上的投影向量的坐標(biāo)為，故C正確；，則，故的最大值是5，所以D正確.故選：BCD.對兩邊同時平方結(jié)合向量數(shù)量積的定義可判斷A；由共線向量的坐標(biāo)表示可判斷B；由投影向量的定義可判斷C；，結(jié)合余弦函數(shù)的值域可判斷D.本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.11.【答案】AC【解析】【分析】本題考查斜二測畫法，熟記斜二測畫法的步驟是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.由斜二測畫出的三角形的直觀圖還原原圖形，數(shù)形結(jié)合得結(jié)論.【解答】解：把斜二測畫出的三角形的直觀圖還原原圖形如圖，在原圖形中，，為的中點(diǎn)，則與相等，故A正確；，故B錯誤，C正確；與的大小不確定，故D錯誤.故答案選：AC.12.【答案】ABCD【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.【解答】解：函數(shù)且對于都有成立，∴，∴，即，故，∴，現(xiàn)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象；再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象.故，故A正確；函數(shù)相鄰的對稱軸距離為，故B正確；函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；時，，單調(diào)遞增，故D正確，故選：ABCD.13.【答案】2【解析】解：∵為實(shí)數(shù)，∴，得.故答案為：2.利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由虛部為求解.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.14.【答案】【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取到最大值為.故答案為：.由，可求，結(jié)合同角平方關(guān)系可求，再由余弦定理，及基本不等式可求的范圍，代入三角形的面積公式可求.本題綜合考查了向量的數(shù)量積，余弦定理及三角形的面積公式，和角的三角公等知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔試題.15.【答案】①②④【解析】解：如圖，正方體中，由于，由直線和平面平行的判定定理可得平面，故①正確.由正方體的性質(zhì)可得，，故平面，故.同理可得.再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，平面，故②正確.與底面所成角的正切值為，故③不正確.取的中點(diǎn)，則即為二面角的平面角，中，，故④正確.由于異面直線與成45°的二面角，如圖，過作、，設(shè)與確定平面，，過在面上方作射線，則滿足與、成的射線有4條：滿足的有一條，滿足的有一條，滿足的有一條，滿足的有一條.故滿足與、成的直線有條，故過點(diǎn)與異面直線與成角的直線有4條，故⑤不正確.故答案為①②④.根據(jù)直線和平面平行、直線和平面垂直的判定定理可得①②，根據(jù)求二面角的大小的方法可得③不正確、④正確，再根據(jù)異面直線所成的角可得⑤不正確，由此得到答案.本題主要考查求二面角的大小的方法，異面直線的判定，直線和平面平行、垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題.16.【答案】【解析】解：在中，，，由余弦定理可得：，①又的面積等于，則，即，②又，聯(lián)立①②可得：，，由正弦定理可得，即，由內(nèi)角平分線定理可得，即，又，則由余弦定理可得，即，故答案為：；.由正弦定理及余弦定理，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.本題考查了正弦定理及余弦定理，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.17.【答案】解：（1），當(dāng)時，，，（2），∴，∵，∴，所以.【解析】本題考查的知識要點(diǎn)：向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，及相關(guān)的運(yùn)算問題的應(yīng)用.（1）直接利用已知條件求出結(jié)果；（2）利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出結(jié)果.18.【答案】【解析】本題考查的是空間幾何體的體積?！窘馕觥恳李}意可得所形成的幾何體等于正方形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的底面半徑為3高為的圓柱減去繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的底面半徑為3高為3的圓錐，所以19.【答案】解：（1）∵，∴由正弦定理可得，可得，可得，即，∵，，可得，∵，∴.（2）∵的面積為，∴，解得，由余弦定理，可得，∵，∴解得.【解析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式，結(jié)合，可得，結(jié)合范圍，可求的值.（2）由已知利用三角形的面積公式可求，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求的值.本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.20.【答案】解：證明：（1）由圖（甲）結(jié)合已知條件知四邊形為正方形，如圖（乙），∵、、分別為，，的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∵面，面，∴面，同理可得面，又∵，∴平面平面；（2）∵平面平面且∴平面，∴，∵，∴，∴，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”，∴的最大值為，（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如右圖所示：由知當(dāng)取得最大值時，即，這時，∴，，∴平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，∵，，由，，得，，令得，設(shè)二面角為，則.【解析】